2021屆人教a版（文科數(shù)學） 空間向量與立體幾何 單元測試

2021屆人教A版(文科數(shù)學)空間向量與立體幾何單元測試

1、已知麗=(一1,2,0),而=(x,—2,3),若而，而，則》=()

A.1B.4C.-1D.-4

2、點P(1,3,-5)關于原點的對稱點的坐標是()

(A)(-1,-3,-5)

(B)(-1,-3,5)

(C)(5,-3,-1)

(D)(-3,1,5)

3、在空間直角坐標系中，點AHU,。)，B(l,3,2),則|AB|=()

A.3B.4C.5D.6

4、已知A(—1,2,1),8(1,3,4),則()

A.福=(-1,2,1)B.麗=(1,3,4)

C.麗=(2,1,3).DAB=(-2,-1,-3)

5、

幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面棱A1B1,B1C1

a

AP=-

的中點，P是上底面棱AD上的一點，3,過p、M、N三點的平面交上底面于PQ,

Q在CD上，則PQ等于()。

"a2&a也aa

A.2B.3C.3D.2

6、如圖，在三棱柱ABJAIBIG中,AA]1底面AiBiQ,/ACB=90。，BC=CCi=1

AC=3而，P為叫上的動點，則CP+PAi的最小值為()

A.2出B.1+3"C.5D.1+2也

7、我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中,

利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(T,4),且法向量為n=(1,-2)的直線(點

法式)方程為：lx(x+3)+(-2)x(y-4)=0,化簡得x-2y+11=0.類比以上方法，在空

間直角坐標系中，經(jīng)過點AQ23）,且法向量為m=（-1,-2,1）的平面的方程為（）

A.x+2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0

C.x+2y+z-2=0D.x+2y+z+2=0

8、已知寸二（2，-3,1）,〃=（4,一6,幻，若&上B,則x等于（）

A.-26B.TOC.2D.10

=(-1,-1,1)=(-1,COS<-->:

9、設向量a，b0,1),貝!ja,b)

A.2B.2C.2D.3

10、如圖，F(xiàn)是正方體ABCD-A1B1JD1的棱CD的中點.E是BB1上一點，若DJDE,

1

A.B】E=EBB.B】E=2EBcB】E=嚴D.E與B重合

11、已知國=(2x,l,3),6=(l,-2y,9),如果日與日為共線向量，則()

111313

x=-y=—x=—,y=-x=-y=—

A.x=l,y=lB.22C.62D.62

12、在四面體ABC。中，旦G分別是的中點，若才不=乂而+y而+z*,

則x+y+z=()

A.-B.—C.1D.2

32

13、已知點0為坐標原點，點A在x軸上，正aOAB的面積為E，其斜二測畫法的

直觀圖為△（）'A'B',則點B'到邊O'A'的距離為

14、如圖，已知兩個正四棱錐尸一A8CD與Q—ABC。的高分別為2和4,

A8=4,E、/分別為PC、4Q的中點，則直線瓦?與平面PBQ所成角的正弦值為

15、如圖，48兩點都在以PC為直徑的球。的表面上，AB1BC,AB=2,

BC=4,若球。的表面積為24兀，則異面直線PC與A6所成角的余弦值為

16、如圖，已知平面四邊形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=6，ZADC=90°.沿直線

AC將4ACD翻折成aACD',直線AC與BD'所成角的余弦的最大值是

A

17、已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

⑴求以m和后為鄰邊的平行四邊形的面積；

(2)若|a|=亞且a分別與血，AC垂直,求向量a的坐標.

18、已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).

⑴若品IIAC,DCIIAB,求點D的坐標；

(2)問是否存在實數(shù)a,B,使得AC=aA協(xié)BBC成立?若存在，求出a,P的值;若不

存在，說明理由.

19、在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化簡4人~EF+DF+AB+CC],并在圖中標出

化簡結果的向量.

FiEx

4

20、如圖，正方體ABCD-ABCD的棱長為2,E是CC的中點,AC與BD相交于0.

(DAQ與平面BDE是否垂直？說明理由.

(2)求二面角A-BE-D的余弦值.

21、設q=2i-/+A,a2=i+3j-Ik,a,=-2i+j-3k,%=3i+2/+5?,試問是否存在

實數(shù)為〃，i/,使%=媽+〃生+”成立？如果存在，求出入〃，0如果不存在，請

寫出證明.

22、如圖，在梯形ABCD中，AB//DC,AD=DC=2,AB=4,現(xiàn)將AADC沿A隔折成直二

面角P-AC-B.

(I)證明：CB1PA；

1

(II)若異面直線PC與AB所成角的余弦值為4,求二面角B-PA-C余弦值的大小.

參考答案

1、答案D

2、答案B

3、答案A

由兩點間距離公式，可直接求得AB]的值。

詳解

根據(jù)空間兩點間距離公式可得

|AB|=+(2-3)2+(0_2尸=3

所以選A

名師點評

本題考查了空間中兩點間距離公式，屬于基礎題。

4、答案C

5、答案B

分析

由題設PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD,QD的長度，用勾股定理在直角三角形

PDQ中求PQ的長度.

詳解

：:平面ABCD〃平面AIBICDI,MN?平面AB1GD1

〃平面ABCD,又PQ=面PMNn平面ABCD,

；.MN〃PQ.

：M、N分別是AB、B￡的中點

；.MN〃AC〃AC,

a

AP二一

，PQ〃AC,又3,ABCD-ABCD是棱長為a的正方體,

a2a

CQ=-DP=DQ=—

3，從而3,

地a

PQ=[DO2+DP2=(y)2+(y)2=

3

故選B.

名師點評

本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，是立體幾何中面面平行的基本題型，本題要求靈活運

用定理進行證明.

6、答案C

易得A]C]1平面BCC]B],故/A]C]B=90°.將二面角%-8(：]兀沿氏]展開成平面圖形，此

時人擔的長度即CP*PAl的最小值，利用余弦定理求出這個最小值.

詳解

由題設知△”聲為等腰直角三角形，又A1J1平面BCJB],故NA]C]B=90°,將二面角

A】-BJ-C沿BJ展開成平面圖形，

得四邊形A/1CB如圖示，由此，CP+PA]要取得最小值，當且僅當C、P、A1三點共線，由

題設知/”6=135°,

由余弦定理得A。=(3^2)2+1-2x3屈xCOS135=25=A1C=5

名師點評

本小題主要考查空間線面垂直關系的證明，考查空間兩條線段長度和的最小值的求法，

屬于中檔題.

7、答案A

今

類比平面中求動點軌跡方程的方法，在空間任取一點P(x,y,z),則AP=(X-1,y

-2,z-3),利用平面法向量為n=(-1,-2,1),即可求得結論.

詳解

類比平面中求動點軌跡方程的方法，在空間任取一點P(x,y,z),則AP=(x-1,y

-2?z-3)

?.?平面法向量為門=(-1,-2,1),

二-(x-1)-2X(y-2)+1X(z-3)=0

x+2y-z-2=0,

故選：A.

名師點評

本題考查了類比推理，考查了空間向量數(shù)量積的坐標運算，由于平面向量與空間向量的

運算性質(zhì)相似，利用求平面曲線方程的辦法，構造向量，利用向量的性質(zhì)解決空間內(nèi)平

面方程的求解問題，屬于中檔題.

8、答案A

根據(jù)題意，由于3=(2,-3,1),B=(4,—6,X),且有a±b,則可知

a-b=0=2x4+(―3)x(—6)+lxx=0ox=—26故可知選A

考查目的：向量垂直

點評：主要是考查了向量垂直的坐標公式的運用，屬于基礎題.

9、答案D

|1+0+1|

cos(a,b)=

澗?亞選D

10、答案A

由題意，分別以DA,DC,D?為x,y,z軸建立空間直角坐標系，求得。F，DE的坐標,

根據(jù)向量的數(shù)量積等于0,求得z=l,即可求解.

詳解

由題意，分別以DA,DC,DDi為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

設正方形的邊長為2,則D(0,0,0),F(0,1,0),D,(0,0,2),

設E(2,2,z),DJ=(o,1,-2),DE=(2,2,z),

???D]FDE=0X2+1X2-2Z=0,...Z=I,；.B]E=EB,故選北

名師點評

本題主要考查了空間向量在立體幾何中的應用，其中解答中建立適當?shù)目臻g直角坐標

系，利用向量的數(shù)量積求解z的值是解答本題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬

于基礎題.

11、答案D

2x1313

—==—x=—,y=—

由題設可得1-2y9,解之得62,應選答案D。

12、答案C

如圖所示，

—1---1---

連接AE,???￡、G分別是C。、8E的中點，,A￡=—AC+—AO,

22

：.AG^-AB+-AE^-AB+-AC+-Ab,

22244

—.―.―,—.111

又AG=xA8+yA￡)+zAC，，x+y+z=—HF—=1,故選C.

244

13、答案返

4

解：正△0AB的面積為邊長為2,O'A'=2

>為O'A'的中點，B'>=義乏

2

所以點B'到邊O'A'的距離：返cos45°=返

故答案為

本題考查斜二測法畫直觀圖，點、線、面間的距離計算，考查計算能力，記住結論平面

圖形和直觀圖形面積之比為2后.

14、答案,—

17

由題意得，ABCD是正方形，所以ACL8D,分別以直線CA,OB,QP為x,y,z軸建立

空間直角坐標系，如圖所示，則P(0,0,2),Q(0,0,-4),C(-2&,(),0),A(2&,0,0),所以

￡(-V2,0,l),F(V2,0,-2),所以麗=(20,0,—3),又AC_L平面P8Q,所以平面

PBQ的一個法向量為“=(1,0,0),所以直線所與平面PBQ所成角的正弦值為

.八EFn2>/34

四,=麗=尸

考查目的：直線與平面所成的角的求解.

方法點晴本題主要考查了直線與平面所成的角的正弦值的求解，其中解答中涉及到直線

與平面所成的角的計算、直線與平面垂直的判定，空間向量的應用等知識點的綜合考查,

著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，試題有一定的難度,

屬于中檔試題，本題的解答中，根據(jù)幾何體的結構特征，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，

求解相應向量的坐標和平面法向量的坐標，轉(zhuǎn)化為向量的運算是解答的關鍵.

15、答案逅

6

推導出="===PA1AC,AC=2卮PA=2,以5為原點，BC

為X軸，切為y軸，過8作平面ABC的垂線為Z軸，建立空間直角坐標系，由向量法

能求出異面直線PC與A8所成角的余弦值.

；AB兩點都在以PC為直徑的球°的表面上

.?.4%/=24萬，解得：r=娓

OP=0C=04=QB=逐且PAAC

又AB上BCAC=〃+16=2百,PA=,24-20=2

以8為原點，8C為x軸，區(qū)4為了軸，過8作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角

坐標系

?/BCLAByBCA.PB平面BC1PA

又尸A_LAC.,.PA_L平面ABC

則尸（0,2,2）C（4,0,0）,A（0,2,0）,5（0,0,0）

.-.PC=（4,-2,-2）AB=（O,-2,O）

設異面直線產(chǎn)。與AB所成角為°

\PC-AB\4V6

msA-J______L-

M-M-V24x2-6

V6

二異面直線PC與A3所成角的余弦值為6

V6

本題正確結果：6

名師點評

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查異面直線所成角、線線關系的判定定理

等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題.

16、答案半

設直線AC與8。'所成角為6.

設。是AC中點，由已知得AC=木，如圖，以為x軸，為y軸，過O與平面

ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，由A（0,乎,0）,8（呼,0,0）,

C（0,--,0）,作于〃，翻折過程中，O'”始終與AC垂直，

2

小害喘=2則。"T，DH*岑,因此可設

。（畫cosa,-也叵sina）,則歌=（畫COS”叵,-也叵sina）,與

6366236

UU1

CA平行的單位向量為〃=（0,1,0）,

顯

3

,所以cosa=l時，cos。取最大

v9-5cos(z

考查目的：異面直線所成角.

17、答案⑴7&⑵a=(1,1,1)或(-1,-1,-1)

試題分析：(1)先寫出兩邊表示向量坐標，再由向量夾角公式求角A的余弦值，由同角

關系求角A的正弦值，再由面積公式可求解。(2)設；=(x,y,z),由向量垂直則數(shù)量積為

0,待定系數(shù)法求得向量「坐標。

詳解

(1)由題中條件可知,AB=(-2,-1,3),AG=(i,-3,2),

ABAC-2+3+61

所以＜^＜能位＞=1京11后1后xd2

￡

于是sin＜^B,AC＞=2.

故以M和后為鄰邊的平行四邊形的面積為

S二|ABAC|sin<AB,AC>=i4X2=7a

,222c

x+y+z=3Z

-2x-y+3z=0,

(2)設a=(x,y,z),由題意得x-3y+2z=0,

(X=1,X=-1,

>=1,或y=-1,

解得|z=lz=-1.

故a=(l,1,1)或a=(T,T,T).

名師點評

t->a?b->-?

COS<a,b>=-------—<a,b>6[0,n]

求平面向量夾角公式：⑶四，若2=風$21)力=僅2，丫222),則

cos<ab>=?~,<a,b>€[0,n]

z222222

jx1+y1+z1-Jx2+y2+z2

18、答案(1)D(-l,l,2)；(2)a=p=l

試題分析：(1)設D(x,y,z),由向量平行的坐標運算可求得D點坐標。(2)假設存在,

由待定系數(shù)法求解。

詳解

⑴設D(x,y,z),則DB=(-x,1-y,-z),亞=(T,0,2),DC=(-x,-y,2-Z)/B=(T,1,0).

因為而II曲，曲IIAB；

((-x,l-y,-z)=m(-l,0,2),

所以i(-x,-y,2-z)=n(-1,1,0),

(X=-1,

y=i,

解得Iz=2.即D(-1,1,2).

(2)依題意寇(T,1,0),立=(T,0,2),BC=(O,-1,2).

假設存在實數(shù)a,6,使得金=aAB+BB%成立,則有

(-1,0,2)=a(-1,1,0)+B(0,7,2)=(-a,a-8,2B),

/a=1,

a-p=0,__.

所以|2p=2,故存在

名師點評

已知a=僅1必21)力=僅2，丫24),若則，入，(Bw6),僅1%送1)=人僅八處),所以

X[=\x2,y1=Xy2,z1=Xz2

19、答案:：根據(jù)向量的加減法的三角形法則，結合六棱柱圖形，即可化簡所求式子.

詳解

A』[-EF+AB+CC]+DF=AF+FE+ED+DD]+DJ1=AF],在圖中表示如下圖所示。

ADx

名師點評

本題主要考查了向量加法、減法的運算法則，及相反向量，屬于中檔題.

20、答案如圖所示建立空間直角坐標系.則

D(0,0,0),0(1,1,0),B(2,2,0),E(0,2,1),A>(2,0,2).

于是麗=(1-1,2),踵=(0,2-2),~BE=(-2,0,1),~BD=(-2-2,0).

(1)設n,=(x,y,z)是平面BDE的一個法向量,則

ni?B￡)=-2x-2y=0,ni?BE=-2x+z=0,

1-----*

.,.X=-y,x=-z.^Lz=2,則X=1,y=—1,即有m=(1,—1,2),它與向量A0相等,

故AQJ_平面BDE.

⑵設n2=(x,y,z)是平面ABE的一個法向量，有

■--*1

n2?A,B=2y-2z=0,n2?BE=-2x+z=0,，y=z,x=—z.

取z=2,貝I」x=1,y二2,即有皿二。,2,2).法向量m和n2所成的角。滿足

n%?小1-2+43V6

I%I,I%IJl+1+4,Jl+4+4V6,36

二面角A-BE-D的余弦值為逅

6

21、答案假設以小明』行郵1卿Y成立.

T-//乙之-4—?

2A+〃—2Vz=3,兄=—Z

?，一％+3〃+”=2,解得,〃=1,

2-2//-3v=5,v=-3.

所以存在4=—2〃=Lu=—3使得％=—%|+4—為3,

理由即為解答過程.

22、答案（I）詳見（II）5

試題分析：（I）證明CBJ?平面PAC,結合直線與平面垂直性質(zhì)，即可。（H）建立坐標系,

用a分別表示