2021年人教版數(shù)學(xué)中考第一輪專題練習(xí) 二次函數(shù)的應(yīng)用

二次函數(shù)的應(yīng)用

能力點(diǎn)1二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1.（2020?江蘇南京）小明和小麗先后從A地出發(fā)沿同一直道去B地.設(shè)小麗出

發(fā)第xmin時(shí)，小麗、小明到B地的距離分別為山m,y2m,山與x之間的函數(shù)

2

表達(dá)式是yi=-180x4-2250,y?與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y2=-10x—100x+

2000.

⑴小麗出發(fā)時(shí)，小明到A地的距離為m；

（2）小麗出發(fā)至小明到達(dá)B地這段時(shí)間內(nèi)，兩人何時(shí)相距最近？最近距離是多

少？

2.（2020?山東日照）如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長(zhǎng)度不限）的矩形空地ABCD,

為美化環(huán)境，用總長(zhǎng)為100m的籬笆圍成四塊矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬

笆的厚度不計(jì)）.

（1）若四塊矩形花圃面積相等，求證：AE=3BE；

⑵在⑴的條件下，設(shè)BC的長(zhǎng)度為xm,矩形區(qū)域ABCD的面積為yin?,求y與

x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍.

AHD

M------------N----------

E-----------------------

B_______________

3.（2020?河北）用承重指數(shù)W衡量水平放置的長(zhǎng)方體木板的最大承重量.實(shí)驗(yàn)

室有一些同材質(zhì)同長(zhǎng)同寬而厚度不一的木板，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：木板的承重指數(shù)W與

木板的厚度x（厘米）的平方成正比，且當(dāng)x=3時(shí)，W=3.

⑴求W與x的函數(shù)關(guān)系式；

⑵如圖，選一塊厚度為6厘米的木板，把它分割成與原來同長(zhǎng)同寬但薄厚不同

的兩塊板（不計(jì)分割損耗）.設(shè)薄板的厚度為x（厘米），Q=W厚一W薄.

①求Q與x的函數(shù)關(guān)系式；

②x為何值時(shí)，Q是W薄的3倍？［注：（1）及（2）中的①不必寫x的取值范圍］

能力點(diǎn)2二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

4.（2020?上海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-：x+5與x軸、y軸分

別交于A,B兩點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx（aW0）過點(diǎn)A.

⑴求線段AB的長(zhǎng)；

⑵若拋物線y=ax?+bx經(jīng)過線段AB上的另一點(diǎn)C,且BC=m，求這條拋物線

的表達(dá)式；

(3)如果拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)D在△AOB的內(nèi)部，求a的取值范圍.

5.(2020?山東煙臺(tái))如圖，拋物線y=a/+bx+2與x軸交于A,B兩點(diǎn)，且

0A=20B,與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=J,D為第一象

限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE_L0A于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)D的橫

坐標(biāo)為m.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵當(dāng)線段DF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得以點(diǎn)0,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？

若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

備用圖

6.(2020?山東淄博)如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形0ABC是平行四邊形，經(jīng)

過A(—2,0),B,C三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+|(aV0)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為

D,其頂點(diǎn)為M,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

3

(2)已知R是拋物線上的點(diǎn)，使得AADR的面積是口OABC的面積的求點(diǎn)R的坐

標(biāo)；

(3)已知P是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，滿足在直線MD上存在唯一的點(diǎn)Q,使得NPQE

=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

3

7.(2018?山東棗莊)如圖1,已知二次函數(shù)y=ax?+3x+c(aWO)的圖象與y軸

交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B,C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接AB,AC.

(1)請(qǐng)直接寫出二次函數(shù)y=ax?+5x+c的表達(dá)式；

(2)判斷AABC的形狀，并說明理由；

(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A,N,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)

寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(4)如圖2,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B,C重合)，過點(diǎn)N作NM〃AC,交

AB于點(diǎn)M,當(dāng)4AMN面積最大時(shí)，求此E時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

圖1圖2

8.(2020-山東濟(jì)寧)我們把方程(x—m)2+(y—n)2=N稱為圓心為(m,n),半徑

長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例如，圓心為(1,-2),半徑長(zhǎng)為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

是(x—1尸+6+2)2=9.在平面直角坐標(biāo)系中，OC與x軸交于點(diǎn)A,B.且點(diǎn)B

的坐標(biāo)為(8,0),與y軸相切于點(diǎn)D(0,4),過點(diǎn)A,B,D的拋物線的頂點(diǎn)為

E.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵試判斷直線AE與。C的位置關(guān)系，并說明理由.

9.(2020?四川遂寧)閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題:

小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：

定義：如果二次函數(shù)y=aix2+bix+ci(aiW0,a”bi,s是常數(shù))與y=a2X?+b2X

+c2(a2#0,a2,b2,C2是常數(shù))滿足ai+a2=0,bi=b2,Ci+c2=0,則這兩個(gè)函

數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.求函數(shù)y=2x2—3x+l的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

小明是這樣思考的：由函數(shù)y=2x?—3x+l可知，ai=2,b=—3,c1=l,根據(jù)

ai+a2=0,bi=b2,Ci+c2=0,求出a2,b2,c?就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)".

請(qǐng)思考小明的方法解決下面的問題：

(1)寫出函數(shù)y=x2—4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；

(2)若函數(shù)y=5x?+(m—l)x+n與y=-5x?—nx—3互為"旋轉(zhuǎn)函數(shù)"，求(m+

nV。*的值；

(3)已知函數(shù)y=2(x—1)(x+3)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)A,B,C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A,B”G,試求證：經(jīng)過點(diǎn)A”B”C的

二次函數(shù)與y=2(x—1)(x+3)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

參考答案

2

1.解：(1)Vyi=-180x+2250,y2=-10x-100x+2000,

.?.當(dāng)x=0時(shí)，山=2250,y2=2000,

二.小麗出發(fā)時(shí)，小明到A地的距離為2250-2000=250(m).

故答案為250.

(2)設(shè)小麗出發(fā)第xmin時(shí),兩人相距sm,則s=(—180x+2250)—(―10x2

-100x+2000)=10X2-80X+250=10(X-4)2+90,

.,.當(dāng)x=4時(shí)，s取得最小值，此時(shí)s=90.

答:小麗出發(fā)第4min時(shí)-，兩人相距最近，最近距離是90m.

2.(1)證明：???四塊矩形區(qū)域的面積相等，

.\ME=BE,矩形AMND的面積是矩形MEFN面積的2倍，

.*.AM=2ME,

二.AE=AM+ME=3ME=3BE.

5200—6x

⑵解:BC的長(zhǎng)度為xm,籬笆總長(zhǎng)為100m,-AB+3x=100,則AB的長(zhǎng)度為一7-

z□

m,矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2,

200—6x100

>0且x>0,.,.0<x<—,

5o

200-6x6,,100、

..y=x=--r2+40x(0<x<-).

5

3.解:(1)設(shè)W=kx2(k#:0).

?.?當(dāng)x=3時(shí)，W=3,.\3=9k,解得k=§,

.?.W與x的函數(shù)關(guān)系式為W=；x?.

O

⑵①設(shè)薄板的厚度為X厘米，則厚板的厚度為(6—X)厘米,

**.Q=W厚一W薄=；(6—x)J*=—4x+12,

oo

.*.Q與x的函數(shù)關(guān)系式為Q=-4x+12.

②是W薄的3倍，??.-4X+12=3X；X2,

解得Xi=2,X2=—6（不合題意，舍去），

??.x=2時(shí)，Q是W薄的3倍.

4.解：（1）當(dāng)x=0時(shí),y=—；x+5=5；當(dāng)y=—；x+5=0時(shí)，解得x=10,/.A（10,

0）,B（0,5）,.?.A0=10,B0=5,

AB=^/A02+B02=^/102+52=54

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t,-1t+5）,則BC2=t2+（—；t）2=5,解得a=2,t2=一

乙乙

2（舍去）.

.\C（2,4）.

f0=100a+10b,

將A,C點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=ax?+bx,得，,

[4=4a+2b,

「1

a=F

解得V

i耳

，這條拋物線的表達(dá)式為y=-Tx2+-x.

什乙

(3),拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)A,

.\100a+10b=0,解得b=-10a,

...y=ax2+bx=ax'-10ax=a(x—5)'—25a,...拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,一

25a).

?.?拋物線的頂點(diǎn)D在AAOB的內(nèi)部，

51

/.0<-25a<-,解得一行VaVO.

乙J.u

5.解：(1)設(shè)OB=t,則OA=2t,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(2t,0),(-t,0),

則—解得t=L

乙乙

.?.點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(2,0),(-1,0),

二?拋物線的表達(dá)式為y=a物—2)表+1)=ax2+bx+2,解得a=-1,

拋物線的表達(dá)式為y=-x2+x+2.

(2)對(duì)于y=—x?+x+2,令x=0,則y=2,故點(diǎn)C(0,2).

由點(diǎn)A,C的坐標(biāo)可得直線AC的表達(dá)式為y=-x+2,

二?點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,...點(diǎn)D(m,—m2+m+2),點(diǎn)F(m,—m+2),且0<mV2,

則DF=-m2+m+2—(—m+2)=—m2+2m=—(m-1)2+1.

V-l<0,.'.DF有最大值，此時(shí)m=l,點(diǎn)D(l,2).

⑶存在，理由如下：

由⑵可知OE=m,DE=—m2+m+2,

???NB0C=N0ED=90°,.?.要使得以點(diǎn)0,D,E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似,

LGDEOBiDEOCDEDE1?

八面瓦=無或而=而，n即ri而=2或而=5即可,

2

口口-m'+m+24-m+m+21z.,x,,1+A/33

即一--二2或---=5,斛行m=l或m=—2(舍去)或m=4或

（舍去）,

]+低

m=l或m=

4

6.解：（1）二?四邊形OABC是平行四邊形，，1^=0人=2,

...拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

b-

%=1①，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，得0=4a—2b+翁.

O

「1

a=—

聯(lián)立①②并解得《

b=~,

1OO

拋物線的表達(dá)式為y=-^x2+-x+-

OOU

⑵由拋物線的表達(dá)式易得點(diǎn)M(l,3),點(diǎn)D(4,0).

3

,「△ADR的面積是")ABC的面積的Z，

A|AD?|yR|=|oA?0B,即3又65|=|x2x|,

4

解得y=±z.

Ro

當(dāng)yR=-；XR2+|XR+[=1時(shí);解得XR=1士m；當(dāng)yR=11:+京1(+1=—J時(shí)一,

OOtJOOOO

解得XR=1±^/13,

點(diǎn)R的坐標(biāo)為(i一/)或(i—一3或(i+m,弓)或(i—m,~).

OOOO

(3)(I)如圖，作△PEQ的外接圓R,

VZPQE=45°,

故NPRE=90°,則APRE為等腰直角三角形,

當(dāng)直線MD上存在唯一的點(diǎn)Q,則RQJ_MD,

點(diǎn)M,D的坐標(biāo)分別為(1,3),(4,0),

貝！JME=3,ED=4-1=3,則MD=3^,

過點(diǎn)R作RH_LME于點(diǎn)H,

設(shè)點(diǎn)P(l,2m),則PH=HE=HR=m,

則圓R的半徑為第m,則點(diǎn)R(l+m,m),

33

解得m=1故點(diǎn)P(l,.

71乙

(II)當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，

由點(diǎn)M,E,D的坐標(biāo)知，ME=ED,即NMDE=45°；

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，此時(shí)NPQE=45°,此時(shí)點(diǎn)P(l,

3),

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，同理可得：點(diǎn)P(l,-3),

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,R或(1，3)或(1,-3).

13

7.解：(l)y=-ix'+jx+d.

X乙

3

提示：,二次函數(shù)y=ax?+5x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)

B,C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),

,f1

fc=4,a=—7,

A解得《4

64a+12+c=0,

lc=4,

1Q

???拋物線的表達(dá)式為y=--x2+x+4.

X?乙

(2)4ABC是直角三角形.理由如下：

13

令y=0,則一ZX2+5X+4=0,

解得xi=8,x2=-2,

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0).

在RtAABO中，AB2=B02+A02=22+42=20,

在RtAAOC中，AC2=A02+C02=42+82=80.

又?.?BC=0B+0C=2+8=10,

AitAABC中，AB2+AC2=20+80=102=BC2,

/.AABC是直角三角形.

(3)VA(0,4),C(8,0),.,.AC=^/42+82=4A/5.

①以A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于點(diǎn)N,此時(shí)N的坐標(biāo)為(一8,0)；

②以C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑作圓，交x軸于點(diǎn)N,此時(shí)N的坐標(biāo)為(8—4小，

0)或(8+4m，0)；

③作AC的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)N,此時(shí)N的坐標(biāo)為(3,0).

綜上所述，若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A,N,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角

形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(-8,0),(8-4^5,0),(8+4^5,0),(3,0).

(4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0),則BN=n+2.

如圖，過M點(diǎn)作MD±x軸于點(diǎn)D,

.?.MD〃OA,.,.△BMD^ABAO,

?_B_M__M_D

??嘉一面

.BMBNMDBN

.MN//AC,??嬴=麗’,，OA=BC，

V0A=4,BC=1O,BN=n+2,

2

.*.MD=~(n+2).

5

111/,、12/,、21/

sAAffi=sAABN—sABMN=QBN?OA--BN?MD=-(n+2)X4--X-(n+2)-=—~(n—

ZZZ200

3產(chǎn)+5,

當(dāng)n=3時(shí)，S/iAMN最大，

...當(dāng)AAMN面積最大時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為面,0).

(1)如圖，連接CD,CB,過點(diǎn)C作CFLAB于點(diǎn)F.

?.?點(diǎn)D(0,4),B(8,0),設(shè)。C半徑為r,(DC與y軸相切于點(diǎn)D,

.?.CD=BC=0F=r,CF=4.

VCF±AB,

，AF=BF=8—r.

在ABCF中，BF2+CF2=BC2,

即(8—r)2+42=d,解得r=5,

.-.CD=0F=5,即C(5,4),

I.OC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+(y—4)2=25.

(2)由⑴可得BF=3=AF,則0A=0B-AB=2,即A(2,0).

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax?+bx+c,將A,B,D坐標(biāo)代入得,

0=4a+2b+c,a4'

<0=64a+8b+c,解得《5

L=c,b=-亍

<c=4,

i5

拋物線的表達(dá)式為y=7x2--x+4,

TC乙

9

，點(diǎn)E(5,

設(shè)直線AE的表達(dá)式為y=mx+n,將點(diǎn)A和E的坐標(biāo)代入，

,「3

9.m=-

—7=5m+n,4

可得j4解得j3

、0=2m+n,n=-,

J