專題07等比數(shù)列的概念與前n項(xiàng)和（考點(diǎn)清單知識導(dǎo)圖+2考點(diǎn)清單+10題型解讀）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題07等比數(shù)列的概念與前n項(xiàng)和【清單01】等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式一．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．二．等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，這三個數(shù)滿足關(guān)系式G＝±eq\r(ab).三．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠0)，則通項(xiàng)公式為：an＝a1qn－1.四．等比數(shù)列的性質(zhì)1.若數(shù)列{an}，{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則{an·bn}也是等比數(shù)列．特別地，若{an}是等比數(shù)列，c是不等于0的常數(shù)，則{c·an}也是等比數(shù)列．2.在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq.3.數(shù)列{an}是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等，且等于首末兩項(xiàng)的積．4.在等比數(shù)列{an}中，每隔k項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為qk＋1.5.當(dāng)m，n，p(m，n，p∈N*)成等差數(shù)列時，am，an，ap成等比數(shù)列．【清單02】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和一．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、公比與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公比與末項(xiàng)求和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))二．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．?dāng)?shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．2．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：①在其前2n項(xiàng)中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1項(xiàng)中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．【考點(diǎn)題型一】等比數(shù)列基本量的計算方法總結(jié)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和運(yùn)算的技巧(1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．(2)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元，有時會用到整體代換，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一個整體．(3)在解決與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題時，首先要對公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．【例1】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知等比數(shù)列{an}滿足an+1A．12 B．1 C．4 D．【變式1-1】（22-23高二上·江蘇淮安·期中）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3A．4 B．?2 C．2 D．?4【變式1-2】（22-23高二上·江蘇連云港·期中）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和．若S2A．24 B．48 C．39 D．36【變式1-3】（22-23高二下·江蘇南京·期中）在等比數(shù)列{an}中，已知a1a3【變式1-4】（22-23高二上·江蘇南通·期中）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2+【考點(diǎn)題型二】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式方法總結(jié)：定義法:先根據(jù)條件判斷該數(shù)列是不是等比數(shù)列，若是等比數(shù)列則又等比數(shù)列定義直接求它的通項(xiàng)公式?！纠?】（22-23高二上·江蘇南通·期中）等比數(shù)列an滿足a1+a3=10，a2+a4=5A．2n?3 B．2n?2 C．【變式2-1】（22-23高二上·江蘇南通·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)之和為Sn，滿足Sn=2Sn?1n【變式2-2】（20-21高二上·江蘇·期中）設(shè)an是正項(xiàng)等比數(shù)列，且3a3+2a4=【變式2-3】（21-22高二上·江蘇徐州·期中）(1)已知數(shù)列an滿足a1=1,(2)已知數(shù)列an中，a1=2,a2=3，其前n項(xiàng)和Sn【變式2-4】（23-24高二下·江蘇南京·期中）設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列，a1=2，a7為(1)求an(2)設(shè)bn=2n，求數(shù)列【考點(diǎn)題型三】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和方法總結(jié)：注意:(1)公式的推導(dǎo)方法是錯位相減法，即先求前n項(xiàng)和，然后把等式的兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，最后等式的左邊減左邊，右邊第一個等式的一項(xiàng)輪空，第二項(xiàng)減去第二個等式的第一項(xiàng)，第一個等式的第三項(xiàng)減去第二個等式的第二項(xiàng)，依次減下去，第一個等式中的最后一項(xiàng)減去第二個等式的倒數(shù)第二項(xiàng)，第二個等式的最后一項(xiàng)變成原來的相反數(shù)(2)在求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時，一要討論公比q是否能為1【例3】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，a1=b(1)求數(shù)列an，b(2)設(shè)cn=an+bn【變式3-1】（23-24高二下·江蘇南京·期中）數(shù)列an滿足a1=1，a(1)an(2)bn=(a2n+2)log【變式3-2】（22-23高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知數(shù)列an滿足：a1=1，n(1)求證：bn(2)求數(shù)列an(3)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S【變式3-3】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)求Sn【變式3-4】（23-24高二下·江蘇南通·期中）已知遞增的等比數(shù)列an滿足a3=4(1)求an(2)設(shè)bn=2an【考點(diǎn)題型四】等比數(shù)列的證明方法總結(jié)：判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法1.定義法：若數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為常數(shù)且不為零)或eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，且n∈N*，q為常數(shù)且不為零)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．2.通項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．3.等比中項(xiàng)法：若aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列．4.構(gòu)造法：在條件中出現(xiàn)an＋1＝kan＋b關(guān)系時，往往構(gòu)造數(shù)列，方法是把a(bǔ)n＋1＋x＝k(an＋x)與an＋1＝kan＋b對照，求出x即可．【例4】（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期中）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，A．S2=4 C．?dāng)?shù)列an是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列S【變式4-1】（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列an滿足aA．當(dāng)k=0且a1≠0B．當(dāng)k=1時，aC．當(dāng)k=2時，aD．當(dāng)k=3，且a1=5時，【變式4-2】（多選）（22-23高二上·江蘇宿遷·期中）若數(shù)列anA．a(chǎn)n2 B．a(chǎn)n?an【變式4-3】（多選）（20-21高二上·江蘇南通·期中）設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為SA．若an=aB．若Sn=aC．若{an}D．若Sn=1?(?1)【變式4-4】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn(1)求證：數(shù)列an?1是等比數(shù)列，并求數(shù)列(2)設(shè)cn=1an?1，數(shù)列cn【考點(diǎn)題型五】等比數(shù)列的性質(zhì)方法總結(jié)：1.若數(shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．注意：如Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比數(shù)列的前提是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n均不為0.2.等比數(shù)列{an}中，若項(xiàng)數(shù)為2n，則S奇S偶＝1q；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝q【例5】（20-21高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S3A．50 B．60 C．70 D．80【變式5-1】（多選）（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）設(shè)Sn,Tn分別是等差數(shù)列anA．若a15+a16>0，aB．若Tn=5nC．S5D．T5【變式5-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）兩個等比數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知Sn【變式5-3】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知Sn是正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S4=10，則【變式5-4】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知數(shù)列an共有10項(xiàng)，該數(shù)列的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，后6項(xiàng)成等差數(shù)列，且a2=4，a6=34，a10=42，則a【考點(diǎn)題型六】等比數(shù)列的單調(diào)性方法總結(jié)：等比數(shù)列的單調(diào)性基本方法：1a1>0時，=1\*GB3①公比q>1，單調(diào)遞增;=2\*GB3②q=1無單調(diào)性;=3\*GB3③0<q<1，單調(diào)遞減;=4\*GB3④q<0，無單調(diào)性.2a1<0時，=1\*GB3①公比q>1，單調(diào)遞減;=2\*GB3②q=1無單調(diào)性;=3\*GB3③0<q<1，單調(diào)遞增;=4\*GB3④q<0，無單調(diào)性.【例6】（多選）（20-21高二上·江蘇無錫·期中）關(guān)于遞增等比數(shù)列anA．當(dāng)a1>0q>1 B．a(chǎn)1>0【變式6-1】（20-21高二上·江蘇連云港·期中）設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，q>1，令bn=an+1(A．?32 B．?43 C．【變式6-2】(多選)（20-21高二上·江蘇蘇州·期中）已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，且a1>1,a8A．q>1 B．a(chǎn)8>1 C．T【變式6-3】(多選)（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SA．若數(shù)列an為等差數(shù)列，則2B．若數(shù)列an為等差數(shù)列，Sn>0C．若數(shù)列an為等比數(shù)列，則SD．若數(shù)列an為等差數(shù)列，a1>0，S【變式6-4】（20-21高二上·江蘇蘇州·期中）在①1，an，Sn成等差數(shù)列；②遞增等比數(shù)列an中的項(xiàng)a2，已知數(shù)列an和等差數(shù)列bn滿足__________，且b1=a4，b2=a2?a3，是否存在k【考點(diǎn)題型七】等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用【例7】（23-24高二上·江蘇南通·期中）折紙與剪紙是一種用紙張折成或剪成各種不同形狀的藝術(shù)活動，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，內(nèi)涵博大精深，世代傳承．現(xiàn)將一張腰長為1的等腰直角三角形紙，每次對折后仍成等腰直角三角形，對折5次，然后用剪刀剪下其內(nèi)切圓，則可得到若干個相同的圓片紙，這些圓片紙的半徑為（

）A．2?18 B．2?28 C．【變式7-1】（多選）（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）在邊長為3的正方形ABCD中，作它的內(nèi)接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°，再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ，使得∠FMN=15°依次進(jìn)行下去，就形成了如圖所示的圖案.設(shè)第n個正方形的邊長為an（其中第1個正方形的邊長為a1=AB，第2個正方形的邊長為a2=EF，??），第n個直角三角形（陰影部分）的面積為A．a(chǎn)2=6C．?dāng)?shù)列Sn是公比為63的等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列an2的前n【變式7-2】（23-24高二下·江蘇南京·期中）如圖，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形……如此繼續(xù)下去得到一個樹狀圖形，稱為“勾股樹”.若某勾股樹含有511個正方形，且其最大的正方形的邊長為1，則其最小正方形的邊長為.【變式7-3】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）如圖，將數(shù)列an中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成數(shù)表，已知表中的第一列a1、a2、a5、?構(gòu)成一個公比為2的等比數(shù)列，從第2行起，每一行都是一個公差為d的等差數(shù)列，若a3=6，【變式7-4】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成的，且每一個正方形的四個頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，設(shè)外圍第一個正方形A1B1C1D1的邊長為3，往里第二個正方形為A2B2C【考點(diǎn)題型八】等比數(shù)列恒成立【例8】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an?2n+1，數(shù)列bn滿足b【變式8-1】（20-21高二上·江蘇南通·期中）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，且滿足a1>1，a102A．102 B．203C．204 D．205【變式8-2】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，且S3+S5(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn①求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T②若不等式λTn?Sn【變式8-3】（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S10=155，a3=8，設(shè)數(shù)列(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)cn=anbn，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為T【變式8-4】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為An，且An=na1+an2，數(shù)列bn是公比為q的等比數(shù)列，它的前(1)若a1=1，a3(2)求證：數(shù)列an(3)若q=2，是否存在正整數(shù)m，k，使得Ak=65Bm【考點(diǎn)題型九】等比數(shù)列分奇偶【例9】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列an滿足an=n+2,A．2 B．3 C．4 D．8【變式9-1】（22