第二章-自動控制原理-控制系統(tǒng)的數學模型

第2章控制系統(tǒng)的數學模型2-1建立數學模型的一般方法2-2傳遞函數2-3動態(tài)結構圖及等效變換2-4信號流圖及梅遜公式2-5控制系統(tǒng)的傳遞函數第二章控制系統(tǒng)的數學模型主要內容：1、建立被控對象的數學模型2、控制系統(tǒng)的數學描述方法l

微分方程l

傳遞函數l

方塊圖l

信號流圖定義：控制系統(tǒng)的數學模型：控制系統(tǒng)各變量間關系的數學表達式稱之為控制系統(tǒng)的數學模型。建立系統(tǒng)的數學模型的兩種方法：機理分析法通過對系統(tǒng)各部分運動機理進行分析，根據它們所依據的物理規(guī)律或化學規(guī)律分別列寫相應的運動方程。實驗辨識法根據實驗數據來建立數學模型，即人為地給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型去逼近，得到的數學模型稱為辨識模型。此方法稱為系統(tǒng)辨識§2.1系統(tǒng)動態(tài)微分方程模型用微分方程描述系統(tǒng)輸入輸出變量的動態(tài)特性是建立數學模型的一種基本方法。

用機理分析法建立方程的步驟：

1）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量2）從輸入端入手，依據各元件所遵循的物理，化學，生物等規(guī)律列出方程3）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標準方程。所謂標準方程包含三方面的內容：①將與輸入量有關的各項放在方程的右邊，與輸出量有關的各項放在方程的左邊；②各導數項按降冪排列；③將方程的系數通過元件或系統(tǒng)的參數化成具有一定物理意義的系數。簡單電路系統(tǒng)（預備知識）數學模型方程的建立例1確定輸入(自變量)和輸出變量(因變量)。

列寫下圖所示RLC網絡的微分方程。(2.1)(2.2)(2)根據基本定律，列寫原始方程（歐姆定律、基爾霍夫定律）。(3)消去中間變量i，得到最終的方程。(2.3)(2.4)[例2]圖所示為一具有質量、彈簧、阻尼器的機械位移系統(tǒng)。試列寫質量m在外力

F（t）作用下，位移x（t）的運動方程。原因：工程中大多數系統(tǒng)都是非線性的非線性微分方程式求解復雜線性系統(tǒng)理論和方法比較成熟條件：變量間關系在平衡點附近的小范圍內是線性的，把非線性方程局部線性化§2.2非線性數學模型的線性化方法：將非線性函數y＝f(x)在平衡點()附近展開成泰勒級數，即yx圖2-3非線性特性的線性化由于增量Δx=很小，展開式中增量的高次項可以忽略，則上式可近似寫成線性化方程：非線性特性的線性化，實質是以過平衡點的切線代替平衡點附近的曲線。和y0x0△x△y△y△x例1已知某裝置的輸入輸出特性如下，求小擾動線性化方程。解.

在工作點(x0,y0)處展開泰勒級數取一次近似，且令

既有)](cos[)(0txExy=§2.3傳遞函數

用微分方程來描述系統(tǒng)比較直觀，但是一旦系統(tǒng)中某個參數發(fā)生變化或者結構發(fā)生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統(tǒng)的分析與設計。為此提出傳遞函數的概念1.拉氏變換的定義

像原像2.常見函數的拉氏變換（1）階躍函數（2）指數函數單位階躍函數（3）正弦函數歐拉定律3.拉氏變換的幾個重要定理（1）線性性質

（2）微分定理證明：零初條件下有：

（3）積分定理零初始條件下有：進一步有：

零初始條件下有：（4）終值定理（5）初值定理（6）位移（滯后）定理實際應用中，拉普拉斯變換不是推算，而是查表?。?）定義

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數：定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。三要素線性定常系統(tǒng)零初始條件輸出與輸入的拉氏變換之比§2.3.1傳遞函數的定義和性質設線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數為：G(s)

U(s)Y(s)（2）性質傳遞函數是一種數學模型，是對微分方程在零初始條件下進行拉氏變換得到的傳遞函數與微分方程一一對應傳遞函數描述了系統(tǒng)的外部特性。不反映系統(tǒng)的內部物理結構的有關信息傳遞函數只取決于系統(tǒng)本身的結構參數，而與輸入量的形式無關傳遞函數與系統(tǒng)的輸入輸出的位置有關傳遞函數的拉氏反變換是單位脈沖響應函數

[例]

RLC網絡的微分方程為當初始條件為零時，拉氏變換為例：試證明下圖(a)、(b)所示的機、電系統(tǒng)是相似系統(tǒng)(即兩系統(tǒng)具有相同的數學模型)。機械系統(tǒng)電氣系統(tǒng)

這些典型環(huán)節(jié)是：比例環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)、一階慣性環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)?！?.3.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數（1）比例環(huán)節(jié)(P)特點：輸出量與輸入量為一種固定的比例關系拉氏變換得傳遞函數：實例：電位器，放大器urucKUr(s)Uc(s)00000R1R2uruc（2）一階慣性環(huán)節(jié)：傳遞函數為：K—比例系數T—時間常數（3）積分環(huán)節(jié)(I)特點：輸出量與輸入量的積分成正比積分環(huán)節(jié)實例：RCiuou（4）微分環(huán)節(jié)(D)1）理想微分環(huán)節(jié)特點：輸出量為輸入量的微分

2）實際微分環(huán)節(jié)

（5）二階振蕩環(huán)節(jié)：（6）延遲環(huán)節(jié)：傳遞函數為：式中——延遲時間特點：輸出信號比輸入信號遲后一定的時間§2.4系統(tǒng)結構圖及其等效變換

結構圖表示系統(tǒng)的組成和信號流向。在引入傳遞函數后，可以把環(huán)節(jié)的傳遞函數標在結構圖的方塊里，并把輸入量和輸出量用拉氏變換表示。

引入結構圖原因◆求傳遞函數時，須消去中間變量◆無法反映系統(tǒng)中信息的傳遞過程

G1(s)G2(s)H(s)Y(s)E(s)X(s)-方框：應用函數方框描述信號在控制系統(tǒng)中流通過程

◆

系統(tǒng)每一環(huán)節(jié)用一個方框表示，里面寫上它的傳遞函數

◆各變量用它的拉氏變換式表示G1(s)H(s)Y(s)（2）比較點

±X1X2Y(比較器)G1(s)X1G2(s)X2±Y（3）引出點：

相同的信號送到不同的地方Y1X1Y22.4.1系統(tǒng)結構圖

（1）環(huán)節(jié)

G(s)X(s)Y(s)寫出組成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)的傳遞函數畫出個體方框圖

從比較點入手，按信號流向依次連接成各個方框圖，即系統(tǒng)結構圖

繪制結構圖的步驟例：畫出下列RC電路的方塊圖。

例：建立如圖所示的雙T網絡的動態(tài)結構圖X(s)G1(s)G2(s)U(s)Y(s)G(s)U(s)Y(s)1.環(huán)節(jié)的串聯(lián)2.4.2結構圖的等效變換和簡化串聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數等于各環(huán)節(jié)傳遞函數的乘積。2.環(huán)節(jié)的并聯(lián)G1(s)U(s)Y1(s)G2(s)U(s)Y2(s)U(s)±Y(s)并聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數等于各環(huán)節(jié)傳遞函數之和。3.環(huán)節(jié)的反饋連接G(s)E(s)H(s)B(s)U(s)Y(s)±X(s)Y(s)負反饋：

正反饋：

當H(s)=1時，稱為單位反饋系統(tǒng)

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數

4.比較點和引出點的移動(1)引出點的移動G(S)G(S)UYYYUYG(S)1）前移G(S)YUYG(S)1/G(S)UYY2）后移在移動支路中串入所越過的傳遞函數方框在移動支路中串入所越過的傳遞函數的倒數方框

(2)比較點的移動1）前移G(S)1/G(S)UYQ±G(S)UYQ±2）后移YQUG(s)G(s)G(s)UYQ±±在移動支路中串入所越過的傳遞函數的倒數方框

在移動支路中串入所越過的傳遞函數方框(3)交換或合并比較點相鄰比較點之間可以隨意調換位置和合并

±±1U12U33U2Y±±±±YY1U13U22U32U31U13U2總結（1）不同性質的點不可交換，相同性質的點可以交換。UYY1Y2UYY1Y2YU2U1Y1YU2U1Y1（2）比較點、引出點需要跨越方塊時，需要做相應變換，兩者交換規(guī)律正好相反。

后移→前移←比較點×引出點×÷÷（3）變換后，轉換為串并聯(lián)或反饋回路，利用公式計算。

Y(s)U(s)－G1G2G3H1H2－＋1324653討論：有3種變換方法方法1.相加點3前移，與相加點2交換除G1（s）,

方法2.分支點4后移，與分支點5交換除G3（s）,方法3.相加點2后移，與相加點3交換乘G1（s）,例：求U(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋Y(s)

方法1.相加點3前移，討論：有？種變換方法－與相加點2交換3除G1（s）,Y(s)U(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653U(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋Y(s)

方法2.分支點4后移，與分支點5交換除G3（s）,1/G3Y(s)U(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653方法3.相加點2后移，與相加點3交換乘G1（s）,Y(s)U(s)－＋＋＋G1G2G3G1H1H2－＋Y(s)U(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋13246532.4.3系統(tǒng)傳遞函數

閉環(huán)控制系統(tǒng)（也稱反饋控制系統(tǒng)）的典型結構圖如下圖所示：-

圖中，，為輸入、輸出信號，為系統(tǒng)的偏差，為系統(tǒng)的擾動量，這是不希望的輸入量。

由于傳遞函數只能處理單輸入、單輸出系統(tǒng)，因此，我們分別求 對和對的傳遞函數，然后疊加得出總的輸出量。（1）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(閉環(huán)下的開環(huán)傳遞函數）N(s)=0時主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。（2）給定作用下的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數為：令N(s)=0，則有：誤差傳遞函數為：誤差信號與輸入信號之比-給定作用下誤差傳遞函數誤差（3）擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)令U(s)=0，則有：傳遞函數為：+擾動作用下誤差傳遞函數（4）系統(tǒng)的總輸出和總誤差根據線性疊加原理：輸出：誤差：§2.5信號流圖與梅遜公式●

信號流圖也是一種表示系統(tǒng)各變量間關系的一種圖解法●

畫圖更簡便●

梅遜增益公式----簡便、直接的求出系統(tǒng)的傳遞函數2.5.1信號流圖信號流圖是一種表示線性化代數方程組變量間關系的圖示方法。信號流圖由節(jié)點和支路組成◆

每一節(jié)點表示一個變量◆

變量間的關系用支路上的符號a（傳輸）表示，如x2=ax1◆

箭頭表示信號作用方向一系統(tǒng)方程組信流圖的基本術語1、源節(jié)點：只有輸出支路，沒有輸入支路的節(jié)點稱為源點，它對應于系統(tǒng)的輸入信號，或稱為輸入節(jié)點。2、匯節(jié)點：只有輸入支路，沒有輸出支路的節(jié)點稱為阱點，它對應于系統(tǒng)的輸出信號，或稱為輸出節(jié)點。3、混合節(jié)點：既有輸入支點也有輸出支點的節(jié)點稱為混合節(jié)點。（1）節(jié)點：表示變量的點x1~x5，分3種。

③該通道的各支路乘積稱為前向通道增益②且每一個節(jié)點只通過一次①起點為輸入節(jié)點，終點為輸出節(jié)點（2）前向通道

（3）回路

①起點