2024-2025高中物理奧賽解題方法：十一.圖象法含答案

2024-2025高中物理奧賽解題方法：十一.圖象法十一、圖象法方法簡介圖象法是根據(jù)題意把抽象復(fù)雜的物理過程有針對性地表示成物理圖象，將物理量間的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀侮P(guān)系，運用圖象直觀、形象、簡明的特點，來分析解決物理問題，由此達到化難為易，化繁為簡的目的，圖象法在處理某些運動問題，變力做功問題時是一種非常有效的方法。賽題精講圖11—1例1：一火車沿直線軌道從靜止發(fā)出由A地駛向B地，并停止在B地。A、B兩地相距s，火車做加速運動時，其加速度最大為a1，做減速運動時，其加速度的絕對值最大為a2，由此可可以判斷出該火車由A到B所需的最短時間為。解析：整個過程中火車先做勻加速運動，后做勻減速運動，加速度最大時，所用時間最短，分段運動可用圖象法來解。根據(jù)題意作v—t圖，如圖11—1所示。由圖可得：a1=①a2=②s=v(t1+t2)=vt③由①、②、③解得：t=圖11—2例2：兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時，后車以前車剎車時的加速度開始剎車。已知前車在剎車過程中所行的距離為s，若要保證兩輛車在上述情況中不相碰，則兩車在做勻速行駛時保持的距離至少為（）A、sB、2sC、3sD、4s解析：物體做直線運動時，其位移可用速度—時間圖象中的面積來表示，故可用圖象法做。作兩物體運動的v—t圖象如圖11—2所示，前車發(fā)生的位移s為三角形v0Ot的面積，由于前后兩車的剎車加速度相同，根據(jù)對稱性，后車發(fā)生的位移為梯形的面積S′=3S，兩車的位移之差應(yīng)為不相碰時，兩車勻速行駛時保持的最小車距2s。所以應(yīng)選B。例3：一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達距老鼠洞中心距離s1=1m的A點時，速度大小為v1=20cm/s，問當(dāng)老鼠到達距老鼠洞中心s2=2m的B點時，其速度大小v2=?老鼠從A點到達B點所用圖11—3的時間t=?解析：因為老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出的速度與通過的距離成反比，則不能通過勻速運動、勻變速運動公式直接求解，但可以通過圖象法求解，因為在—s圖象中，所圍面積即為所求的時間。以距離s為橫軸，為縱軸建立直角坐標(biāo)系，則s與成正比，作—s圖象如圖11—3所示，由圖可得s=2m時，老鼠的速度為10cm/s。在1m到2m之間圖象與橫軸包圍的面積即為所求的時間，所以老鼠從A到B爬行的時間為：t=(+)×=7.5s。圖11—4例4：在一汽缸的活塞下面封閉有μ摩爾理想氣，由于受到驟然加熱，氣體迅速膨脹，且膨脹過程中其熱力學(xué)溫度與其體積的平方成正比，即T=KV2。在其體積由V1膨脹至V2的過程中，氣體從外界吸收的熱量為Q1，試求此過程中氣體的內(nèi)能增加了多少？解析：求此過程中氣體的內(nèi)能增加了多少，要用熱力學(xué)第一定律，由已知條件可知，關(guān)鍵是要求出氣體對外做了多少功，而功可用p—V圖象中所圍的面積來計算。以缸內(nèi)氣體為研究對象，根據(jù)克拉珀龍方程：pV=μRt①又由已知條件有：T=KV2②①、②兩式可得：p=μRKV可見氣體膨脹時，其壓強p與體積V成正比例。因此作p—V圖，如圖11—4所示，圖中陰影區(qū)的面積表示氣體在此過程中，對外所做的功W。W=(V2－V1)=μRK(－)再由熱力學(xué)第一定律，可知此過程中氣體內(nèi)能的增加量為：圖11—5ΔE=Q1－W=Q1－μRK(－)例5：如圖11—5所示，在一個開有小孔的原來不帶電的導(dǎo)體球殼中心O點，有一個點電荷Q，球殼的內(nèi)外表面半徑分別為a和b，欲將電荷Q通過小孔緩慢地從O點移到無窮遠處，應(yīng)當(dāng)做功多少？解析：球內(nèi)、外表面上的感應(yīng)電荷的電量隨著放在球心的電荷電量的改變而改變，感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電勢U=KQ感(－)，也與感應(yīng)電荷的電量Q感成正比，利用U—Q感的圖象也可以求出外力做的功。感應(yīng)電荷在球心O處產(chǎn)生的電勢為U0，則：圖11—5甲U0=KQ感(－)作出U—Q感的圖象如圖11—5甲所示，假設(shè)電量Q是一份一份地從無窮遠處移到球心，而球內(nèi)外表面上的感應(yīng)電荷Q感隨球心處的電荷增加而增加，在此過程中移動電荷所做的功就應(yīng)等于U1—Q感圖象中陰影部分所示的三角形的面積，則有：W=Q感U當(dāng)Q感=Q時，U=U0=KQ(－)那么移走Q時所做的功應(yīng)為(－)，所以：W=(－)例6：電源電動勢為ε，內(nèi)電阻為r，試求其外電阻為何值時，電源的輸出功率最大？圖11—6解析：根據(jù)全電路歐姆定律得ε=U+Ir，由此可知當(dāng)ε、r不變時，U隨I線性變化，作U—I圖，圖中所圍面積為功率。設(shè)電源的輸出電流為I，路端電壓為U，由于U=ε－Ir，故作U—I圖如圖11—6所示，以AB線上任意一點和坐標(biāo)原點為相對頂點所圍成的矩形的面積為：S=IU顯然S表示此時電源對應(yīng)的輸出功率，要使電源的輸出功率最大，即要此矩形的面積最大，由幾何知識得，當(dāng)一個頂點位于AB線段中點C處的矩形面積最大，從圖中可得：U=ε①根據(jù)歐姆定律有：U=R②圖11—7圖11—7甲由①、②解得：R=r即當(dāng)外電阻R+r時，電源的輸出功率最大，其最大值為：例7：在11—7圖中，安培表的讀數(shù)為I1=20mA。如果電池εx反向聯(lián)結(jié)，電流增加到I2=35mA。如果電燈發(fā)生短路時，電路中的電流I等于多少？燈泡的伏安特性曲線如圖11—7甲所示。解析：題目中給出ε1的數(shù)值為9V，εx的大小不確定。當(dāng)εx從正向變?yōu)榉聪蚵?lián)結(jié)時，回路的總電動勢增大，在εx＜ε1和εx＞ε1的兩種情況下，I2都有可能增加。所以要分兩種情況討論。由燈泡的伏安特性曲線可知：當(dāng)I1=20mA時，有U燈1=3V，I2=35mA時，U燈2=9V。設(shè)兩個電源的內(nèi)阻與電流表內(nèi)阻總和為R內(nèi)，根據(jù)回路電壓方程有：（1）當(dāng)ε1＞εx時，有：ε1－εx－U燈1=I1R內(nèi)①εx反向時，有：ε1+εx－U燈2=I2R內(nèi)②由①+②得：2ε1－U燈1－U燈2=(I1+I2)R內(nèi)所以：R內(nèi)=Ω將③式代入①式得：εx=3.8V③短路瞬間，可視電燈兩端電壓為零，所以原電路中的電流：=0.048A（2）當(dāng)ε1＜εx時，有：εx－ε1－U燈1=I1R內(nèi)④εx反向時，有：εx+ε1－U燈2=I2R內(nèi)⑤⑤—④得：2ε1－2U燈2+U燈1=(I2－I1)R內(nèi)所以：R內(nèi)=Ω⑥將⑥式代入④式得：εx=28V當(dāng)回路短路時，電流為：==0.024A例8：如圖11—8所示，電源ε=12.0V，內(nèi)電阻r=0.6Ω，滑動變阻器與定值電阻R0（R0=2.4Ω）串聯(lián)，當(dāng)滑動變阻器的滑片P滑到適當(dāng)位置時，滑動變阻器的發(fā)熱功率為9.0W，求這時滑動變阻器aP部分的阻值Rx。圖11—8圖11—8甲解析：由閉合電路歐姆定律作aP兩端的Uap—I圖象，因圖上任意一點的Uap與I所對應(yīng)的矩形面積是外電路電阻Rx的輸出功率，從而由已知Rx的功率求出對應(yīng)的Rx值。根據(jù)閉合電路歐姆定律U=ε－Ir得：Uap=12－(0.6+2.4)I=12－3I，作Uap—I圖象如圖11—8甲所示，由圖可分析找到滑動變阻器的發(fā)熱功率為9W的A點和B點，所以Rx有兩個值：圖11—9Rx1=90Ω，Rx1=90Ω例9：如圖11—9所示，一寬40cm的勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向里。一邊長為20cm的正方形導(dǎo)線框位于紙面內(nèi)，以垂直于磁場邊界的恒定速度v=20cm/s通過磁場區(qū)域，在運動過程中，線框有一邊始終與磁場區(qū)域的邊界平行。取它剛進入磁場的時刻t=0，在下列圖線中，正確反映感應(yīng)電流隨時間變化規(guī)律的是圖11—9甲中的哪一個（）圖11—9甲解析：可將切割磁感應(yīng)線的導(dǎo)體等效為電源按閉合電路來考慮，也可以直接用法拉第電磁感應(yīng)定律按閉合電路來考慮。半導(dǎo)線框部分進入磁場時，有恒定的感應(yīng)電流，當(dāng)整體全部進入磁場時，無感應(yīng)電流，當(dāng)導(dǎo)線框部分離開磁場時，又能產(chǎn)生相反方向的感應(yīng)電流。所以應(yīng)選C。圖11—10例10：LC振蕩回路中電容器兩端的電壓U隨時間t變化的關(guān)系如圖11—10所示，則（）A、在時刻t1，電路中的電流最大B、在時刻t2，電路中磁場能最大C、從時刻t2至t3，電路中的電場能不斷增大D、從時刻t3至t4，電容的帶電量不斷增大解析：在電磁振蕩中，電路中的電流、磁場能、電容器的帶電量、電場能都隨時間做周期性的變化，但步調(diào)不同。電流和磁場能總是同步調(diào)變化，電壓、電量和電場能也是同步調(diào)變化的。但電流和電容器的帶電量步調(diào)不同。電流為零時電量最大，故BC正確。針對訓(xùn)練1．汽車甲沿著平直的公路以速度v0做勻速直線運動。當(dāng)它路過某處的同時，該處有一輛汽車乙開始做初速為零的勻加速運動去追趕甲車。根據(jù)上述的已知條件（）A、可求出乙車追上甲車時乙車的速度B、可求出乙車追上甲車時乙車所走的路程C、可求出乙車從開始起動到追上甲車時所用的時間D、不能求出上述三者中任何一個2．一物體做勻變速直線運動，某時刻速度的大小為4米/秒，1秒鐘后速度的大小變?yōu)?0米/秒。在這1秒鐘內(nèi)該物體的（）A、位移的大小可能小于4米 B、位移的大小可能大于10米C、加速度的大小可能小于4米/秒2 D、加速度的大小可能大于10米/秒23．在有空氣阻力的情況下，以初速v1豎直上拋一個物體，經(jīng)過時間t1到達最高點。又經(jīng)過時間t2，物體由最高點落回到拋出點，這時物體的速度為v2，則（）A、v2=v1，t2=t1 B、v2＞v1，t2＞t1C、v2＜v1，t2＞t1 D、v2＜v1，t2＜t14．（）圖11—11（1）表示質(zhì)點運動的加速度a隨時間t變化關(guān)紗的a—t圖；（2）表示質(zhì)點運動的位移x隨時間t變化關(guān)系的x—t圖。5．物體從某一高度由靜止開始滑下，第一次經(jīng)光滑斜面滑至底端時間為t1，第二次經(jīng)過光滑曲面ACD滑至底端時間為t2，如圖11—12所示，設(shè)兩次通過的路程相等，試比較t1與t2的大小關(guān)系。圖11—12圖11—136．兩光滑斜面高度相等，乙斜面的總長度和甲斜面的總長度相等，只是由兩部分接成，如圖11—13所示。將兩個相同的小球從斜面的頂端同時釋放，不計在接頭處的能量損失，問哪個先滑到底端。7．A、B兩點相距s，將s平分為n等份。今讓一物體（可視為質(zhì)點）從A點由靜止開始向B做加速運動，但每過一個等分點，加速度都增加，試求該物體到達B點的速度。8．質(zhì)量m=1kg的物體A開始時靜止在光滑水平地面上，在第1、3、5、…奇數(shù)秒內(nèi)，給A施加同向的2N的水平推力F，在2、4、6、…偶數(shù)秒內(nèi)，不給施加力的作用，問經(jīng)多少時間，A可完成s=100m的位移。9．沿光滑水平面在同一條直線上運動的A、B兩物體相碰后共同運動，該過程的位移圖象如圖11—14所示?？梢缘贸鯝、B的質(zhì)量比為。圖11—14圖11—1510．一均勻的直角三角形木板ABC，可繞垂直紙面通過C點的水平轉(zhuǎn)動，如圖11—15所示。現(xiàn)用一始終沿直角邊AB的、作用于A點的力F使BC邊緩慢地由水平位置轉(zhuǎn)至豎直位置，在此過程中，力F的大小隨角α變化的圖線是圖11—15甲中的（）圖11—15甲11．火車重為G，恒定牽引力為F，阻力為f。當(dāng)它從靜止出發(fā)，由車站沿直線駛過s距離到另一站停止，如果途中不用剎車。（1）求車行駛的最少時間是多少？（2）途中最大速度是多少？參考答案1、A2、AD3、C4、如圖所示：5、t1＞t26、乙圖中小球先到底端7、vB==8、13.64s9、2∶110、D11、t=，vm=四、等效法方法簡介在一些物理問題中，一個過程的發(fā)展、一個狀態(tài)的確定，往往是由多個因素決定的，在這一決定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，則前一些因素與后一些因素是等效的，它們便可以互相代替，而對過程的發(fā)展或狀態(tài)的確定，最后結(jié)果并不影響，這種以等效為前提而使某些因素互相代替來研究問題的方法就是等效法。等效思維的實質(zhì)是在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜的實際問題變換為簡單的熟悉問題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中規(guī)律。因此應(yīng)用等效法時往往是用較簡單的因素代替較復(fù)雜的因素，以使問題得到簡化而便于求解。賽題精講例1：如圖4—1所示，水平面上，有兩個豎直的光滑墻壁A和B，相距為d，一個小球以初速度v0從兩墻之間的O點斜向上拋出，與A和B各發(fā)生一次彈性碰撞后，正好落回拋出點，求小球的拋射角θ。解析：將彈性小球在兩墻之間的反彈運動，可等效為一個完整的斜拋運動（見圖）。所以可用解斜拋運動的方法求解。由題意得：2d=v0cosθt=v0cosθ可解得拋射角：θ=arcsin例2：質(zhì)點由A向B做直線運動，A、B間的距離為L，已知質(zhì)點在A點的速度為v0，加速度為a，如果將L分成相等的n段，質(zhì)點每通過的距離加速度均增加，求質(zhì)點到達B時的速度。解析：從A到B的整個運動過程中，由于加速度均勻增加，故此運動是非勻變速直線運動，而非勻變速直線運動，不能用勻變速直線運動公式求解，但若能將此運動用勻變速直線運動等效代替，則此運動就可以求解。因加速度隨通過的距離均勻增加，則此運動中的平均加速度為：a平====由勻變速運動的導(dǎo)出公式得：2a平L=－解得：vB=例3：一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達距老鼠洞中心距離s1=1m的A點時，速度大小為v1=20cm/s，問當(dāng)老鼠到達距老鼠洞中心s2=2m的B點時，其速度大小v2=？老鼠從A點到達B點所用的時間t=？解析：我們知道當(dāng)汽車以恒定功率行駛時，其速度v與牽引力F成反比，即v=，由此可把老鼠的運動等效為在外力以恒定的功率牽引下的彈簧的運動。由此分析，可寫出：v==當(dāng)x=s1時，v=v1將其代入上式求解，得：k==所以老鼠到達B點時的速度v2=v1=×20=10cm/s再根據(jù)外力做的功等于此等效彈簧彈性勢能的增加，Pt=k－k代入有關(guān)量可得：Pt=(－)圖4—2由此可解得：t===7.5s（此題也可以用圖像法、類比法求解。）例4：如圖4—2所示，半徑為r的鉛球內(nèi)有一半徑為的球形空腔，其表面與球面相切，鉛球的質(zhì)量為M。在鉛球和空腔的中心連線上，距離鉛球中心L處有一質(zhì)量為m的小球（可以看成質(zhì)點），求鉛球?qū)π∏虻囊?。解析：因為鉛球內(nèi)部有一空腔，不能把它等效成位于球心的質(zhì)點。我們設(shè)想在鉛球的空腔內(nèi)填充一個密度與鉛球相同的小鉛球ΔM，然后在對于小球m對稱的另一側(cè)位置放另一個相同的小鉛球ΔM，這樣加入的兩個小鉛球?qū)π∏騧的引力可以抵消，就這樣將空腔鉛球變成實心鉛球，而結(jié)果是等效的。帶空腔的鉛球?qū)的引力等效于實心鉛球與另一側(cè)ΔM對m的引力之和。設(shè)空腔鉛球?qū)的引力為F，實心鉛球與ΔM對m的引力分別為F1、F2。則F=F1－F2①經(jīng)計算可知：ΔM=M，所以：F1=G=②F2=G=③將②、③代入①式，解得空腔鉛球?qū)π∏虻囊椋篎=F1－F2=GmM［－］例5：如圖4-3所示，小球長為L的光滑斜面頂端自由下滑，滑到底端時與擋板碰撞并反向彈回，若每次與擋板碰撞后的速度大小為碰撞前速度大小的，求小球從開始下滑到最終停止于斜面下端時，小球總共通過的路程。圖4—3解析：小球與擋板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，說明碰撞過程中損失能量，每次反彈距離都不及上次大，小球一步一步接近擋板，最終停在擋板處。我們可以分別計算每次碰撞垢上升的距離L1、L2、…、Ln，則小球總共通過的路程為s=2(L1+L2+…+Ln)+L，然后用等比數(shù)列求和公式求出結(jié)果，但是這種解法很麻煩。我們假設(shè)小球與擋板碰撞不損失能量，其原來損失的能量看做小球運動過程中克服阻力做功而消耗掉，最終結(jié)果是相同的，而阻力在整個運動過程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程。設(shè)第一次碰撞前后小球的速度分別為v、v1，碰撞后反彈的距離為L1，則：mv2=mgLsinθ，m=mgL1sinθ其中v1=v，所以：==()2碰撞中損失的動能為：ΔEk=mv2－m=mv2(1－)根據(jù)等效性有：f(L1+L)=ΔEk，解得等效摩擦力f=mgsinθ通過這個結(jié)果可以看出等效摩擦力與下滑的長度無關(guān)，所以在以后的運動過程中，等效摩擦力都相同。以整個運動為研究過程，有：fs=mgLsinθ圖4—4解出小球總共通過的總路程為：s=L（此題也可以通過遞推法求解，讀者可試試。）例6：如圖4—4所示，用兩根等長的輕質(zhì)細線懸掛一個小球，設(shè)L和α已知，當(dāng)小球垂直于紙面做簡諧運動時，其周期為。解析：此題是一個雙線擺，而我們知道單擺的周期，若將又線擺擺長等效為單擺擺長，則雙線擺的周期就可以求出來了。將雙線擺擺長等效為單擺擺長L′=Lsinα，則此雙線擺的周期為：圖4—5T′=2π=2π例8：如圖4—5所示，由一根長為L的剛性輕桿和桿端的小球組成的單擺做振幅很小的自由振動。如果桿上的中點固定另一個相同的小球，使單擺變成一個異形復(fù)擺，求該復(fù)擺的振動周期。解析：復(fù)擺這一物理模型屬于大學(xué)普通物理學(xué)的內(nèi)容，中學(xué)階段限于知識的局限，不能直接求解。如能進行等效操作，將其轉(zhuǎn)化成中學(xué)生熟悉的單擺模型，則求解周期將變得簡捷易行。設(shè)想有一擺長為L0的輔助單擺，與原復(fù)擺等周期，兩擺分別從擺角α處從靜止開始擺動，擺動到與豎直方向夾角為β時，具有相同的角速度ω，對兩擺分別應(yīng)用機械能守恒定律，于是得：mgl(cosβ－cosα)+mg(cosβ－cosα)=m(ωl)2+()2對單擺，得：mgl0(cosβ－cosα)=m(ωl0)2聯(lián)立兩式求解，得：l0=l故原復(fù)擺的周期為：T=2π=2π圖4—6例9：粗細均勻的U形管內(nèi)裝有某種液體，開始靜止在水平面上，如圖4—6所示，已知：L=10cm，當(dāng)此U形管以4m/s2的加速度水平向右運動時，求兩豎直管內(nèi)液面的高度差。（g=10m/s2）解析：當(dāng)U形管向右加速運動時，可把液體當(dāng)做放在等效重力場中，g′的方向是等效重力場的豎直方向，這時兩邊的液面應(yīng)與等效重力場的水平方向平行，即與g′方向垂直。設(shè)g′的方向與g的方向之間夾角為α，則：tanα==0.4由圖4—6可知液面與水平方向的夾角為α，所以，Δh=Ltanα=10×0.4=4cm=0.04m例10：光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為R，在其最低點A處放一質(zhì)量為m的帶電小球，整個空間存在勻強電場，使小球受到電場力的大小為mg，方向水平向右，現(xiàn)給小球一個水平向右的初速度v0，使小球沿軌道向上運動，若小球剛好能做完整的圓周運動，求v0。解析：小球同時受到重力和電場力作用，這時也可以認為小球處在等效重力場中。小球受到的等效重力為：G′==mg等效重力加速度：g′==g圖4—圖4—7甲圖4—7與豎直方向的夾角θ=30°，如圖4—7甲所示。所以B點為等效重力場中軌道的最高點，如圖4—7，由題意，小球剛好能做完整的圓周運動，小球運動到B點時的速度vB=在等效重力場中應(yīng)用機械能守恒定律：m=mg′(R+Rcosθ)+m將g′、vB分別代入上式，解得給小球的初速度為：v0=例11：空間某一體積為V的區(qū)域內(nèi)的平均電場強度（E）的定義為：圖4—8E==如圖4—8所示，今有一半徑為a原來不帶電的金屬球，現(xiàn)使它處于電量為q的點電荷的電場中，點電荷位于金屬球外，與球心的距離為R，試計算金屬球表面的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場在此球內(nèi)的平均電場強度。解析：金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的球內(nèi)電場，由靜電平衡知識可知等于電量為q的點電荷在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場，其大小相等，方向相反，因此求金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場，相當(dāng)于求點電荷q在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場。由平均電場強度公式得：E====設(shè)金屬球均勻帶電，帶電量為q，其密度為ρ=，則有：E==為帶電球體在q所在點產(chǎn)生的場強，因而有E=，方向從O指向q。例11：質(zhì)量為m的小球帶電量為Q，在場強為E的水平勻強電場中獲得豎直向上的初速度為v0。若忽略空氣阻力和重力加速度g隨高度的變化，求小球在運動過程中的最小速度。解析：若把電場力Eq和重力mg合成一個力，則小球相當(dāng)于只受一個力的作用，由于小球運動的初速度與其所受的合外力之間成一鈍角，因此可以把小球的運動看成在等效重力G′（即為合外力）作用下的斜拋運動，而做斜拋運動的物體在其速度方向與G′垂直時的速度為最小，也就是斜拋運動的最高點，由此可見用這種等效法可以較快求得結(jié)果。圖4—9電場力和重力的合力方向如圖4—9所示，由圖所示的幾何關(guān)系可知：tanθ=小球從O點拋出時，在y方向上做勻減速直線運動，在x軸方向上做勻速直線運動。當(dāng)在y軸方向上的速度為零時，小球只具有x軸方向上的速度，此時小球的速度為最小值，所以：vmin=v0cosθ=（此題也可以用矢量三角形求極值的方法求解，讀者可自行解決。）圖4—10例12：如圖4—10所示，R1、R2、R3為定值電阻，但阻值未知，Rx為電阻箱。當(dāng)Rx為Rx1=10Ω時，通過它的電流Ix1=1.0A；當(dāng)Rx為Rx2=18Ω時，通過它的電流Ix2=0.6A。則當(dāng)Ix3=0.1A時，求電阻Rx3。解析：電源電動勢ε、內(nèi)電阻r、電阻R1、R2、R3均未知，按題目給的電路模型列式求解，顯然方程數(shù)少于未知量數(shù)，于是可采取變換電路結(jié)構(gòu)的方法。圖4—10甲將圖4—10所示的虛線框內(nèi)電路看成新的電源，則等效電路如圖4—10甲所示，電源的電動勢為ε′，內(nèi)電阻為r′。根據(jù)電學(xué)知識，新電路不改變Rx和Ix的對應(yīng)關(guān)系，有：ε′=Ix1(Rx1+r′)①ε′=Ix2(Rx2+r′)②ε′=Ix3(Rx3+r′)③圖4—11由①、②兩式，得：ε′=12V，r′=2Ω代入③式，可得：Rx3=118Ω例13：如圖4—11所示的甲、乙兩個電阻電路具有這樣的特性：對于任意阻值的RAB、RBC和RCA，相應(yīng)的電阻Ra、Rb和Rc可確定。因此在對應(yīng)點A和a，B和b、C和c的電位是相同的，并且，流入對應(yīng)點（例如A和a）的電流也相同，利用這些條件證明：Ra=，并證明對Rb和Rc也有類似的結(jié)果，利用上面的結(jié)果求圖4—11甲中P和Q兩點之間的電阻。解析：圖4—11中甲、乙兩種電路的接法分別叫三角形接法和星形接法，只有這兩種電路任意兩對應(yīng)點之間的總電阻部分都相等，兩個電路可以互相等效，對應(yīng)點A、a、B、b和C、c將具有相同的電勢。由Rab=RAB，Rac=RAC，Rbc=RBC，對ab間，有：Ra+Rb=(+)－1=①同樣，ac間和bc間，也有：Ra+Rc=(+)－1=②Rb+Rc=(+)－1=③將①+②－③得：Ra=再通過①－②＋③和③+②－①，并整理，就得到Rb和RC的表達式——Rb=，Rc=下面利用以上結(jié)果求圖4—12甲中P和Q兩點之間的電阻。4—12甲4—12乙4—12丙用星形接法代替三角形接法，可得圖4—12乙所示電路，PRQS回路是一個平衡的惠斯登電橋，所以在RS之間無電流，因此它與圖4—12丙所示電路是等效的。因此PQ之間的總電阻RPQ可通過這三個并聯(lián)電阻求和得到。所以：RPQ=(++)－1=4Ω圖4—13例14：如圖4—13所示，放在磁感應(yīng)強度B=0.6T的勻強磁場中的長方形金屬線框abcd，框平面與磁感應(yīng)強度方向垂直，其中ab和bc各是一段粗細均勻的電阻絲Rab=5Ω，Rbc=3Ω，線框其余部分電阻忽略不計?，F(xiàn)讓導(dǎo)體EF擱置在ab、cd邊上，其有效長度L=0.5m，且與ab垂直，阻值REF=1Ω，并使其從金屬框ad端以恒定的速度V=10m/s向右滑動，當(dāng)EF滑過ab長的距離時，問流過aE端的電流多大？圖4—13甲解析：EF向右運動時，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢ε，當(dāng)EF滑過ab長的時，電路圖可等效為如圖4—13甲所示的電路。根據(jù)題設(shè)可以求出EF產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢εε=BLV=0.6×0.5×10=3.0VRaE=4Ω，REb=1Ω，Rbc=3Ω此時電源內(nèi)阻為導(dǎo)體EF的電阻，r=REF=1Ω，則電路中的總電阻為：R=r+=3Ω圖4—14電路中的總電流為：I==1.0A∴通過aE的電流為：IaE=0.5A例15：有一薄平凹透鏡，凹面半徑為0.5m，玻璃的折射率為1.5，且在平面上鍍一層反射層，如圖4—14所示，在此系統(tǒng)的左側(cè)主軸上放一物S，S距系統(tǒng)1.5m，問S成像于何處？解析：本題可等效為物點S先經(jīng)薄平凹透鏡成像，其像為平面鏡的物，平面鏡對物成像又為薄平凹透鏡成像的物，根據(jù)成像規(guī)律，逐次求出最終像的位置。根據(jù)以上分析，首先考慮物S經(jīng)平凹透鏡的成像S′，根據(jù)公式+=其中=(n－1)(－)=(1.5－1)(－)=－1m－1故有：+=－1，=－0.6m成像在左側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像S″后，其像距為：=－P2=－=0.6m成像在右側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像，有：+=，其中P3==0.6m，=－1m－1故：+=－1，解得：=－0.375m即成虛像于系統(tǒng)右側(cè)0.375m處。（此題還可用假設(shè)法求解。）圖4—15針對訓(xùn)練1．半徑為R的金屬球與大地相連，距球心L處有一帶電量為+q的點電荷如圖4—15所示。試求：（1）球上感應(yīng)電荷的總電量；（2）q受到的庫侖力。2．如圖4—16所示，設(shè)R1=40Ω，R2=80Ω，R3=5Ω，R4=10Ω，R5=40Ω，R6=99Ω，R7=101Ω，R8=20Ω，求AB之間的電阻。圖4—16圖4—17圖4—183．電路如圖4—17所示，R1=R3=R4=R5=3Ω時，R2=1Ω，求AB間的等效電阻。4．有9個電阻聯(lián)成如圖4—18電路，圖中數(shù)字的單位是Ω，求PQ兩點間的等效電阻。5．如圖4—19所示電路，求AB兩點間的等效電阻。圖4—19圖4—206．如圖4—20所示，由5個電阻聯(lián)成的網(wǎng)絡(luò)，試求AB兩點間的等效電阻。7．由7個阻值均為r的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如圖4—21甲所示。由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無限梯形網(wǎng)絡(luò)如圖4—21乙所示。試求P、Q兩點之間的等效電阻。圖4—21甲圖4—21乙8．圖4—22表示一交流電的電流隨時間而變化的圖像，此交流電流有效值是（）A、5AB、5AC、3.5AD、3.5A圖4—22圖4—23圖4—249．磁流體發(fā)電機的示意圖如圖4—23所示，橫截面為距形的管道長為L，寬為a，高為b，上下兩個側(cè)面是絕緣體，相距為a的兩個側(cè)面是電阻可忽略的導(dǎo)體，此兩導(dǎo)體側(cè)面與負載電阻RL相連。整個管道放在一個勻強磁場中，磁感應(yīng)強度的大小為B，方向垂直于上下側(cè)面向上。現(xiàn)有電離氣體（正、負帶電粒子