2024-2025高中物理奧賽解題方法：十三.降維法含答案

2024-2025高中物理奧賽解題方法：十三.降維法含答案十三、降維法方法簡介降維法是將一個(gè)三維圖變成幾個(gè)二維圖，即應(yīng)選兩個(gè)合適的平面去觀察，當(dāng)遇到一個(gè)空間受力問題時(shí)，將物體受到的力分解到兩個(gè)不同平面上再求解。由于三維問題不好想像，選取適當(dāng)?shù)慕嵌?，可用降維法求解。降維的優(yōu)點(diǎn)是把不易觀察的空間物理量的關(guān)系在二維圖中表示出來，使我們很容易找到各物理量之間的關(guān)系，從而正確解決問題。賽題精講例1：如圖13—1所示，傾角θ=30°的粗糙斜面上放一物體，物體重為G，靜止在斜面上?，F(xiàn)用與斜面底邊平行的力F=G/2推該物體，物體恰好在斜面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ等于多少？物體勻速運(yùn)動(dòng)的方向如何？解析：物體在重力、推力、斜面給的支持力和摩擦力四個(gè)力的作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以受力平衡。但這四個(gè)力不在同一平面內(nèi)，不容易看出它們之間的關(guān)系。我們把這些力分解在兩個(gè)平面內(nèi)，就可以將空間問題變?yōu)槠矫鎲栴}，使問題得到解決。將重力沿斜面、垂直于斜面分解。我們從上面、側(cè)面觀察，圖13—1—甲、圖13—1—乙所示。如圖13—1—甲所示，推力F與重力沿斜面的分力G1的合力F′為：F′的方向沿斜面向下與推力成α角，則這就是物體做勻速運(yùn)動(dòng)的方向物體受到的滑動(dòng)摩擦力與F′平衡，即所以摩擦因數(shù)：例2：如圖13—2所示，一個(gè)直徑為D的圓柱體，其側(cè)面刻有螺距為h的光滑的螺旋形凹槽，槽內(nèi)有一小球，為使小球能自由下落，必須要以多大的加速度來拉纏在圓柱體側(cè)面的繩子？解析：將圓柱體的側(cè)面等距螺旋形凹槽展開成為平面上的斜槽，如圖13—2—甲所示，當(dāng)圓柱體轉(zhuǎn)一周，相當(dāng)于沿斜槽下降一個(gè)螺距h，當(dāng)圓柱轉(zhuǎn)n周時(shí)，外側(cè)面上一共移動(dòng)的水平距離為①圓弧槽內(nèi)小球下降的高度為②解①、②兩式，可得，為使螺旋形槽內(nèi)小球能自由下落，圓柱體側(cè)面繩子拉動(dòng)的加速度應(yīng)為例3：如圖13—3所示，表面光滑的實(shí)心圓球B的半徑R=20cm，質(zhì)量M=20kg，懸線長L=30cm。正方形物塊A的厚度△h=10cm，質(zhì)量m=2kg，物體A與墻之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s2。求：（1）墻對(duì)物塊A的摩擦力為多大？（2）如果要物體A上施加一個(gè)與墻平行的外力，使物體A在未脫離圓球前貼著墻沿水平方向做加速度a=5m/s2勻加速直線運(yùn)動(dòng)，那么這個(gè)外力大小方向如何？解析：這里物體A、B所受的力也不在一個(gè)平面內(nèi)，混起來考慮比較復(fù)雜，可以在垂直于墻的豎直平面內(nèi)分析A、B間壓力和A對(duì)墻的壓力；在與墻面平行的平面內(nèi)分析A物體沿墻水平運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力情況。（1）通過受力分析可知墻對(duì)物塊A的靜摩擦力大小等于物塊A的重力。（2）由于物體A貼著墻沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且與摩擦力方向相反。又因?yàn)槲矬w受豎直向下的重力，所以推力F方向應(yīng)斜向上。設(shè)物體A對(duì)墻的壓力為N，則沿垂直于墻的方向，物體B受到物體A的支持力大小也為N，有又因?yàn)樵谂c墻面平行的平面內(nèi)，對(duì)物體A沿豎直方向做受力分析，如圖13—3—甲所示有沿水平方向做受力分析，有由以上各式，解得因此，對(duì)物體A施加的外力F的大小為20N，方向沿墻面斜向上且與物體A水平運(yùn)動(dòng)方向的夾角為例4：一質(zhì)量m=20kg的鋼件，架在兩根完全相同的平行長直圓柱上，如圖13—4所示，鋼件的重心與兩柱等距，兩柱的軸線在同一水平面內(nèi)，圓柱的半徑r=0.025m，鋼件與圓柱間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.20。兩圓柱各繞自己的軸線做轉(zhuǎn)向相反的轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度若沿平行于柱軸的方向施力推著鋼件做速度為的勻速運(yùn)動(dòng)，求推力是多大？（設(shè)鋼件不發(fā)生橫向運(yùn)動(dòng)）解析：本題關(guān)鍵是搞清滑動(dòng)摩擦力的方向，滑動(dòng)摩擦力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反，由于鋼件和圓柱都相對(duì)地面在運(yùn)動(dòng)，直接不易觀察到相對(duì)地面在運(yùn)動(dòng)，直接不易觀察到相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向，而且鋼件的受力不在同一平面內(nèi)，所以考慮“降維”，即選一個(gè)合適的角度觀察。我們從上往上看，畫出俯視圖，如圖13—4—甲所示。我們選考慮左邊圓柱與鋼件之間的摩擦力，先分析相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向，鋼件有向前的速度，左邊圓住有向右的速度,則鋼件相對(duì)于圓柱的速度是與的矢量差，如圖中△v，即為鋼件相對(duì)于圓柱的速度，所以滑動(dòng)摩擦力f的方向與△v，的方向相反，如圖13—4—甲所示。圖13—4—乙以鋼件為研究對(duì)象，在水平面上受到推力F和兩個(gè)摩擦力f的作用，設(shè)圖13—4—乙①再從正面看鋼件在豎直平面內(nèi)的受力可以求出FN，如圖13—4—乙所示，鋼件受重力G和兩個(gè)向上的支持力FN，且G=2FN，所以把代入①式，得推力例5：如圖13—5所示，將質(zhì)量為M的勻質(zhì)鏈條套在一個(gè)表面光滑的圓錐上，圓錐頂角為α，設(shè)圓錐底面水平，鏈條靜止時(shí)也水平，求鏈條內(nèi)的張力。解析：要求張力，應(yīng)在鏈條上取一段質(zhì)量元進(jìn)行研究。因?yàn)樵搯栴}是三維問題，各力不在同一平面內(nèi)，所以用“降維法”作出不同角度的平面圖進(jìn)行研究。作出俯視圖13—5—甲，設(shè)質(zhì)量元兩端所受張力為T，其合力為F，因?yàn)樗鶎?duì)的圓心角θ很小，所以，即F=Tθ。再作出正視圖13—5—乙，質(zhì)量元受重力g、支持力N和張力的合力F而處于平衡狀態(tài)，由幾何知識(shí)可得：所以鏈條內(nèi)的張力例6：雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁。演員騎摩托車從底部開始運(yùn)動(dòng)，隨著速度增加，圈子越兜越大，最后在豎直圓筒壁上勻速率行駛，如圖13—6所示。如果演員和摩托車的總質(zhì)量為M，直壁半徑為R，勻速率行駛的速率為v，每繞一周上升的距離為h，求摩托車勻速走壁時(shí)的向心力。解析：摩托車的運(yùn)動(dòng)速度v，可分解為水平速度v1和豎直分速度為v2，則向心力速度為。處理這個(gè)問題的關(guān)鍵是將螺旋線展開為一個(gè)斜面，其傾角的余弦為，如圖13—6—甲所示。所以有向心加速度為：向心力例7：A、B、C為三個(gè)完全相同的表面光滑的小球，B、C兩球各被一長為L=2.00m的不可伸和的輕線懸掛于天花板上，兩球剛好接觸，以接觸點(diǎn)O為原點(diǎn)作一直角坐標(biāo)系軸豎直向上，Ox與兩球的連心線重合，如圖13—7所示。今讓A球射向B、C兩球，并與兩球同時(shí)發(fā)生碰撞。碰撞前，A球速度方向沿y軸正方向，速率為。相碰后，A球沿y軸負(fù)方向反彈，速率=0.40m/s。（1）求B、C兩球被碰后偏離O點(diǎn)的最大位移量；（2）討論長時(shí)間內(nèi)B、C兩球的運(yùn)動(dòng)情況。（忽略空氣阻力，取g=10m/s2）解析：（1）A、B、C三球在碰撞前、后的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在平面內(nèi)，設(shè)剛碰完后，A的速度大小為，B、C兩球的速度分別為與，在x方向和y方向的分速度的大小分別為，，如圖13—7—甲所示，由動(dòng)量守恒定律，有①②由于球面是光滑的，在碰撞過程中，A球?qū)球的作用力方向沿A、B兩球的連心線，A球?qū)球的作用力方向沿A、C兩球的連心線，由幾何關(guān)系，得圖13—7甲圖13—7甲由對(duì)稱關(guān)系可知④解①、②、③、④式可得由此解得設(shè)C球在x>0,y>0,z>0的空間中的最大位移為Q點(diǎn)的z坐標(biāo)為zQ，則由機(jī)械能守恒定律可寫出⑤所以代入數(shù)值解得zQ=0.32m而Q點(diǎn)到Oz軸的距離為所以C球離O點(diǎn)的最大位移量⑥代入數(shù)值，得⑦由對(duì)稱性，可得B球在的空間的最大位移量為⑧（2）當(dāng)B、C兩球各達(dá)到最大位移后，便做回到原點(diǎn)的擺動(dòng)，并發(fā)生兩球間的碰撞，兩球第一次返回O點(diǎn)碰撞前速度的大小和方向分別為方向沿正x軸方向=2.20m/s方向沿y軸方向方向沿正x軸方向=2.20m/s方向沿y軸方向設(shè)碰撞后的速度分別為，對(duì)應(yīng)的分速度的大小分別為、、和，由于兩球在碰撞過程中的相互作用力只可能沿x軸方向，故碰撞后，沿y軸方向的速度大小和方向均保持不變（因?yàn)樾∏蚨际枪饣模?方向沿負(fù)y軸方向⑨=方向沿負(fù)y軸方向⑩碰撞過程中，沿x軸方向的動(dòng)量守恒，則因?yàn)樗约磁鲎埠髢汕蛟趚方向的分速度大小也相等，方向相反，具體數(shù)值取決于碰撞過程中是否機(jī)械能損失。在A球與B、C兩球同時(shí)碰撞的過程中，碰撞前，三者的機(jī)械能碰撞后三者的機(jī)械能表明在碰撞過程中有機(jī)械能損失，小球的材料不是完全彈性體，故B、C兩球在碰撞過程中也有機(jī)械能損失，即eq\o\ac(○,11)由⑨、⑩和eq\o\ac(○,11)三式，和eq\o\ac(○,12)或當(dāng)B、C兩球第二次返回O點(diǎn)時(shí)，兩球發(fā)生第二次碰撞，設(shè)碰撞后兩球的速度分別為，對(duì)應(yīng)的分速度的大小分別為，則有或由此可見，B、C兩球每經(jīng)過一次碰撞，沿x方向的分速度都要變小，即……而y方向的分速度的大小保持不變，即……當(dāng)兩球反復(fù)碰撞足夠多次數(shù)后，沿x方向的分速度為零，只有y方向的分速度。設(shè)足夠多的次數(shù)為n，則有eq\o\ac(○,13)eq\o\ac(○,14)即最后，B、C兩球一起的Oyz平面內(nèi)擺動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)O的速度由eq\o\ac(○,14)式給出，設(shè)最高點(diǎn)的z軸坐標(biāo)為，則得代入數(shù)值，得eq\o\ac(○,15)最高點(diǎn)的y坐標(biāo)由下式給出：代入數(shù)值，得：eq\o\ac(○,16)圖13—8例8：一半徑R=1.00m的水平光滑圓桌面，圓心為O，有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線C，如圖13—8所示。一根不可伸長的柔軟的細(xì)輕繩，一端固定在封閉曲線上某一點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m=7.5×10—2kg的小物塊。將小物塊放在桌面上并把繩拉直，再給小物塊一個(gè)方向與繩垂直、大小為的初速度，物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩將纏繞在立柱上。已知當(dāng)繩的張力為T0=2.0圖13—8（1）問繩剛要斷開時(shí)，繩的伸直部分的長度為多少？（2）若繩剛要斷開時(shí)，桌面圓心O到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點(diǎn)的連線正好與繩的伸直部分垂直，問物塊的落地點(diǎn)到桌面圓心O的水平距離為多少？已知桌面高度H=0.80m，物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)未與立柱相碰。取重力加速度大小為10m/s2。解析：（1）這一問題比較簡單。繩斷開前，繩的張力即為物塊所受的向心力，因?yàn)槌跛俣扰c繩垂直，所以繩的張力只改變物塊的速度方向，而速度大小不變，繩剛要斷開時(shí)，繩的伸直部分的長度可求出。設(shè)繩的伸直部分長為x，則由牛頓第二定律得：代入已知數(shù)值得：x=0.60m（2）選取桌面為分析平面，將物塊的落地點(diǎn)投影到此分析平面上，然后由平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解。如圖13—8—甲所示，設(shè)繩剛要斷開時(shí)物塊位于桌面上的P點(diǎn)，并用A點(diǎn)表示物塊離開桌面時(shí)的位置，先取桌面為分析平面，將物塊的落地點(diǎn)投影到此分析平面上，其位置用D點(diǎn)表示，易知D點(diǎn)應(yīng)在直線PA的延長線上，即等于物塊落地點(diǎn)與桌面圓心O的水平距離，而等于物塊離開桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程。即故代入已知數(shù)值得物塊落地點(diǎn)到桌面圓心O的水平距離例9：如圖13—9所示是一種記錄地震裝置的水平擺，擺球m固定在邊長為L，質(zhì)量可忽略不計(jì)的等邊三角形的頂點(diǎn)A上。它的對(duì)邊BC跟豎直線成不大的夾角，擺球可以繞固定軸BC擺動(dòng)。求擺做微小振動(dòng)的周期。解析：若m做微小振動(dòng)，則其軌跡一定在過A點(diǎn)，垂直于BC的平面內(nèi)的以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧上。因此我們可以作一個(gè)過A點(diǎn)垂直于BC的平面M，如圖13—9—甲所示，將重力mg沿M平面和垂直于M平面方向分解，則在平面M內(nèi)，m的振動(dòng)等效于一個(gè)只在重力作用下簡諧運(yùn)動(dòng)，擺長所以周期例10：六個(gè)相同的電阻（阻值均為R）連成一個(gè)電阻環(huán)，六個(gè)結(jié)點(diǎn)依次為1、2、3、4、5和6，如圖13—10所示。現(xiàn)有五個(gè)完全相同的這樣的電阻環(huán)，分別稱為D1、D2、…、D5。現(xiàn)將D1的1、3、5三點(diǎn)分別與D2的2、4、6三點(diǎn)用導(dǎo)線連接，如圖13—10—甲所示。然后將D2的1、3、5三點(diǎn)分別與D3的2、4、6三點(diǎn)用導(dǎo)線連接……依次類推，最后將D5的1、3、5三點(diǎn)分別連接到D4的2、4、6三點(diǎn)上。證明：全部接好后，在D1上的1、3、兩點(diǎn)間的等效是電阻為。解析：由于連接電阻R的導(dǎo)線，連接環(huán)D之間的導(dǎo)線均不計(jì)電阻，因此，可改變環(huán)的半徑，使五個(gè)環(huán)的大小滿足：D1<D2<…<D5.將圖13—10—甲所示的圓柱形網(wǎng)絡(luò)變成圓臺(tái)形網(wǎng)絡(luò)，在沿與底面垂直的方向?qū)⒋藞A臺(tái)形網(wǎng)絡(luò)壓縮成一個(gè)平面，如圖13—10—乙所示的平面電路圖?，F(xiàn)將圓形電阻環(huán)變成三角形，1、3、5三點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，2、4、6三點(diǎn)為三角形三邊的中點(diǎn)，圖13—10—乙又變?yōu)槿鐖D13—10—丙所示電路圖。不難發(fā)現(xiàn)，圖13—10—丙所示的電路相對(duì)虛直線3、6具有左右對(duì)稱性?？梢杂枚喾N解法求。如將電路等效為圖13—10—丁。A1B1以內(nèi)的電阻A2B2以內(nèi)的電阻A3B3以內(nèi)的電阻A4B4以內(nèi)的電阻A5B5以內(nèi)的電阻即為D1環(huán)上1、3兩點(diǎn)間的等效電阻。例11：如圖13—11所示，用12根阻值均為r的相同的電阻絲構(gòu)成正立方體框架。試求AG兩點(diǎn)間的等效電阻。解析：該電路是立體電路，我們可以將該立體電路“壓扁”，使其變成平面電路，如圖13—11—甲所示?？紤]到D、E、B三點(diǎn)等勢，C、F、H三點(diǎn)等勢，則電路圖可等效為如圖13—11—乙所示的電路圖，所以AG間總電阻為例12：如圖13—12所示，傾角為θ的斜面上放一木制圓制，其質(zhì)量m=0.2kg，半徑為r，長度L=0.1m，圓柱上順著軸線OO′繞有N=10匝的線圈，線圈平面與斜面平行，斜面處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，當(dāng)通入多大電流時(shí)，圓柱才不致往下滾動(dòng)？解析：要準(zhǔn)確地表達(dá)各物理量之間的關(guān)系，最好畫出正視圖，問題就比較容易求解了。如圖13—12—甲所示，磁場力Fm對(duì)線圈的力矩為MB=NBIL·2r·sinθ，重力對(duì)D點(diǎn)的力矩為：MG=mgsinθ，平衡時(shí)有：MB=MG則可解得：例13：空間由電阻絲組成的無窮網(wǎng)絡(luò)如圖13—13所示，每段電阻絲的電阻均為r，試求A、B間的等效電阻RAB。解析：設(shè)想電流A點(diǎn)流入，從B點(diǎn)流出，由對(duì)稱性可知，網(wǎng)絡(luò)中背面那一根無限長電阻絲中各點(diǎn)等電勢，故可撤去這根電阻絲，而把空間網(wǎng)絡(luò)等效為圖13—13—甲所示的電路。（1）其中豎直線電阻r′分別為兩個(gè)r串聯(lián)和一個(gè)r并聯(lián)后的電阻值，所以橫線每根電阻仍為r，此時(shí)將立體網(wǎng)絡(luò)變成平面網(wǎng)絡(luò)。（2）由于此網(wǎng)絡(luò)具有左右對(duì)稱性，所以以AB為軸對(duì)折，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槿鐖D13—13—乙所示的網(wǎng)絡(luò)。其中橫線每根電阻為，豎線每根電阻為AB對(duì)應(yīng)那根的電阻為，此時(shí)由左右無限大變?yōu)橛疫厽o限大。（3）設(shè)第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)為CD，此后均有相同的網(wǎng)絡(luò)，去掉AB時(shí)電路為圖13—13—丙所示。再設(shè)RCD=Rn－1（不包含CD所對(duì)應(yīng)的豎線電阻）則，網(wǎng)絡(luò)如圖13—13—丁所示。此時(shí)當(dāng)時(shí)，Rn=Rn－1∴上式變?yōu)橛纱私獾茫杭囱a(bǔ)上AB豎線對(duì)應(yīng)的電阻，網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槿鐖D13—13—戊所示的電路。例14：設(shè)在地面上方的真空室內(nèi)，存在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，已知電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向是相同的，電場強(qiáng)度的大小E=4.0V/m，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.15T，今有一個(gè)帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)以v=20m/s的速度在此區(qū)域內(nèi)沿垂直場強(qiáng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求此帶電質(zhì)點(diǎn)的電量與質(zhì)量之比q/m以及磁場的所有可能方向（角度可用反三角函數(shù)表）。解析：因?yàn)閹ж?fù)電的質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，說明此質(zhì)點(diǎn)所受的合外力為零。又因?yàn)殡妶鰪?qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向相同，所以該帶電質(zhì)點(diǎn)所受的電場力和洛侖茲力的方向垂直共面，且必受重力作用，否則所受合外力不可能為零，設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度方向垂直紙面向里。由此該帶電質(zhì)點(diǎn)的受力圖如圖13—14所示。由平衡條件有有水平方向：①在豎直方向：②解得：q/m=2同理，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)速度方向垂直紙面向外時(shí)受力情況如圖13—14—甲，由平衡條件可解出θ值與上式解出的一樣，只是與紙平面的夾角不同，故此帶電質(zhì)點(diǎn)的電量與質(zhì)量之比為2。磁場的所有可能方向與水平方向的夾角都是針對(duì)訓(xùn)練1．如圖13—15所示，一個(gè)重1000N的物體放在傾角為30°的斜面上，物體與斜面間的摩擦系數(shù)μ為1/3。今有一個(gè)與斜面最大傾斜線成30°角的力F作用于物體上，使物體在斜面上保持靜止，求力F的大小。2．斜面傾角θ=37°，斜面長為0.8m，寬為0.6m，如圖13—16所示。質(zhì)量為2kg的木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，在平行于斜面方向的恒力F的作用下，沿斜面對(duì)角線從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)（g=10m/s2，sin37°=0.6）。求：（1）力F的最小值是多大？（2）力F取最小值時(shí)木塊的加速度。3．質(zhì)量為0.8kg的長方形木塊靜止在傾角為30°的斜面上，若用平行于斜面沿水平方向大小等于3N的力推物體，它仍保持靜止，如圖13—17所示，則木塊所受摩擦力大小為，方向?yàn)椤?．如圖13—18，四面體框架由電阻同為R的6個(gè)電阻連接而成，試求任意兩個(gè)頂點(diǎn)AB間的等效電阻。5．如圖13—19所示三棱柱由電阻同為R的電阻線連接而成，試求AB兩個(gè)頂點(diǎn)間的等效電阻。6．將同種材料粗細(xì)均勻的電阻絲連接成立方體的形狀，如圖13—20所示，每段電阻絲電阻均為r。試求：（1）AB兩點(diǎn)間等效電阻RAG；（2）AD兩點(diǎn)間等效電阻RAD。參考答案1．0.288×103N≤F≤0.577×103N2．(1)7.2N（2）0.8m/s23．5N沿斜面指向右上方水平方向的夾角為53°4．5．6．（1）（2）十四、近似法方法簡介近似法是在觀察物理現(xiàn)象、進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)、建立物理模型、推導(dǎo)物理規(guī)律和求解物理問題時(shí)，為了分析認(rèn)識(shí)所研究問題的本質(zhì)屬性，往往突出實(shí)際問題的主要方面，忽略某些次要因素，進(jìn)行近似處理.在求解物理問題時(shí)，采用近似處理的手段簡化求解過程的方法叫近似法.近似法是研究物理問題的基本思想方法之一，具有廣泛的應(yīng)用.善于對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行合理的近似處理，是從事創(chuàng)造性研究的重要能力之一.縱觀近幾年的物理競賽試題和高考試題，越來越多地注重這種能力的考查.賽題精講圖14—1例1：一只狐貍以不變的速度沿著直線AB逃跑，一只獵犬以不變的速率追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍.某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D⊥AB，且FD=L，如圖14—1所示，求獵犬的加速度的大小.圖14—1圖14—2—甲解析：獵犬的運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍且速度大小不變，故獵犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)向心加速度為獵犬所在處的曲率半徑，因?yàn)閞不斷變化，故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬在D處的加速度大小，由于圖14—2—甲獵犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度的大小和方向都在不斷改變.在所求時(shí)刻開始的一段很短的時(shí)間內(nèi)，獵犬運(yùn)動(dòng)的軌跡可近似看做是一段圓弧，設(shè)其半徑為R，則加速度其方向與速度方向垂直，如圖14—1—甲所示.在時(shí)間內(nèi)，設(shè)狐貍與獵犬分別到達(dá)，獵犬的速度方向轉(zhuǎn)過的角度為/R而狐貍跑過的距離是：≈因而/R≈/L，R=L/所以獵犬的加速度大小為=/L圖14—2—甲圖14—2例2如圖14—2所示，岸高為圖14—2—甲圖14—2解析要求船在該位置的速率即為瞬時(shí)速率，需從該時(shí)刻起取一小段時(shí)間求它的平均速率，當(dāng)這一小段時(shí)間趨于零時(shí)，該平均速率就為所求速率.設(shè)船在角位置經(jīng)時(shí)間向左行駛距離，滑輪右側(cè)的繩長縮短，如圖14—2—甲所示，當(dāng)繩與水平方向的角度變化很小時(shí)，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有=圖14—3兩邊同除以得：，即收繩速率圖14—3因此船的速率為例3如圖14—3所示，半徑為R，質(zhì)量為m的圓形繩圈，以角速率繞中心軸O在光滑水平面上勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩中的張力為多大？解析取繩上一小段來研究，當(dāng)此段弧長對(duì)應(yīng)的圓心角很小時(shí)，有近似關(guān)系式圖—14—3—甲若取繩圈上很短的一小段繩AB=為研究對(duì)象，設(shè)這段繩所對(duì)應(yīng)的圓心角為，這段繩兩端所受的張力分別為和（方向見圖14—3—甲），因?yàn)槔K圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，無切向加速度，所以和的大小相等，均等于T.和在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)這段繩子的質(zhì)量為，根據(jù)牛頓第二定律有：；圖—14—3—甲因?yàn)槎魏芏?，它所?duì)應(yīng)的圓心角很小所以將此近似關(guān)系和代入上式得繩中的張力為例4在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細(xì)管軌道ABC，光滑小球從頂點(diǎn)A處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到端點(diǎn)C處所需時(shí)間，恰好等于小球從頂點(diǎn)A處自靜止出發(fā)自由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點(diǎn)C處所需的時(shí)間.這里假設(shè)鉛垂軌道AB與水平軌道BC的交接處B有極小的圓弧，可確保小球無碰撞的拐彎，且拐彎時(shí)間可忽略不計(jì).在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建一系列如圖14—4中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓?。ㄗ饔猛希壍谰鶑腁點(diǎn)出發(fā)到C點(diǎn)終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從A點(diǎn)滑行到C點(diǎn)所經(jīng)時(shí)間的上限與下限之比值.解析直角三角形AB、BC、CA三邊的長分別記為、、，如圖14—4—甲所示，小球從A到B的時(shí)間記為，再從B到C的時(shí)間為，而從A直接沿斜邊到C所經(jīng)歷的時(shí)間記為，由題意知，可得：：=3：4：5，由此能得與的關(guān)系.因?yàn)樗砸驗(yàn)椋?3：4，所以小球在圖14—4—乙中每一虛線所示的軌道中，經(jīng)各垂直線段所需時(shí)間之和為，經(jīng)各水平段所需時(shí)間之和記為，則從A到C所經(jīng)時(shí)間總和為，最短的對(duì)應(yīng)的下限，最長的對(duì)應(yīng)的上限小球在各水平段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分別為勻速運(yùn)動(dòng)，同一水平段路程放在低處運(yùn)動(dòng)速度大，所需時(shí)間短，因此，所有水平段均處在最低位置（即與BC重合）時(shí)最短，其值即為，故=的上限顯然對(duì)應(yīng)各水平段處在各自可達(dá)到的最高位置，實(shí)現(xiàn)它的方案是垂直段每下降小量，便接一段水平小量，這兩個(gè)小量之間恒有，角即為∠ACB，水平段到達(dá)斜邊邊界后，再下降一小量并接一相應(yīng)的水平量，如此繼續(xù)下去，構(gòu)成如圖所示的微齒形軌道，由于、均為小量，小球在其中的運(yùn)動(dòng)可處理為勻速率運(yùn)動(dòng)，分別所經(jīng)的時(shí)間小量與之間有如下關(guān)聯(lián)：于是作為之和的上限與作為之和的之比也為故的上限必為，即得：這樣=7:5例5在光滑的水平面上有兩個(gè)質(zhì)量可忽略的相同彈簧，它們的一對(duì)端點(diǎn)共同連接著一個(gè)光滑的小物體，另外一對(duì)端點(diǎn)A、B固定在水平面上，并恰使兩彈簧均處于自由長度狀態(tài)且在同一直線上，如圖14—5所示.如果小物體在此平面上沿著垂直于A、B連線的方向稍稍偏離初始位置，試分析判斷它是否將做簡諧運(yùn)動(dòng)？解析因?yàn)橐粋€(gè)物體是否做簡諧運(yùn)動(dòng)就是要看它所受的回復(fù)力是否是一個(gè)線性力，即回復(fù)力的大小與位移大小成正經(jīng)，方向相反.因此分析判斷該題中的小物體是否做簡諧運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是求出所受的回復(fù)力的表達(dá)式（即此題中所受合外力的表達(dá)式）.以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，過中點(diǎn)且垂直于AB的直線為軸，如圖14—5—甲所示，取軸正方向?yàn)檎较?，小物體所受回復(fù)力為：①其中為彈簧的勁度系數(shù)，為彈簧的自由長度，為彈簧伸長后的長度，為彈簧伸長后與AB直線的夾角.由幾何知識(shí)可得②③將②、③代入①式得：由此可見，小物體受的合外力是一個(gè)非線性回復(fù)力，因此小物體將不做簡諧運(yùn)動(dòng).同時(shí)本題表明，平衡位置附近的小振動(dòng)未必都是簡諧運(yùn)動(dòng).例6三根長度均為，質(zhì)量均勻的直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC，C點(diǎn)懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng).桿AB是一導(dǎo)軌，一電動(dòng)玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，如圖14—6所示，現(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，而框架卻靜止不動(dòng)，試論證松鼠的運(yùn)動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng).解析松鼠在AB軌道運(yùn)動(dòng)，當(dāng)框架不動(dòng)時(shí)，松鼠受到軌道給它的水平力F′作用，框架也受到松鼠給它的水平力F作用，設(shè)在某一時(shí)刻，松鼠離桿AB的中點(diǎn)O的距離為，如圖14—6所示，松鼠在豎直方向?qū)?dǎo)軌的作用力等于松鼠受到的重力，m為松鼠的質(zhì)量.以C點(diǎn)為軸，要使框架平衡，必須滿足條件，松鼠對(duì)AB桿的水平力為，式中L為桿的長度.所以對(duì)松鼠而言，在其運(yùn)動(dòng)過程中，沿豎直方向受到的合力為零，在水平方向受到桿AB的作用力為F′，由牛頓第三定律可知F′=F，即其中即松鼠在水平方向受到的作用力F′作用下的運(yùn)動(dòng)應(yīng)是以O(shè)點(diǎn)為平衡位置的簡諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)的周期為當(dāng)松鼠運(yùn)動(dòng)到桿AB的兩端時(shí)，它應(yīng)反向運(yùn)動(dòng)，按簡諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律，速度必須為零，所以松鼠做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅小于或等于L/2=1m.由以上論證可知，當(dāng)框架保持靜止時(shí)，松鼠在導(dǎo)軌AB上的運(yùn)動(dòng)是以AB的中點(diǎn)O為平衡位置，振幅不大于1m、周期為2.64s的簡諧運(yùn)動(dòng).例7在一個(gè)橫截面面積為S的密閉容器中，有一個(gè)質(zhì)量為m的活塞把容器中的氣體分成兩部分.活塞可在容器中無摩擦地滑動(dòng)，活塞兩邊氣體的溫度相同，壓強(qiáng)都是，體積分別是V1和V2，如圖14—7所示.現(xiàn)用某種方法使活塞稍微偏離平衡位置，然后放開，活塞將在兩邊氣體壓力的作用下來回運(yùn)動(dòng).容器保持靜止，整個(gè)系統(tǒng)可看做是恒溫的.（1）求活塞運(yùn)動(dòng)的周期，將結(jié)果用、V1、V2、m和S表示；（2）求氣體溫度℃時(shí)的周期與氣體溫度=30℃時(shí)的周期之比值.解析（1）活塞處于平衡時(shí)的位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)活塞運(yùn)動(dòng)到右邊距O點(diǎn)處時(shí)，左邊氣體的體積由V1變?yōu)閂1+，右邊氣體的體積由V2變?yōu)閂2，設(shè)此時(shí)兩邊氣體的壓強(qiáng)分別為和，因系統(tǒng)的溫度恒定不變，根據(jù)玻意耳定律有：而以上兩式解出：①按題意，活塞只稍許離開平衡位置，故上式可近似為：，于是活塞受的合力為所以活塞的運(yùn)動(dòng)方程是其中是加速度，由此說明活塞做簡諧運(yùn)動(dòng)，周期為（2）設(shè)溫度為時(shí)，周期為，溫度為時(shí)，周期為.由于，得出所以，將數(shù)值代入得例8如圖14—8所示，在邊長為的正三角形三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C處分別固定電量為Q的正點(diǎn)電荷，在其中三條中線的交點(diǎn)O上放置一個(gè)質(zhì)量為m，電量為的帶正電質(zhì)點(diǎn)，O點(diǎn)顯然為帶電質(zhì)點(diǎn)的平衡位置，設(shè)該質(zhì)點(diǎn)沿某一中線稍稍偏離平衡位置，試證明它將做簡諧運(yùn)動(dòng)，并求其振動(dòng)周期.解析要想證明帶電質(zhì)點(diǎn)是否做簡諧運(yùn)動(dòng)，則需證明該帶電質(zhì)點(diǎn)沿某一中線稍稍偏離平衡位置時(shí)，所受的回復(fù)力是否與它的位移大小成正比，方向相反.因此該題的關(guān)鍵是求出它所受回復(fù)力的表達(dá)式，在此題也就是合外力的表達(dá)式.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AOD中線為坐標(biāo)軸，如圖14—8—甲所示，設(shè)帶電質(zhì)點(diǎn)在該軸上偏移，A處Q對(duì)其作用力為，B、C處兩個(gè)Q對(duì)其作用的合力為，取軸方向?yàn)檎较?有因?yàn)楫?dāng)很小時(shí)可忽略高次項(xiàng)所以（略去項(xiàng)）（略去項(xiàng)）因此帶電質(zhì)點(diǎn)所受合力為由此可知，合外力與大小成正比，方向相反.圖14—9圖14—9例9欲測電阻R的阻值，現(xiàn)有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)電阻、一個(gè)電池和一個(gè)未經(jīng)標(biāo)定的電流計(jì)，連成如圖14—9所示的電路.第一次與電流計(jì)并聯(lián)的電阻為50.00Ω，電流計(jì)的示度為3.9格；第二次為100.00Ω，電流計(jì)的示度為5.2格；第三次為10.00Ω，同時(shí)將待測電阻R換成一個(gè)20.00kΩ的標(biāo)準(zhǔn)電阻，結(jié)果電流計(jì)的示度為7.8格.已知電流計(jì)的示度與所通過的電流成正比，求電阻R的阻值.解析在測試中，除待求量R外，電源電動(dòng)勢E，電源內(nèi)阻，電流計(jì)內(nèi)阻以及電流計(jì)每偏轉(zhuǎn)一格的電流，均屬未知.本題數(shù)據(jù)不足，且電流計(jì)讀數(shù)只有兩位有效數(shù)字，故本題需要用近似方法求解.設(shè)電源電動(dòng)勢為E，電流計(jì)內(nèi)阻為，電流計(jì)每偏轉(zhuǎn)一格的電流為，用歐姆定律對(duì)三次測量的結(jié)果列式如下：從第三次測量數(shù)據(jù)可知，當(dāng)用20kΩ電阻取代R，而且阻值減小時(shí)電流計(jì)偏轉(zhuǎn)格數(shù)明顯增大，可推知R的阻值明顯大于20kΩ，因此電源內(nèi)阻完全可以忽略不計(jì)，與R相比，電流計(jì)內(nèi)阻與的并聯(lián)值對(duì)干路電流的影響同樣也可以忽略不計(jì)，故以上三式可近似為：①②圖14—10圖14—10待測電阻R=120k解①、②、③三式，可得=50Ω例10如圖14—10所示，兩個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷A、B帶電量均為Q，固定放在軸上的兩處，離原點(diǎn)都等于.若在原點(diǎn)O放另一正點(diǎn)電荷P，其帶電量為，質(zhì)量為m，限制P在哪些方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在原點(diǎn)O才是穩(wěn)定的？解析設(shè)軸與軸的夾角為，正電點(diǎn)電荷P在原點(diǎn)沿軸方向有微小的位移時(shí)，A、B兩處的點(diǎn)電荷對(duì)P的庫侖力分別為、，方向如圖14—10所示，P所受的庫侖力在軸上的分量為①根據(jù)庫侖定律和余弦定理得②③④⑤將②、③、④、⑤式代入①得：因?yàn)楹苄?，忽略得：又因?yàn)樗岳媒朴?jì)算得忽略得當(dāng)（時(shí)具有恢復(fù)線性形式，所以在范圍內(nèi)，P可圍繞原點(diǎn)做微小振動(dòng)，所以P在原點(diǎn)處是穩(wěn)定的.例11某水池的實(shí)際深度為，垂直于水面往下看，水池底的視深為多少？（設(shè)水的折射率為）解析如圖14—11所示，設(shè)S為水池底的點(diǎn)光源，在由S點(diǎn)發(fā)出的光線中選取一條垂直于面MN的光線，由O點(diǎn)垂直射出，由于觀察者在S正方，所以另一條光線與光線SO成極小的角度從點(diǎn)S射向水面點(diǎn)A，由點(diǎn)A遠(yuǎn)離法線折射到空氣中，因入射角極小，故折射角也很小，進(jìn)入人眼的兩條折射光線的反向延長線交于點(diǎn)S′，該點(diǎn)即為我們看到水池底光源S