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文檔簡介
2022-2023學年山西省古縣等三縣八校高三4月月考數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知點(m,8)在冪函數(shù)的圖象上,設(shè),則()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.a(chǎn)<c<b2.關(guān)于圓周率π,數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值:先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.3.已知等差數(shù)列的前n項和為,,則A.3 B.4 C.5 D.64.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.5.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當時,.設(shè)在上的最大值為(),且數(shù)列的前項的和為.若對于任意正整數(shù)不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),當時,的取值范圍為,則實數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.7.設(shè)是虛數(shù)單位,則“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件8.一輛郵車從地往地運送郵件,沿途共有地,依次記為,,…(為地,為地).從地出發(fā)時,裝上發(fā)往后面地的郵件各1件,到達后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件,同時裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件,記該郵車到達,,…各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為.則的表達式為().A. B. C. D.9.定義在上的偶函數(shù),對,,且,有成立,已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.10.數(shù)列{an},滿足對任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2,a9=3,a98=4,則數(shù)列{an}的前100項的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.9911.如圖,在中,,是上一點,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.12.已知某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的體積為()A.3 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中,常數(shù)項為______;系數(shù)最大的項是______.14.已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.15.已知實數(shù),滿足約束條件則的最大值為________.16.已知是夾角為的兩個單位向量,若,,則與的夾角為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)在處的切線方程;(2)若函數(shù)沒有零點,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,且曲線的極坐標方程為.(1)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;(2)設(shè)直線上的定點在曲線外且其到上的點的最短距離為,試求點的坐標.19.(12分)2019年12月以來,湖北省武漢市持續(xù)開展流感及相關(guān)疾病監(jiān)測,發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,均診斷為病毒性肺炎/肺部感染,后被命名為新型冠狀病毒肺炎(CoronaVirusDisease2019,COVID—19),簡稱“新冠肺炎”.下圖是2020年1月15日至1月24日累計確診人數(shù)隨時間變化的散點圖.為了預測在未釆取強力措施下,后期的累計確診人數(shù),建立了累計確診人數(shù)y與時間變量t的兩個回歸模型,根據(jù)1月15日至1月24日的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次1,2,…,10)建立模型和.(1)根據(jù)散點圖判斷,與哪一個適宜作為累計確診人數(shù)y與時間變量t的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及附表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)以下是1月25日至1月29日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù),根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:時間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù)19752744451559747111(?。┊?月25日至1月27日這3天的誤差(模型預測數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)差值的絕對值與真實數(shù)據(jù)的比值)都小于0.1則認為模型可靠,請判斷(2)的回歸方程是否可靠?(ⅱ)2020年1月24日在人民政府的強力領(lǐng)導下,全國人民共同采取了強力的預防“新冠肺炎”的措施,若采取措施5天后,真實數(shù)據(jù)明顯低于預測數(shù)據(jù),則認為防護措施有效,請判斷預防措施是否有效?附:對于一組數(shù)據(jù)(,,……,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.參考數(shù)據(jù):其中,.5.53901938576403152515470010015022533850720.(12分)已知函數(shù)()(1)函數(shù)在點處的切線方程為,求函數(shù)的極值;(2)當時,對于任意,當時,不等式恒成立,求出實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知矩形中,,E,F(xiàn)分別為,的中點.沿將矩形折起,使,如圖所示.設(shè)P、Q分別為線段,的中點,連接.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知,且滿足,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,得到冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,再利用冪函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì),以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小,屬于中檔題.2.D【解析】
由試驗結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機數(shù),滿足,面積為1,再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學取對都小于的正實數(shù)對,即,對應區(qū)域為邊長為的正方形,其面積為,若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.3.C【解析】
方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以.故選C.方法二:因為,所以,則.故選C.4.A【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項.【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個選項可知,只有正確.故選:A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.5.C【解析】
由已知先求出,即,進一步可得,再將所求問題轉(zhuǎn)化為對于任意正整數(shù)恒成立,設(shè),只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當時,則,,所以,,顯然當時,,故,,若對于任意正整數(shù)不等式恒成立,即對于任意正整數(shù)恒成立,即對于任意正整數(shù)恒成立,設(shè),,令,解得,令,解得,考慮到,故有當時,單調(diào)遞增,當時,有單調(diào)遞減,故數(shù)列的最大值為,所以.故選:C.【點睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問題,涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識,是一道較為綜合的數(shù)列題.6.C【解析】
求導分析函數(shù)在時的單調(diào)性、極值,可得時,滿足題意,再在時,求解的x的范圍,綜合可得結(jié)果.【詳解】當時,,令,則;,則,∴函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為,∴時,的取值范圍為,∴又當時,令,則,即,∴綜上所述,的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了利用導數(shù)分析函數(shù)值域的方法,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),屬于難題.7.D【解析】
結(jié)合純虛數(shù)的概念,可得,再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復數(shù)為純虛數(shù),則,所以,若,不妨設(shè),此時復數(shù),不是純虛數(shù),所以“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選:D【點睛】本題考查充分條件和必要條件,考查了純虛數(shù)的概念,理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
根據(jù)題意,分析該郵車到第站時,一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目,進而計算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,該郵車到第站時,一共裝上了件郵件,需要卸下件郵件,則,故選:D.【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應用,屬于中檔題.9.A【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解:對,,且,有在上遞增因為定義在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因為,,所以故選:A【點睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應用,基礎(chǔ)題.10.B【解析】
由為定值,可得,則是以3為周期的數(shù)列,求出,即求.【詳解】對任意的,均有為定值,,故,是以3為周期的數(shù)列,故,.故選:.【點睛】本題考查周期數(shù)列求和,屬于中檔題.11.C【解析】
由題意,可根據(jù)向量運算法則得到(1﹣m),從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程,求出t的值.【詳解】由題意及圖,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故選C.【點睛】本題考查平面向量基本定理,根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵,本題屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】由三視圖知:幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐,如圖:
直三棱柱的體積為,消去的三棱錐的體積為,
∴幾何體的體積,故選B.點睛:本題考查了由三視圖求幾何體的體積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)鍵;幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐,結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積,相減可得幾何體的體積.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
求出二項展開式的通項,令指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,代入可得出展開式中的常數(shù)項;求出項的系數(shù),利用作商法可求出系數(shù)最大的項.【詳解】的展開式的通項為,令,得,所以,展開式中的常數(shù)項為;令,令,即,解得,,,因此,展開式中系數(shù)最大的項為.故答案為:;.【點睛】本題考查二項展開式中常數(shù)項的求解,同時也考查了系數(shù)最大項的求解,涉及展開式通項的應用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.14.4【解析】
由題意結(jié)合代數(shù)式的特點和均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】.當且僅當時等號成立.據(jù)此可知:的最小值為4.【點睛】條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值.15.1【解析】
作出約束條件表示的可行域,轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為,當目標函數(shù)經(jīng)過點時,直線的截距最大,取得最大值,即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部,轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為當目標函數(shù)經(jīng)過點時,直線的截距最大此時取得最大值1.故答案為:1【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學運算能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
依題意可得,再根據(jù)求模,求數(shù)量積,最后根據(jù)夾角公式計算可得;【詳解】解:因為是夾角為的兩個單位向量所以,又,所以,,所以,因為所以;故答案為:【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算律,以及夾角的計算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1).(2)【解析】
(1)利用導數(shù)的幾何意義求解即可;(2)利用導數(shù)得出的單調(diào)性以及極值,從而得出的圖象,將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,由圖,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當時,,∴切線斜率,又切點∴切線方程為,即.(2),記,令得;∴的情況如下表:2+0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當時,取極大值又時,;時,若沒有零點,即的圖像與直線無公共點,由圖像知的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題,屬于中檔題.18.(1)的普通方程為.的直角坐標方程為(2)(-1,0)或(2,3)【解析】
(1)對直線的參數(shù)方程消參數(shù)即可求得直線的普通方程,對整理并兩邊乘以,結(jié)合,即可求得曲線的直角坐標方程。(2)由(1)得:曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓,設(shè)點P的坐標為,由題可得:,利用兩點距離公式列方程即可求解?!驹斀狻拷猓海?)由消去參數(shù),得.即直線的普通方程為.因為又,∴曲線的直角坐標方程為(2)由知,曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓設(shè)點P的坐標為,則點P到上的點的最短距離為|PQ|即,整理得,解得所以點P的坐標為(-1,0)或(2,3)【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程及極坐標方程化為直角坐標方程,還考查了轉(zhuǎn)化思想及兩點距離公式,考查了方程思想及計算能力,屬于中檔題。19.(1)適宜(2)(3)(ⅰ)回歸方程可靠(ⅱ)防護措施有效【解析】
(1)根據(jù)散點圖即可判斷出結(jié)果.(2)設(shè),則,求出,再由回歸方程過樣本中心點求出,即可求出回歸方程.(3)(ⅰ)利用表中數(shù)據(jù),計算出誤差即可判斷回歸方程可靠;(ⅱ)當時,,與真實值作比較即可判斷有效.【詳解】(1)根據(jù)散點圖可知:適宜作為累計確診人數(shù)與時間變量的回歸方程類型;(2)設(shè),則,,,;(3)(?。r,,,當時,,,當時,,,所以(2)的回歸方程可靠:(ⅱ)當時,,10150遠大于7111,所以防護措施有效.【點睛】本題考查了函數(shù)模型的應用,在求非線性回歸方程時,現(xiàn)將非線性的化為線性的,考查了誤差的計算以及用函數(shù)模型分析數(shù)據(jù),屬于基礎(chǔ)題.20.(1)極小值為,極大值為.(2)【解析】
(1)根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù),再對函數(shù)求導,即可求得函數(shù)的極值;(2)根據(jù)題意,對目標式進行變形
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