專題01 整數(shù)和整除 （考點串講）（解析版）

專題01整數(shù)和整除【考點剖析】1.；2.整除：整數(shù)a除以整數(shù)b，若除得的商是整數(shù)且余數(shù)為零.即稱：a能被b整除；或b能整除a.整除的條件：整除與除盡的關(guān)系3.因數(shù)與倍數(shù)：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫b的倍數(shù)，b就叫a的因數(shù)（約數(shù)）.因數(shù)與倍數(shù)的特征：4.能被2整除的數(shù)，能5整除的數(shù)的特征：個位上數(shù)字是0，5；能同時被2、5整除的數(shù)：個位上數(shù)字是0.*能被3整除的數(shù)：一個整數(shù)的各個數(shù)位上數(shù)字之和能被3整除，這個整數(shù)就能被3整除.*能同時被2、3和5整除的數(shù)：個位數(shù)是0，且各個數(shù)位上數(shù)字之和能被3整除.【典例分析】【考點1：整數(shù)和整除的意義】例題1（浦東南片十六校2020期末1）下列各組數(shù)中，第一個數(shù)能被第二個數(shù)整除的是（）A.5和20；B.7和2；C.34和17；D.1.2和3.【答案】C；【解析】解：A、20能被5整除，故A不符合題意；B、沒有整除關(guān)系，故B不符合題意；C、34能被17整除，故C符合題意；D、1.2不是整數(shù)，故D不符合題意；因此答案選C.例題2（2019上南中學10月考2）在數(shù)18，-24，0，2.5，，2005，3.14，-10中，整數(shù)有（）A.2個；B.3個；C.4個；D.5個.【答案】D；【解析】解：在上述數(shù)中，其中整數(shù)有18，-24，0，2005，-10共5個，故答案選D.【考點2：因數(shù)與倍數(shù)】例題3（2019晉元附校測試2）14的因數(shù)有__________.【答案】1、2、7、14；【解析】解：14的因數(shù)有1、2、7、14.例題4（2019浦東上南東10月考17）如果用表示的全部因數(shù)的和，如，那么________【答案】24；【解析】解：因為表示的全部因數(shù)的和，故[18]=1+2+3+6+9+18=39，[8]=1+2+4+8=15，所以[18]-[8]=39-15=24.【考點3：能被2，5整除的數(shù)】例題5（奉賢2019期中10）正整數(shù)中，能同時被2和5整除的最大兩位數(shù)是.【答案】90；【解析】解：正整數(shù)中，能同時被2和5整除的最大兩位數(shù)是90.例題6（青教院附中2019期中18）如圖，用灰白色正方形瓷磚鋪設地面，則第n個圖案中白色瓷磚數(shù)為塊.【答案】;【解析】解：第1個圖案中白色瓷磚數(shù)為塊，第2個圖案中白色瓷磚數(shù)為塊，第3個圖案中白色瓷磚數(shù)為塊，…，第n個圖案中白色瓷磚數(shù)為塊.【真題訓練】一、選擇題1.（嘉定2019期中15）下列各數(shù)中第一個數(shù)能被第二個數(shù)整除的是（）．（A）和；（B）和；（C）和；（D）和．【答案】C；【解析】解：整除是對整數(shù)定義的，故A、B均不符合題意，36能被18整除，18能整除36，故C符合題意，因此答案選C.2.（浦東南片十六校2020期末4）1是最小的（）A.自然數(shù)；B.整數(shù)；C.素數(shù)；D.正整數(shù).【答案】D；【解析】解：最小的自然數(shù)為0，故A錯誤；整數(shù)沒有最小值，故B錯誤；素數(shù)中最小的是2，故C錯誤；正整數(shù)中最小的是1，故D符合題意；因此答案選D.3.（浦東四署2019期中1）既是3的倍數(shù)，又是36的因數(shù)的數(shù)是（）A.2；B.4；C.15；D.18.【答案】D；【解析】解：36的因數(shù)有1、2、3、4、6、9、12、18、36；其中又是3的倍數(shù)的是3、6、9、12、18、36；因此答案選D.4.（2019浦東上南東10月考1）下列算式中表示整除的算式是（）A.0.6÷0.3=2B.22÷7=3……1C.2÷1=2D.8÷16=0.5【答案】C【解析】解：根據(jù)整除的條件：被除數(shù)、除數(shù)、商均為整數(shù)且余數(shù)為零，可知A、B、D均不符合整除的定義，故答案選C.5.（2019浦東四署10月考2）下列說法中錯誤的是（）A.能被2整除的正整數(shù)都是偶數(shù)；B.一個正整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)；C.兩個素數(shù)的積一定是合數(shù)；D.一個素數(shù)的因數(shù)都是素數(shù).【答案】D；【解析】解：A、能被2整除的正整數(shù)都是偶數(shù)，故A正確；B、一個正整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，故B正確；C、兩個素數(shù)的積一定是合數(shù)，故C正確；D、一個素數(shù)的因數(shù)不都是素數(shù)，如5的因數(shù)是1和5，而1不是素數(shù)，故D錯誤；因此答案選D.6.（2019尚德實驗10月考3）下列各組數(shù)中能同時被2和3整除的一組數(shù)是（）（A）10和35（B）42和24（C）15和16（D）22和20【答案】B；【解析】解：能同時被2和3整除的數(shù)一定是6的倍數(shù)，故A、C、D不符合條件，42與24均能被6整除，因此答案選B.7.（2019三林東10月考13）下列式中,被除數(shù)能被除數(shù)整除的是（）A.2÷4B.25÷3.5C.10÷3D.10÷2【答案】D；【解析】解：根據(jù)整除的定義，可知10能被2整除，商為5且余數(shù)為0，因此答案選D.8.（2019曹楊二附10月考12）M能整除19，那么M是（）A.19B.38C.19的倍數(shù)D.19的因數(shù)【答案】D；【解析】解：因為M能整除19，故M=1或19，1與19均是19的因數(shù)，故答案選D.9.（2019松江九亭10月考17）下列說法正確的是（）A.最小是素數(shù)是1；B.自然數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；C.因為2.6÷1.3=2，所以2.6能被1.3整除D.16的因數(shù)有2,4,8,16【答案】B;【解析】解：A、最小的素數(shù)為2，故A錯誤；B、自然數(shù)與負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)，故B正確；C、因為2.6與1.3都不是整數(shù)，故C錯誤；D、16的因數(shù)有1、2、4、8、16，故D錯誤；因此答案選B.10.（2019閔行實驗西校10月考3）對18、4和6，這三個數(shù)，下列說法正確的是（）A.18能被4整除；B.6能整除18；C.18是6的因數(shù)；D.6是4的倍數(shù).【答案】B;【解析】解：A、18不能被4整除，故A錯誤；B、6能整除18，故B正確；C、18是6的倍數(shù)，故C錯誤；D、6不是4的倍數(shù)，故D錯誤；因此答案選B.二、填空題11.（嘉定2019期中1）最小的自然數(shù)是.【答案】0;【解析】解：最小的自然數(shù)是0.12.（浦東四署2019期中7）如果72÷8=9，我們就說8是72的.【答案】因數(shù)；【解析】解：如果72÷8=9，我們可以說：72是8的倍數(shù)，8是72的因數(shù).13.（2019晉元附校測試1）在20、45、60三個數(shù)中，__________能被__________整除.【答案】60,20;【解析】解：在20、45、60三個數(shù)中，60能被20整除.14.（2019徐教院附中10月考11）寫出2個既能被5整除，又能被2整除的數(shù)：______.【答案】10,20；【解析】解：既能被5整除且又能被2整除的數(shù)一定能被10整除，如：10、20、30等等.15.（嘉定2019期中2）將、、這三個數(shù)排成一個三位數(shù)，能被整除的最大數(shù)是. 【答案】540;【解析】解：將4、0、5這三個數(shù)排成一個三位數(shù)有：450、540、405、504，其中能被5整除的數(shù)為450、540兩個，最大的數(shù)為540.16.（2019松江九亭10月考3）如果三位數(shù)5BB能同時被2、3整除，那么B是__________。【答案】522或588；【解析】解：能被2整除，則個位數(shù)為0或2或4或6或8，得這個三位數(shù)可能為500、522、544、566、588；同時又能被3整除，則各位上數(shù)字之和能被3整除，其中500、544、566、不能被3整除；而522、588能被3整除；因此B為522或588.17.(2019南模初中10月考3)寫出一個能被7整除的最小偶數(shù).【答案】14；【解析】解：因為7×1=7，7×2=14，故能被7整除的最小偶數(shù)為14.18.（2019浦東上南東10月考7）12的素因數(shù)有____________【答案】2、2、3；【解析】解：因為12=2×2×3，故12的素因數(shù)有2、2、3.19.(2019南模初中10月考2)12的所有因數(shù)是.【答案】1、2、3、4、6、12;【解析】解：12的所有因數(shù)是1、2、3、4、6、12.20.（華理附中2019期中6）一個數(shù)既是15的倍數(shù)，也是15的因數(shù)，則這個數(shù)是.【答案】15；【解析】解：一個數(shù)既是15的倍數(shù)，又是15的因數(shù)，則這個數(shù)是15.21.（2019徐教院附中10月考14）在15、36、45、60、135、96、120、180、570、588這十個數(shù)中，能同時被2、3、5整除的數(shù)有________________.【答案】60、120、180、570；【解析】解：能同時被2、3、5整除的數(shù)一定能被30整除，在上述10個數(shù)中，能被30整除的有60、120、180、570.22.（2019晉元附校測試9）一個自然數(shù)，它的個位數(shù)字是0，它共有4個因數(shù)，這個數(shù)是__________.【答案】10；【解析】解：根據(jù)已知個位數(shù)字是0，共有4個因數(shù)，那么這個自然數(shù)只能分解成兩個素數(shù)的積，10=2×5，其它的個位數(shù)為0的自然數(shù)至少可以分解為有三個或者以上的素數(shù)之積，故這個數(shù)為10.23.（2019浦東四署10月考18）規(guī)定一種新運算：對于不小于3的自然數(shù)n，（n）表示不是n的因數(shù)的最小自然數(shù)，如：（5）=2，（8）=3等等，那么（6）+（15）=.【答案】6;【解析】解：因為6的因數(shù)為1、2、3、6，故（6）=4，15的因數(shù)為1、3、5、15，故（15）=2，因此（6）+（15）=4+2=6.三、解答題24.（2019尚德實驗10月考19）把下列各數(shù)填入指定的圈內(nèi)（每個數(shù)只能用一次）.1，2，3，5，12，24，30，40，52，60，100【答案】24、40、52、100；12、60;1、2、3、5、30；【解析】解：在上述十一個數(shù)中，其中4的倍數(shù)有：12、24、40、52、60、100；60的因數(shù)有1、2、3、5、12、30、60；既是4的倍數(shù)又是60的因數(shù)的有：12、60；因此上述圈內(nèi)4的倍數(shù)填：24、40、52、100；60的因數(shù)填：1、2、3、5、30；既是4的倍數(shù)又是60的因數(shù)的有：12、60.25.（2019松江九亭10月考21）在下列集合圈里，填上適當?shù)臄?shù)。24的因數(shù)36的因數(shù)【答案】1、2、3、4、6、8、12、24；1、2、3、4、6、9、12、18、36；【解析】解：24的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、24；36的因數(shù)有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；26.（2019徐教院附中10月考25）閱讀理解：在上面的橫線上填上適當?shù)臄?shù)，使等式成立，并利用上述規(guī)律回答下列問題：2到14的偶數(shù)和是多少？2到100的偶數(shù)和是多少？【答案】5,5;6,6;①56；②2550；【解析】解：，；①=56；②=2550.27.（2019建平西校10月考29）在同一間屋子里有100盞電燈排成一橫行，依次從左到右的順序編上號碼1、2、3、....100，每盞燈有一根拉線開關(guān)，最初所有的電燈全是關(guān)著的，現(xiàn)在有100個學生在門外排著隊，第一個學生走進屋，把凡是編號是1的倍數(shù)的電燈的開關(guān)拉了一下;接著第二個學生走進屋，把凡是編號是2的倍數(shù)的