舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修1專題2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講（含答案及解析）

專題2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講1．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過來也對．這個(gè)基本事實(shí)可以表示為：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，a<b?a－b<0.從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大?。?．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【題型1不等關(guān)系的建立】【方法點(diǎn)撥】在用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．【例1】（2021秋?石鼓區(qū)校級月考）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm．設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（）A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c＞M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c＜M【變式1-1】（2021秋?龍巖期中）為安全燃放某種煙花，現(xiàn)收集到以下信息：①此煙花導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.6厘米；②人跑開的速度為每秒4米；③距離此煙花燃放點(diǎn)50米以外（含50米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（厘米）應(yīng)滿足的不等式為（）A．4×x0.6＜50 B．4×x0.6【變式1-2】（2021秋?龍崗區(qū)期中）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5cm，人跑開的速度為每秒4m，為了使點(diǎn)燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時(shí)跑到100m以外的安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（cm）應(yīng)滿足的不等式為（）A．4×x0.5≥100 B．4×x0.5≤100 C．4×x【變式1-3】（2021秋?龍江縣校級月考）下列結(jié)論不正確的是（）①用不等式表示某廠最低月生活費(fèi)a元不低于300元為a≥300；②完成﹣項(xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則滿足的關(guān)系式是5x+4y＜200；③設(shè)M＝x2+3，N＝3x，則M與N的大小關(guān)系為M＞N；④若x≠﹣2且y≠1，則M＝x2+y2+4x﹣2y的值與一5的大小關(guān)系是M＞﹣5．A．① B．② C．③ D．④【題型2利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】【方法點(diǎn)撥】(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性．【例2】（2022春?大名縣校級期末）如果a，b，c，d∈R，則正確的是（）A．若a＞b，則1a＜1b B．若a＞b，則ac2C．若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd【變式2-1】（2022?孝義市開學(xué)）已知1aA．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＞b2【變式2-2】（2022春?包頭期末）a，b∈R，下列命題正確的是（）A．若a＞b，則a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，則a＜b D．a(chǎn)≠0，b≠0，若a＞b，則1【變式2-3】（2021秋?賀州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．1a＜1b B．a(chǎn)b＜b2 C．a(chǎn)b＞a2【題型3利用作差法比較大小】【方法點(diǎn)撥】(1)作差法比較的步驟：作差―→變形―→定號―→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論．【例3】（2022春?九江期末）已知a=2，b=7?3，c=6?2A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【變式3-1】（2022春?安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，則x，y的大小關(guān)系為（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D．無法確定【變式3-2】（2021秋?靖遠(yuǎn)縣期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，則（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．P，Q的大小關(guān)系不確定【變式3-3】（2021秋?灤南縣校級月考）設(shè)m＞1，P＝m+4m?1，Q＝5，則P，A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q【題型4利用作差法比較大小的應(yīng)用】【例4】（2022春?蕪湖期末）甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．兩人同時(shí)到教室 D．誰先到教室不確定【變式4-1】（2021秋?金華期末）某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b速跑；選手乙前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后半時(shí)間以速度b勻速跑（注：速度單位m/s），若a≠b，則（）A．甲先到達(dá)終點(diǎn) B．乙先到達(dá)終點(diǎn) C．甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn) D．無法確定誰先到達(dá)終點(diǎn)【變式4-2】（2021秋?楊浦區(qū)校級期中）現(xiàn)有A，B，C，D四個(gè)長方體容器，A，B的底面積均為x2，高分別為x，y；C，D的底面積均為y2，高分別為x，y（其中x≠y）．現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個(gè)盛水，盛水多者為勝．問先取者在未能確定x與y大小的情況下有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？【變式4-3】（2021秋?懷仁市校級月考）某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說：“如領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”．這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．【題型5利用不等式的性質(zhì)證明不等式】【方法點(diǎn)撥】(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．【例5】（2021春?迎澤區(qū)校級月考）證明：ab【變式5-1】（2022春?庫爾勒市校級期末）已知a＞1，求證：a+1+a?【變式5-2】（2021秋?故城縣校級月考）求證：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）【變式5-3】用比較法證明以下各題：（1）已知a＞0，b＞0．求證：1a（2）已知a＞0，b＞0．求證：ba【題型6利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】【方法點(diǎn)撥】同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來求范圍，注意變形的等價(jià)性．【例6】（2021秋?武昌區(qū)校級月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范圍．【變式6-1】（2022春?雞冠區(qū)校級期末）已知?π2＜α＜β＜π2，求【變式6-2】（2022春?寧江區(qū)校級期中）已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b及ab【變式6-3】（2021秋?普寧市校級月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，試求下列各式的取值范圍．（1）|a|；（2）a+b；（3）a﹣b；（4）2a﹣3b．專題2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講1．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過來也對．這個(gè)基本事實(shí)可以表示為：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，a<b?a－b<0.從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大?。?．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【題型1不等關(guān)系的建立】【方法點(diǎn)撥】在用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．【例1】（2021秋?石鼓區(qū)校級月考）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm．設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（）A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c＞M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c＜M【解題思路】根據(jù)題意列出不等式即可．【解答過程】解：∵長、寬、高之和不超過Mcm，長、寬、高分別為a、b、c，∴a+b+c≤M，故選：A．【變式1-1】（2021秋?龍巖期中）為安全燃放某種煙花，現(xiàn)收集到以下信息：①此煙花導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.6厘米；②人跑開的速度為每秒4米；③距離此煙花燃放點(diǎn)50米以外（含50米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（厘米）應(yīng)滿足的不等式為（）A．4×x0.6＜50 B．4×x0.6【解題思路】直接由題意可列出不等關(guān)系式即可．【解答過程】解：由題意可得4×x0.6故選：B．【變式1-2】（2021秋?龍崗區(qū)期中）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5cm，人跑開的速度為每秒4m，為了使點(diǎn)燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時(shí)跑到100m以外的安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（cm）應(yīng)滿足的不等式為（）A．4×x0.5≥100 B．4×x0.5≤100 C．4×x【解題思路】為了安全，則人跑開的距離應(yīng)大于100米，路程＝速度×?xí)r間，其中時(shí)間即導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間，是x0.5s【解答過程】解：根據(jù)題意得4×x0.5故選：C．【變式1-3】（2021秋?龍江縣校級月考）下列結(jié)論不正確的是（）①用不等式表示某廠最低月生活費(fèi)a元不低于300元為a≥300；②完成﹣項(xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則滿足的關(guān)系式是5x+4y＜200；③設(shè)M＝x2+3，N＝3x，則M與N的大小關(guān)系為M＞N；④若x≠﹣2且y≠1，則M＝x2+y2+4x﹣2y的值與一5的大小關(guān)系是M＞﹣5．A．① B．② C．③ D．④【解題思路】由題意列出不等式，可判斷①②；由作差比較和不等式的性質(zhì)，可判斷③④．【解答過程】解：對于①，可得a≥300，故①正確；對于②，可得500x+400y≤20000，化為5x+4y≤200，故②錯(cuò)誤；對于③，M﹣N＝x2+3﹣3x＝（x?32）2+34＞0，可得M對于④，因?yàn)閤≠﹣2且y≠1，所以M﹣（﹣5）＝x2+y2+4x﹣2y+5＝（x+2）2+（y﹣1）2＞0，即M＞﹣5，故④正確．故選：B．【題型2利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】【方法點(diǎn)撥】(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性．【例2】（2022春?大名縣校級期末）如果a，b，c，d∈R，則正確的是（）A．若a＞b，則1a＜1b B．若a＞b，則ac2C．若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答過程】解：對于A，令a＝1，b＝﹣1，滿足a＞b，但1a＞1對于B，當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，故B錯(cuò)誤，對于C，a＞b，c＞d，由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正確，對于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，滿足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D錯(cuò)誤．故選：C．【變式2-1】（2022?孝義市開學(xué)）已知1aA．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＞b2【解題思路】由1a＜1b＜0得【解答過程】解：∵1a∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故選項(xiàng)B正確，故選：B．【變式2-2】（2022春?包頭期末）a，b∈R，下列命題正確的是（）A．若a＞b，則a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，則a＜b D．a(chǎn)≠0，b≠0，若a＞b，則1【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)直接判斷．【解答過程】解：選項(xiàng)A，如a＝0，b＝﹣1，不等式不成立，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B，如c＝0，不等式不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C，根據(jù)不等式兩邊同除以﹣3，不等號改變，∴選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D，如a＝1，b＝﹣1，不等式不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C．【變式2-3】（2021秋?賀州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．1a＜1b B．a(chǎn)b＜b2 C．a(chǎn)b＞a2【解題思路】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合題意，判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可．【解答過程】解：因?yàn)閍＜b＜0，所以ab＞0，所以1b＜1a＜0因?yàn)閍＜b＜0，所以ab＞b2＞0，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)閍＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)閍＜b＜0，所以1b＜1a＜0，所以?故選：D．【題型3利用作差法比較大小】【方法點(diǎn)撥】(1)作差法比較的步驟：作差―→變形―→定號―→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論．【例3】（2022春?九江期末）已知a=2，b=7?3，c=6?2A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解題思路】運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)直接比較兩數(shù)的大?。窘獯疬^程】解：∵a=2，b=7?∴由a?b=2+3?7由a?c=22?6且(2由b?c=(7+2)?(6+3)且(6故選：B．【變式3-1】（2022春?安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，則x，y的大小關(guān)系為（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D．無法確定【解題思路】利用作差法直接化簡判斷即可．【解答過程】解：x﹣y＝a3﹣b﹣a2b+a＝a2（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+1），又a＜b，則a﹣b＜0，又a2+1＞0，則x﹣y＝（a﹣b）（a2+1）＜0，故x＜y．故選：B．【變式3-2】（2021秋?靖遠(yuǎn)縣期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，則（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．P，Q的大小關(guān)系不確定【解題思路】直接利用作差法和關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過程】解：P﹣Q＝x2+xy+y2﹣3xy+1＝（x﹣y）2+1＞0．故P＞Q．故選：A．【變式3-3】（2021秋?灤南縣校級月考）設(shè)m＞1，P＝m+4m?1，Q＝5，則P，A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q【解題思路】利用作差法即可判斷大?。窘獯疬^程】解：P﹣Q＝m+4m?1?因?yàn)閙＞1，所以（m﹣3）2≥0，m﹣1＞0，所以(m?3)2m?1≥0，所以故選：C．【題型4利用作差法比較大小的應(yīng)用】【例4】（2022春?蕪湖期末）甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．兩人同時(shí)到教室 D．誰先到教室不確定【解題思路】比較走完路程所用時(shí)間大小來確定誰先到教室，故應(yīng)把兩人到教室的時(shí)間用所給的量表示出來，作差比較【解答過程】解：設(shè)步行速度與跑步速度分別為v1，v2，顯然v1＜v2，總路程為2s，則甲用時(shí)間為sv1+而s=s(故sv故選：B．【變式4-1】（2021秋?金華期末）某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b速跑；選手乙前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后半時(shí)間以速度b勻速跑（注：速度單位m/s），若a≠b，則（）A．甲先到達(dá)終點(diǎn) B．乙先到達(dá)終點(diǎn) C．甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn) D．無法確定誰先到達(dá)終點(diǎn)【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)全程的距離為2s，用s、a、b表示甲、乙的時(shí)間，用作差法分析可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，設(shè)全程的距離為2s，對于甲，前半程s的時(shí)間為sa，后半程的時(shí)間為sb，則甲的時(shí)間t1對于乙，前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后半時(shí)間以速度b勻速跑，則有a×t22+b變形可得t2=4s則有t1﹣t2=s(a+b)ab?4sa+b=sab(a+b)[（a+b）2﹣4ab]又由a≠b，則t1﹣t2＞0，故乙先到達(dá)終點(diǎn)，故選：B．【變式4-2】（2021秋?楊浦區(qū)校級期中）現(xiàn)有A，B，C，D四個(gè)長方體容器，A，B的底面積均為x2，高分別為x，y；C，D的底面積均為y2，高分別為x，y（其中x≠y）．現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個(gè)盛水，盛水多者為勝．問先取者在未能確定x與y大小的情況下有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？【解題思路】當(dāng)x＞y時(shí)，利用不等式的性質(zhì)可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；當(dāng)x＜y時(shí)，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出．【解答過程】解：①當(dāng)x＞y時(shí)，則x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此種條件下取A，B能夠穩(wěn)操勝券．②當(dāng)x＜y時(shí)，則y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此種條件下取D，C能夠穩(wěn)操勝券．③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的情況下，取A，D能夠穩(wěn)操勝券，其他的都沒有必勝的把握．故可能有1種，就是取A，D．【變式4-3】（2021秋?懷仁市校級月考）某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說：“如領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”．這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．【解題思路】根據(jù)兩家的政策，求出坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，作差，即可得出結(jié)論．【解答過程】解：設(shè)該單位有職工n人（n∈N*），全票價(jià)為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x+34x（n﹣1）=14x+34xn所以y1﹣y2=14x+3=14x=14x（1當(dāng)n＝5時(shí)，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)n＞5時(shí)，y1＜y2；當(dāng)0＜n＜5時(shí)，y1＞y2．因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5時(shí)，兩車隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，選甲車隊(duì)更優(yōu)惠；少于5人時(shí)，選乙車隊(duì)更優(yōu)惠．【題型5利用不等式的性質(zhì)證明不等式】【方法點(diǎn)撥】(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．【例5】（2021春?迎澤區(qū)校級月考）證明：ab【解題思路】利用分析法，先證明(a【解答過程】證明：要證ab只需證a即證(a+b即證a+b即證a+b≥2該式顯然成立，所以ab【變式5-1】（2022春?庫爾勒市校級期末）已知a＞1，求證：a+1+a?【解題思路】利用分析法即可證明結(jié)論【解答過程】解：要證a+1+a?只要證a+1+a﹣1+2a2?1＜只要證a2?1只要證a2﹣1＜a2，只要證明﹣1＜0，顯然成立，故求證：a+1+a?【變式5-2】（2021秋?故城縣校級月考）求證：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）【解題思路】（1）利用做差法證明不等式的大小即可；（2）利用做差法和平方差公式即可證明不等式成立．【解答過程】證明：（1）∵a2+b2+c2﹣（ab+bc+ac）=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]≥∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac；（2）∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2acbd﹣b2d2＝（a