2020-2021年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下勾股定理優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練題含答案

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《第17章勾股定理》優(yōu)生輔導(dǎo)訓(xùn)練題

1.為了綠化環(huán)境，我縣某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示，學(xué)校計(jì)劃在空

地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量，ZADC=90°,CD=3米，AD=4米，AB=\?＞米，BC=

12米.

(1)求出空地A8CO的面積.

(2)若每種植1平方米草皮需要300元，問總共需投入多少元？

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，△

ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

(1)通過計(jì)算判斷aABC的形狀.

(2)ZVIBC的面積為.

(3)求A8邊上的高.

3.如圖，已知A8=10,BC=24,CD=26,D4=20,ABLBC,求四邊形ABC。的面

4.四邊形ABC。中，A3=12,BC=3,CO=4,AO=13,ZC=90°.

(1)求證：ZABD=90°；

(2)求四邊形A8CO的面積.

1

D

5.如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距大廈8米處（車尾到大廈墻面

CD）,升起云梯到火災(zāi)窗口8.已知云梯A8長(zhǎng)17米，云梯底部距地面的高1.5

米，問發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面多高？

6.如圖是某“飛越叢林”俱樂部新近打造的一款兒童游戲項(xiàng)目，工作人員告訴小敏，

該項(xiàng)目AB段和BC段均由不銹鋼管材打造，總長(zhǎng)度為26米，長(zhǎng)方形CDEF為一木

質(zhì)平臺(tái)的主視圖.小敏經(jīng)過現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量得知：CO=1米，40=15米，于是小敏大膽猜

想立柱AB段的長(zhǎng)為10米，請(qǐng)判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請(qǐng)寫出理由，

如果錯(cuò)誤，請(qǐng)求出立柱AB段的正確長(zhǎng)度.

7.隨著疫情的持續(xù)，各地政府儲(chǔ)存了充足的防疫物品.某防疫物品儲(chǔ)藏室的截面是由

如圖所示的圖形構(gòu)成的，圖形下面是長(zhǎng)方形ABCO,上面是半圓形，其中AB=1.8,〃,

BC=2m,一輛裝滿貨物的運(yùn)輸車，其外形高23”，寬16",它能通過儲(chǔ)藏室的門嗎？

請(qǐng)說明理由.

2

8.如圖，小明準(zhǔn)備把一支筆放入鉛筆盒ABCD,豎放時(shí)筆的頂端E比鉛筆盒的寬AB

還要長(zhǎng)2c”，斜著放入時(shí)筆的頂端F與鉛筆盒的邊緣A8距離為6c〃?，求鉛筆盒的寬

AB的長(zhǎng)度.

9.如圖，在四邊形ABCD中，AB=lcm,AD=24cm,ZBAD=90°,BC=20m,CD

—15cm.

(1)連接BD,求8。的長(zhǎng);

(2)求四邊形ABC。的面積.

10.如圖，學(xué)校有一塊三角形空地ABC,計(jì)劃將這塊三角形空地分割成四邊形ABDE

和△E0C,分別擺放“秋海棠”和“天竺葵”兩種不同的花卉.經(jīng)測(cè)量，NEDC=

90°,DC=6m,CE=10m,BD=]4m,AB=]6m,AE=2m.

(1)求OE的長(zhǎng)；

(2)求四邊形的面積.

3

A

11.如圖，一棵高10加的大樹倒在了高8〃?的墻上，大樹的頂端正好落在墻的最高處，

如果隨著大樹的頂端沿著墻面向下滑動(dòng)，請(qǐng)回答下列各題.

(1)如果大樹的頂端沿著墻面向下滑動(dòng)了2m,那么大樹的另一端點(diǎn)是否也向左滑動(dòng)

了2m?說明理由，

(2)如果大樹的頂端沿著墻面向下滑動(dòng)了am,那么大樹的另一端點(diǎn)是否也向左滑動(dòng)

了am?說明理由.

12.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=\Ocm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿

射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)求8c邊的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)△A8P為直角三角形時(shí)，求f的值；

(3)當(dāng)AABP為等腰三角形時(shí)，求f的值.

13.如圖，鐵路上A,8兩點(diǎn)相距23h”,C,。為兩村莊，DAIAB^A,于5,

已知￡H=15hw,CB=8km.現(xiàn)在要在鐵路A8上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E,使得C,

D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？

4

14.閱讀下面的情景對(duì)話，然后解答問題:

(1)①根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)判斷小紅提出的命題是否正確，并填空

(填“正確”或“不正確”)；

②若某三角形的三邊長(zhǎng)分別是2、4、710,則該三角形(是或不是)奇異三

角形；

(2)若RtAABC是奇異三角形，且其兩邊長(zhǎng)分別為2、2&,則第三邊邊長(zhǎng)為；

且此直角三角形的三邊之比為(請(qǐng)按從小到大排列，不得含有分母)；

(3)在RtZ\A8C中，ZACB=90°.AB=c,AC=b,BC=a,且若

是奇異三角形.求a：b：c.

15.如圖，距學(xué)校A的正南方向240機(jī)的8處有一列火車，且該火車正以80w/s的速度

沿北偏東30°的方向往C移動(dòng)，火車在行進(jìn)的過程中發(fā)出巨大的噪音，若火車周圍

200,”以內(nèi)認(rèn)為受到噪音的影響，請(qǐng)問：

(1)該學(xué)校是否受到噪音影響？請(qǐng)說明理由；

(2)若會(huì)受到噪音影響，求噪音影響該學(xué)校的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？

B

5

16.已知點(diǎn)A(-2,3),B(4,3),C(-1,-3).

(1)求A,8兩點(diǎn)之間的距離；

(2)求點(diǎn)C到x軸的距離；

(3)求三角形ABC的面積；

(4)觀察線段A3與x軸的關(guān)系，若點(diǎn)。是線段AB上一點(diǎn)(不與A,B重合)，則

點(diǎn)D的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

17.如圖，建筑物BC上有一個(gè)旗桿A8,小芳計(jì)劃用學(xué)過的知識(shí)測(cè)量該建筑物的高度,

測(cè)量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹”，小芳沿CQ后退，發(fā)

現(xiàn)地面上的點(diǎn)E、樹頂尸、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的

點(diǎn)G、樹頂尸、建筑物頂端8恰好在一條直線上，已知旗桿AB=3米，/。=4米，

OE=5米，EG=1.5米，點(diǎn)A、B、C在一條直線上，點(diǎn)C、D、E、G在一條直線上,

AC.F￡＞均垂直于CG,請(qǐng)你幫助小芳求出這座建筑物的高8C.

6

18.在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b.如圖1,若/C=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理有

(1)如圖2,當(dāng)△A8C為銳角三角形時(shí)，類比勾股定理，判斷/+必與02的大小關(guān)

系，并證明；

(2)如圖3,當(dāng)aABC為鈍角三角形時(shí)，類比勾股定理，判斷與C2的大小關(guān)

系，并證明；

(3)如圖4,一塊四邊形的試驗(yàn)田A8C。，已知NB=90°,A8=80米，8c=60米，

CD=90米，AO=UO米，求這塊試驗(yàn)田的面積.

A

圖1圖2圖3圖4

19.如圖，在aABC中，AB=AC,8c=15,。是48上一點(diǎn)，BD=9,CD=12.

(1)求證：CDLAB；

20.如圖，在四邊形A8CO中，NA8C=9()°,A8=6,BC=8,CD=10,AO=10j，.

(1)求四邊形ABC。的面積.

(2)求對(duì)角線3。的長(zhǎng).

7

21.如圖，小東將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到

離旗桿底端12米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約4米，請(qǐng)算出旗桿的高度.

22.如圖，秋千。4靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（AC=1尺），將它往前推進(jìn)兩步（E3

=10尺），此時(shí)踏板升高離地五尺（8。=5尺），求秋千繩索（OA或。8）的長(zhǎng)度.

23.如圖，湖的兩岸有A,B兩點(diǎn),在與A3成直角的8c方向上的點(diǎn)C處測(cè)得AC=6（）

米，8C=48米.

（1）求A,B兩點(diǎn)間的距離；

（2）求點(diǎn)3到直線AC的距離.

24.如圖，某工廠A到直線公路/的距離AB為3千米，與該公路上車站。的距離為5

千米，現(xiàn)要在公路邊上建一個(gè)物品中轉(zhuǎn)站C,使CA=C。，求物品中轉(zhuǎn)站與車站之間

的距離.

8

25.如圖，武漢市七一中學(xué)為迎接校慶50周年，擬對(duì)學(xué)校校園中的一塊空地進(jìn)行美化

施工，已知AB=3米，BC=4米，ZAfiC=90°,A￡>=12米，C￡>=13米，學(xué)校欲

在此空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問用該草坪鋪滿這塊空地共需花費(fèi)

多少元？

26.一艘輪船以30千米/時(shí)的速度離開港口，向東南方向航行，另一艘輪船同時(shí)離開港

口，以40千米/時(shí)的速度航行，它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距75千米，求第二艘

船的航行方向.

27.去年某省將地處4、8的兩所大學(xué)合并成一所綜合性大學(xué)，為方便A、8兩地師生

的交往，學(xué)校準(zhǔn)備在相距2切?的A、6兩地修筑一條筆直公路（公路寬度忽略不計(jì)，

如所示圖中的線段48）,經(jīng)測(cè)量，在A地的北偏東60°方向、8地的北偏西45°方

向的C處有一半徑為0.1km的圓形公園，問計(jì)劃修筑的這條公路會(huì)不會(huì)穿過公園，

為什么？

9

參考答案

1.解：（1）連接AC,

在Rt/XACO中，AC2=CD2+Af)2=32+42=52,

在△A8C中，AB2=132,8(5=122,

而52+122=132,

即AC2+BC2=AB2,

-8=90°,

S四邊形148co=SAACB-S/\ACD——C*BC-1AD*CD

22

=JLX5X12-」X4X3=24(ZM2).

22

(2)需費(fèi)用24X300=7200(元)，

答：總共需投入7200元.

2.解：(1)ZXABC是直角三角形，

理由：VA(-1,5),8(-5,2),C(-3,1),

：.AB=d32+42=5,BC={12+22=5/^,AC=yj2^+

.".AC2+8(^=(2遙)2+(旄)2=25=AB1,

...△ABC是直角三角形，Z/lCB=90o；

(2)..?△A5C是直角三角形，NACB=90°,

S^ABC=-1AC?BC=工X2泥X旄=5.

22

故答案為：5；

(3)設(shè)A8邊上的高為〃，

則SA/1BC=—X5/7=5,

2

：.h=2,

...AB邊上的高為2.

10

3.解：連接AC,過C作CEJ_A。于E,

VABIBC,

AZB=90°，

在RtZ\ABC中，由勾股定理得：AC={BC2+AB2=6,2+102=26,

VCD=26,

：.AC=CD,

"：DA=20,CELAD,

.?.A￡=DE=LO=1（）,

2

由勾股定理得：CE=（AC2-AE2=,2-102=2%

...四邊形ABCD的面積是S=SAABC+SAACZ>=^-X10X24+J-X20X24=360.

22

4.解：（1）VZC=90°,BC=3,8=4,

BD=VBC2-K：D2=VS2+42=5'

在△A3。中，：AB2+B￡>2=122+52=144+25=169=A。2，

...△A3。是直角三角形，ZABD=9Q°；

（2）由圖形可矢口：S四邊形A8CO=SZ\A5O+SA5CD

B￡）+」BUCZ）=JLX12X5+工X3X4=30+6=36.

2222

5.解：VAC±BC,

ZACB=90°；

根據(jù)勾股定理，得

BC=V172-82=15（米），

/.BD=15+1.5=16.5（米）；

答：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面16.5米.

6.解：不正確；

11

理由：如答圖，延長(zhǎng)PC交AB于點(diǎn)G,

貝CGJ_A8,AG=C￡)=1米，GC=A￡>=15米，

設(shè)3G=x米，則8C=(26-1-x)米，

在RtABGC中，

VBG2+CG2=CB2,

.,.X2+152=(26-1-x)2,

解得x=8,

：.BA=BG+GA=S+}=9(米)，

???小敏的猜想錯(cuò)誤，立柱AB段的正確長(zhǎng)度長(zhǎng)為9米.

7.解：能通過；

理由：由題意得，運(yùn)輸車從中間過更容易通過儲(chǔ)藏室，能通過的最大高度為EP的長(zhǎng)

度，

如圖，設(shè)點(diǎn)。為半圓的圓心，點(diǎn)P為運(yùn)輸車的外邊沿，

貝UOP=0.8"?,OE^\m,NOPE=90°,

在RtZ\OPE中，由勾股定理得，E/?2=OE2-0^=1-0.82=0.36,

.?."=0.6(w),

.,.￡F=0.6+1.8=2,4Cm),

V2.4>2.3,

.?.運(yùn)輸車通過儲(chǔ)藏室的門.

12

8.解：設(shè)鉛筆盒的寬A3的長(zhǎng)度為xc/n,則筆長(zhǎng)為（x+2）cm,

根據(jù)題意得，X2+62=（X+2）2,

解得：x=8,

答：鉛筆盒的寬A3的長(zhǎng)度8cm.

9.解：（1）連接8D,

?:AB=1cm,A。=24cm,ZBAZ)=90°,

B￡>=VAB2+AD2=V72+242：=25(C/W);

(2)'：BC=20m,CD=\5cm,BD=25cm,

.,.202+152=252,

.'.BC^+CD^^DB2,

...△38是直角三角形，

，四邊形ABCD的面積=/AB?ADVDOBC

=yX7X24+yX20X15=84+150=234(c/n2).

10.解：(1)在RtaEDC中，NEDC=9Q°,DC=6m,CE=Wm,

ED=V102-62=*1'

(2)如圖，連接BE,

在Rt/XEBO中，BD=i4m,ED=Sm,

13

BE1=BD^+ED2=142+82=260,

'：AB=\6m,AE=2m,

AB2+AE^=162+22=260,

：.AB2+AE1=BE1,

...△ABE是直角三角形，/A=90°,

**-AB-AE=—16X2=16(").

22

又^BDDE」X14X8=56(/n2).

22

???四邊形ABDE的面積=S^ABE+S^BDE=72(w?).

由題意可知，^ABC是直角三角形，

"：AC=Sm,AB=DE=lQnt,

由勾股定理得，BC=VAB2-AC2=V102-82=6(m),

AD=2m,

：.CD=AC-AD=8-2=6(m),

C￡=VDE2-CD2=7102-62=8(W7),

：.BE=CE-BC=8-6=2(w),

.?.大樹的另一端點(diǎn)也向左滑動(dòng)了2m；

(2)不一定，理由如下：

\*AD=am,

：.CD=AC-AD=(8-a)m,

AC￡=VDE2-CD2=V102-(8-a)2=V36+16a-a2(/n)

...BE=CE-BC=(V36+16a-a2-6)w'

當(dāng)時(shí),V36+16a_a2=a，

14

解得：4=2或4=0（舍去），

...只有當(dāng)。=2時(shí)，大樹的頂端沿著墻面向下滑動(dòng)了卬"，那么大樹的另一端點(diǎn)也向左

滑動(dòng)了am.

12.解：(1)在RtAABC中,-Ad=102-62=64,

.\8C=8(c/n)；

(2)由題意知8P=2fc”,

①當(dāng)/APB為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP=BC=8cm,即f=4；

②當(dāng)/BAP為直角時(shí)，BP=2tcm,CP=(2r-8)cm,AC=6cm,

在RtAACP中,

AP2^62+(2t-8)2,

在RtZ\BA尸中，AB2+AP2=BP2,

即：102+[62+(2t-8)2]=(2f)2,

解得：f=空，

4

故當(dāng)△A8P為直角三角形時(shí)，￡=4或/=至；

4

(3)①當(dāng)時(shí)，t=5；

②當(dāng)AB=AP時(shí)，BP=2BC=16cm,f=8；

③當(dāng)BP=AP時(shí)，AP=BP=2tcm,CP=\2t-S\cm,AC=6cm,

在RtzMCP中，AP1=AC1+CP1,

所以(2f)2=62+(2r-8)2,

解得：r=.25,

8

綜上所述：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，/=5或f=8或尸空.

圖③圖④圖⑤

15

A

13.解：?.?使得C,。兩村到E站的距離相等.

：.DE=CE,

,.?QA_LA8于A,C6_LAB于8,

ZA=ZB=90°,

.,.A￡2+A￡>2=￡)￡2,BE2+BC2=EC2,

.'.A^+ADr^BE^+BC2,

設(shè)AE=x,貝IJBE=AB-AE=（23-x）,

,：DA=\5km,CB=8km,

/.A152=（23-x）2+82,

解得：x=8,

：.AE=Skm.

答：E站應(yīng)建在離A站處.

14.解：（1）①設(shè)等邊三角形的一邊為a,則

???符合“奇異三角形”的定義；

故答案為：正確.

②???22+42=2X（行）2，

???符合“奇異三角形”的定義.

故答案為：是.

⑵：22+（2加）2=2X&爪產(chǎn)

.?.第三邊的邊長(zhǎng)為2?；

此直角三角形的三邊之比為2：2加：2相=1：圾：加,

故答案為：2M；1：V2：V3.

(3)VZC=90°,

16

則a2+b2=c2',

;□△ABC是奇異三角形，且。>a,

?'.a2+c2=2Z>2,

??b=J^p,

.".a：h：c—1：y[2：5/3.

15.解：（1）該學(xué)校受到噪音影響，理由如下：

如圖：過點(diǎn)A作AOJ_BC,

VZABC=30°,AB=240米，

...AO=120米，

故該學(xué)校受到噪音影響；

（2）過點(diǎn)A作AE=AF=200〃?，

由勾股定理得：DE=yJAE2-AD2=,20（）2-1202=160（米）,

則OF=160米，

則E『=320米，

則影響時(shí)間：3204-80=4（秒）.

答：噪音影響該學(xué)校的持續(xù)時(shí)間有4秒.

B

16.解：(1)二,點(diǎn)A(-2,3),B(4,3),

二^B=V(-2-4)2+(3-3)2=6；

(2)?.?點(diǎn)C坐標(biāo)為(-1,-3),

...點(diǎn)C到x軸的距離為|-3|=3；

(3)過C作CO_LAB,

(-2,3),B(4,3),C(4,3),

/.C￡>=|-2-4|=6,AB=4-(-2)=4+2=6,

17

.*.SAABC=i4fi*C￡>=Ax6X6=i8;

22

(4)VA(-2,3),B(4,3),

.?.A8〃x軸，

?.?點(diǎn)。在線段A8上，

...點(diǎn)。橫坐標(biāo)的范圍是-2Vx<4,縱坐標(biāo)為3.

17.解：由題意可得，ZACF=Z￡DF=90°,ZAFC=ZEFD,

，CD=5EC-5,

4

由題意可得，/BCG=NEDG=90°,NBGC=NEGD,

，8C=14,

.?.這座建筑物的高BC為14米.

18.解：（1）a1+h2>c1,

理由如下：過點(diǎn)A作A￡），BC于。,

設(shè)CD=x,則BD=a-x,

由勾股定理得，b2-x1=AD2,c2-(a-x)2=AD2,

22

：.b2-X=c2

整理得：a2+/?2=c2+2ar,

*/2ar>0,

.*.a2+/>2>c2；

(2)aW<c2,

18

理由如下：作A￡J_BC交BC的延長(zhǎng)線于E,

設(shè)CE=x,

貝(Ic2-(a+x)2=AE1=b2-x2,

整理得：a2+b2=c2-2ax,

*/2ax>09

：.a2+b2<c2；

(3)連接AC,作OF,AC于尸，

由勾股定理得，AC=^AB2+BC2=100,

由(1)可知，AD2-AF^^DC1-CF2,ER1102-(100-CF)2=902-CF2,

解得，C尸=30,

則DF=^j-)Q2_^p2=60-\/2>

?\BD^+CD2=92+122=152=BC2,

88=90°,

CD±AB；

(2)解：-：AB=AC,

：.AC=AB=AD+BD=AD+9,

'：ZADC^90°,

：.AC2=AD2+CD2,

/.(AD+9)2=AD2+122,

:.AD=L,

2

19

，AC=2_+9=空.

22

20.解：⑴連接AC,

VZABC=90°,AB=6,8c=8,

/MC=VAB2+BC2=V62+82=10,

'：CD=W,AZ)=10&,

CD^+AC2=102+102=200,AD2=(10我)2=200,

:.CD2-+AC1=AD2,

...△AC。是直角三角形，

...四邊形ABC。的面積是：而'BCAOCD=6X81°X10=24+50=74,

2222

即四邊形ABCD的面積是74；

(2)作。8c交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則/。EC=90°,

?..△AC。是直角三角形，ZACD=90°,

：.ZDCE+ZACB=90°,

VZABC=90°,

：.ZCAB+ZACB=90°,

，NDCE=NCAB,

在aABC和△CEO中，

"ZABC=ZCED

<ZCAB=ZDCE>

AC=CD

:.△ABgXCED(AAS),

：.AB=CE,BC=ED,

'：AB=6,BC=8,

：.CE=6,ED=8,

：.BE=6C+CE=8+6=14,

???B￡)=7BE2+ED2=V142+82=2癡.

20

D

21.解：設(shè)旗桿的高度為x米，

根據(jù)勾股定理，得/+122=(x+4)2,

解得：x=16；

答：旗桿的高度為16米.

22.解：設(shè)。4=O8=x尺，

尺，AC=1尺，

.".EA—EC-AC=5-1=4(R).0E=OA-AE=(x-4)尺,

在RtZ\OEB中，0E=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺,

根據(jù)勾股定理得：?=(x-4)2+102,

整理得:8x=116,

即2x=29,

解