《理論力學》大題答案

【例題2-6】水平梁力B中點C作用著力尸，其大小等于2kN,

與梁的軸線成60"角，支承情況如圖所示，試求固定錢鏈支官

活動較鏈支座5的約束力(梁的自重不計)。

【解】(1)取a8桿為研究對象，畫出(3)求解方程，確定未知量.

受力圖。

聯(lián)立求解兩個平衡方程，得

(2)以Z為坐標原點，建

立坐標系，列平衡方程。尸ASkN,FB=lkN

ZZ=o

FACOS300-FCOS600-/^cos600=0

Z%=o

"-skBO0-尸?sin60°+&sin600=0

【例題2-7】如圖所示，重為P=20kN的重物，用鋼

絲繩掛在絞車D及滑輪BhoA、B,C處為光滑較

鏈連接，鋼絲繩、桿和滑輪的自重不計，交忽略摩60,

擦和滑輪大小，試求平衡時桿AB和BC所受的力。

【解答】：(1)畫出各研究對象的受力圖。位］

(2)建立坐標系，列平衡方程。

P

匯g=0,4血30°—鳥sin60?！?0

￡4=0,-?cos30°-修cos600=0

根據(jù)定滑輪的性質(zhì)：用=￡=P=20kN

(3)求解方程，確定未知量。

%=20?(sin300-sin600)=-7.32IkN

%=20?(cos300+cos60°)=27.32kN

I缶巨/p圭什〃音voI

【例題2-9】為了豎起塔架，在。點處以固定錢鏈支座與塔架相

連接，如圖所示。設鋼絲繩的拉力為尸，圖中“、6和均為己知

MO(F)=Mo(Fl)-i-Mo(F2)=F'Sma-b+F-cosa'a

當合力、分力與矩心在同一平面內(nèi)時，力對點之矩是代數(shù)量。

【例題2-10］如圖所示的工件上作用有三個力偶，其力偶矩分別為：M產(chǎn)

M2=IONm,M3=20Nm；固定螺柱A和B的距離/=200mm?求兩個螺柱所

受的水平力。戶A

一

【解答】(1)取工件為研究對象，畫出受力圖

(2)根據(jù)力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，可知與

正B等值、反向、平行，也組成力偶。忐

(3)根據(jù)平面力偶系平衡條件列平衡方程：

=OOF/X[_（M+”2+愿）=0-------

O二卡加N

O瑪=F4=200N

【例題2-11】四連桿機構(gòu)在圖所示位置平衡，已知O1/=40cm,O2B=60

cm,?=45°,力=90°,作用在搖桿。4上的力偶矩M,=10N-m,不計桿

自重，求力偶矩弧的大小。二力桿

BABB

MM

o,

作用與反作用定律

M

o,

O2O?

力偶只能與力偶平衡力偶只能與力偶平衡

【解答】(1)分別畫出桿、AB桿和O聲桿的受力圖

(2)根據(jù)OQ桿的受力圖列平衡方程，得：

藝Jf=0OF：xq4xsinQ-M=0EJ>F：=25應N

(3)根據(jù)作用與反作用定律、二力平衡條件、力偶的性質(zhì)，再根據(jù)。聲桿的受力圖列平衡方程：

M=0O颶應

XU>0tB=0=15Nm

【例題2-12】煉鋼用的電爐上，有一電極提升裝置，如圖所示。設電極和

支架共重G,重心在C點。支架上4、8和E三個導輪可沿固定立柱〃滾動，

鋼絲繩系在。點。求電極等速直線上升時鋼絲繩的拉力及<、B、E三處的約

束力。

【解答】(1)畫出研究對象的受力圖

(2)根據(jù)電極等速直線上開的條件，可知F=G,說明尸與G組成力偶。

(3)根據(jù)力偶只能與力偶平衡的性而可知，以與尸B也組成力偶，

工"=

0[=^>Fxx*-Gx?=0[ZZ>FA=FB=-G

(4)E輪處于松弛狀態(tài)，所以：瑪：=0,

【例題275】如圖所示，在物體上/、B、。三點處分別有等值且互

成60。夾角的力耳,后，后,AB=BC=CA=a,試問此物體是否平衡？

為什么？如果不平衡，它們的合成結(jié)果是什么？與簡化中心的位置選

擇有無關系？與右圖所示的三個力作用效果有什么不同？

平面任意力系

的主矢等于零,

也不一定能平

衡，因為它還￡O

有合成力偶的120°

可能。0°

平面匯交力系

的主矢等于零,

n=居=居=尸則它一定平衡。

【例2-19］如圖所示為簡易起重裝置，可繞鉛直軸AB轉(zhuǎn)動。已知自重

6=10kN,掛鉤上掛一重為尸2=40kN的重物。重心C到轉(zhuǎn)動軸的距離為1.5m;

其他尺寸如圖所示。試求止推軸承A和軸承B處的約束力。

【解答】：B

(1)取起重裝置為研究對象，畫受力圖。

作用在起重裝置I:的有主動力?、

4,軸承A處的約束力尸“、%，以，

及軸承B處的約束力尸Q這是平面任

意力系的平衡問題。

(2)建立直角坐標系，列平衡方程。

⑺=0,弊x5-/Jxl5-Bx3.5=0

f%-44=。

X紇=°J-"=。

(3)求解未知量：&=31kN,以=31kN.%=A+《=50kN

結(jié)果為正值，說明圖中假設各未知力方向正確。

【例題2-32】判定圖示桁架中的零桿。

【解答】：(1)和是零桿。(2)C7是零桿。

(3)EG是零桿。(4)是零桿。

根據(jù)是什么？

【例2-34】平面桁架的尺寸和支座如圖所示。在節(jié)點D處

受一集中載荷尸=10kN的作用。試求桁架各桿件的內(nèi)力。

【解答】：(4)取節(jié)點D為研究對象，求5桿內(nèi)力。

XE=O,居-用=0czj>鳥=后=8.66?4

圖中各桿的內(nèi)力都假定為拉力，計算結(jié)果為正，

表明該桿受拉；如果計算結(jié)果為負，說明該桿

實際為受壓力。

(5)取節(jié)點B為研究對象，用于驗證4、5桿

內(nèi)力是否計算正確。

請同學們自己將前面求得的匕、&的數(shù)值，按

節(jié)點B的受力圖進行驗算，兩個平獴方程是否自

然滿足。

X耳=」-馬-與008300=0-8.66-(-10)x0.866=0

X號=4+吊—30°=5+(-10)x05=0

兩個平衡方程均自然滿足，說明計算結(jié)果正確。

【例2-35］如圖所示平面桁架，各桿件的長度都等于1m在節(jié)點E,G，尸上

分別作用載荷a=10kN,尸G=7kN,4=5kN。試計算桿1,2和3的內(nèi)力。

【解答】：(1)根據(jù)整體受力圖求支座約束力

XE=O,-F^+FF=OFAI=FF=5JM

Z肛曲=0,4x3-4xlusinW--繪x2=0I~/^=9.44kN

Z號=0.認+5-紜-紜=。U>%=7$57kN

本題要求桁架中I、2、3桿的內(nèi)力，適合用截面法。

(2)用一個假想截面，將桁架分為兩部分，

保留部分受力如圖所示。

X4,=0，F(xiàn)4r+F1^n600-Fe=0匚>可=2.821kN

2"0（/）=0,&*05+（4-心Alxsinwr-/*15=0

匚二>居=1232kN

2/；=0,式+紇+鳥.8560。_盤=0

U>罵=_8.72&N

【例題3-1】長方體上作用有三個力

尸i=500N,F2=1000N,F3=1200N,

其方向和尺寸如圖所示，試求各力

在坐標軸上的投影。

【解答】(1)求居的投影

1ly"

幾=-500N

(2)求尸2的投影

^r=-1000xsin600=-S66N

%=1000xcos600=500N

『0

J32+424

%=-4xcos。xsinp=-1200xYx--==-858.65N

,3t+4“+25“V32+42

K=Kxsin0=1200x,25536.66N

V3I+42+25I

【例題3-2】圓柱斜齒輪如圖所示，其上受嚙合力戶的作用已知斜

齒輪的螺旋角夕和壓力角夕，試求力皿,y,z軸上的投影。

【解答】：

(1)將力”向z軸和。同評面投影

Fz=-Fsin。

Fv=F-cos6>

(2)將力尸卬向x軸和》軸投影

Fx=Fv-cosJ3=F-cos0-cos/3

Fy=-Fv-sinp=—F-cos0-sin/J

注意：力在平面投影是矢量，根據(jù)其大小和方向，進一步確定

二次向軸投影的正負號。

【例題3-3】在剛體上作用有四個空間匯交力，它們在坐標軸上

的投影如下表所示，試求這四個力的合力大小和方向。

單位

F,FtF}F,

F,1202kN

F,1015-510kN

F.341-2kN

【解答】：根據(jù)上表，可求得：

=l+2+2=5kN,=10+15-5+10=30kN,工巴=3+4+l-2=6kN

合力大?。含?收居尸+(—/y+(X罵)'=/、3()2+62=33

合力方向：cosa=cos(瓦，『)=＞皿#=88(4，力=3

8s7=cos(瓦，匚二〉/7=14°36*,^=78°50,

【例題3-4］如圖所示，支柱AB下端為球形鐵鏈，BC、BD為兩繩索，尸=

7.2kN?不計支柱的自重，求柱及繩索受到的力。

【解答】：

900mm-----*

(1)取錢接點B為研究對象，畫出受力D

圖。繩BC、BD的拉力、AB桿的壓力及生

動力廠組成空間匯交力系而且平衡。

(2)作輔助線OB、按圖示坐標系列平一'夕E

E

衡方程。x/0

0

2X=Q以sinrcosw-%=0Z

;

VF=0?F^sinyshi^-Z^.=0

如何計算兩

工F,=Q,F-FMco&r=Q

個角的正弦

(3)解方程，得到各未知力：和余弦？

FM=10.2kN,%=5.4kN,%=4.8kN

【例題3-5】手柄N5CE在平面網(wǎng)內(nèi)，在。處作用一個力尸，如圖所示，它在垂

直于了軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為仇如I果CD=a,桿5c平行于x軸，桿

CE平行于j軸，和8c的長度都等于/。試求力尸對x”和z三軸的矩。

【解法1——應用合力矩定理計算】

力尸沿坐標軸方向的三個正交分力大小分別為：DE

Fx=F-sinO

■

Fz=F'CosO

當力與軸平行或相交時，力對該軸的矩為零，得：

(齊)=M,(無)+“.(5)+(無)=一5x(A8+CD)=-尸。+a)cose

"0",但)+”,閭+”,伍)=_『?。?_〃8?0

蟲弓=匕閭+鞏閭+匕閭=一居x/+CD)=-網(wǎng)/+a)sin伊

【例題3-6】水平圓盤的半徑為r,外緣C處作用有已知力尸。力尸位于

鉛垂平面內(nèi)，且與。處圓盤切線夾角60。，其他尺寸如圖所示。求力

對X、［、z軸之矩。

【解答】（1）求力尸的三個投影：

q=Fcos600cos300=4尸，F(xiàn),=-Fcos600sin30°=-^F.￡=-產(chǎn)5加600=-半尸

(2)求力F的作用點坐標：

x=rsjn300=；r,y=rcos300=等r,z=h

(3)應用解析公式計算力對坐標軸之矩：

”?便）=俎_嗎=：5-3玲

MO（F）=?

=喇一喇=4F（A+r）

Mz（F）=xFy-^r=-^F-r

【例題3-12】大小均為尸的六個力作用于邊長為a的

正方體棱邊上，如圖所示。求此力系的簡化結(jié)果。

【解答】(2)選擇。點為筒化中心，求主矩。

M(k=F1-a—F4-a=Fa—Fa=G

Mc^=-E2-a-I\-a=-Fa-Fa=-2Fa

=Fy-a+F6-a—Fa+Fa=2Fa

生矩矢的矢量式為：Mo=-QFaj+2Fak

工矩的大小和方向余弦為：％=五3麗正麗=2揚力

ccs(M0,i)=0,cos(卮/)=——,cos(Ma,it)=—

【例題3-12】大小均為產(chǎn)的六個力作用于邊長為，的

正方體棱邊上，如圖所示。求此力系的簡化結(jié)果。

【解答】(3)判斷力系的合成結(jié)果

力系的第二不變量為：

F^Mo^(2Fj+2Fk)(-^Faj+2Fak)

=0-0+(2F)-(-2Fa)+(2F)-(2M2)=0

根據(jù)前面的結(jié)論，力系最終合成一個合力，合力大小和方向與主矢相同，

合力作用線方程由卜.面的方程確定：

訊-蝠=Mg[=>2Fy-2Fz=Q1=>尸z

(=>z-G-2Fx=^FaOx=a

%-凡=MgCZj>2Fx-y-0=2FaOx=a

合力作用線方程為：y-z,x=a

【例題314】如圖所示三輪小車自重P=8kN,作用于點E,載荷P1=10kN,

作用于點C求小車靜止時地面對車輪的約束力。?

【解答】(1)取平板車為研究對象，畫

出受力圖.重力與輪的約束反力組成空間

平行力系而且平衡。

(2)按圖中坐標系列平衡方程

X尸=0,q+生+瑪,-8-10=0

xM?㈤=0,7^x2-8x12-10x02=0

如何各力對坐標軸

工放式布=68x0.6+10x0.8-7^xl.2-j^x0.6=0

力矩的正負號？本

(3)解方程，得到各未知力：問題可以確定幾個

未知員?

2^=4.423kN,2^=7.777kN,F^=5.8kN

【例題3-23］已知：均質(zhì)等厚Z字型薄板尺寸如圖所示，求其重心坐標。

【解答】：厚度方向重心坐標已確定，只求重心的x,j坐標即可。

用虛線分割如圖，為三個小矩形，其面積與坐標分別為

A]=300nnnZ,x[=-15mm,y1=45mm

2

A2=400mm,x2=^nm,y2=30mm

A300mm2,xj=15nnn,y3=5nnn

代入組合法計算公式，得:

_匯4/_X+X

^XI+422A3=2mm

A4+4+4

=4%="+如2+4%=27mm

y

cA4+A2+4

【例題4-1】兩物塊N、5疊放在

一起，4由繩子系住。己知4重

GA=500N,5重GB=1000N,AB

間的摩擦因數(shù)工=0.25,5與地面

間的摩擦因數(shù)以=0.2,試求抽動

5物塊所需的最小力?

【解答】(1)畫出物塊工、5的受力圖。

(2)列平衡方程(請自己完成)

(3)根據(jù)滑動摩擦定律補充方程：

(4)求解未知量：

F=G"+(GjG)/

=500x0.25+1500x0.2=425N

【例題4-2】物體重為尸，放在傾角為。的斜面上，它與斜面間的摩擦因數(shù)為_/；,

如圖所示.當物體處于平衡時，試求水平力吊的大小。

【解答】：(1)如果推力過小，則物體沿斜面下滑，當達到下滑的

臨界狀態(tài)時，是維持平衡所需的最小推力，受力如圖所示。

列平衡方程：

X凡=0，罵-cos。-P.sin?+7^=0

匯與二0,-F1-sinO-P-cosO+F^=0

補充方程：%=工?司

求解：Flsin最^-f-cos6">?

【例題4-2］物體重為P,放在傾角為。的斜面上，它與斜面間的摩擦因數(shù)為￡,

如圖所示。當物體處于平衡時.，試求水平力巴的大小。

【解答】：（2）如果推力過大，則物體沿斜面上滑，當達到上滑的臨界

狀態(tài)時，是維持平衡所需的最大推力，受力如圖所示。

列平衡方程：

乙/\=U,4-cos。-Psm。-J=0

X%=0,-4sin。一Pcos3+綜=0

補充方程：

求解：式竺產(chǎn)

cos"—工?siu〃

—而-一￡cosOs.cos。

p<F<P

cos6+￡sindcos°—￡sin0

【例胭4-4】制動器的構(gòu)造和主要尺寸如圖所示。制動塊與鼓輪表面間的靜摩

擦因數(shù)為刀，試求制止鼓輪轉(zhuǎn)動所必需的力尸O

【解答】：分別取閘桿與鼓輪為研究對象，畫受力圖。_」

設鼓輪被制動處于平衡狀態(tài)。

對鼓輪列平衡方程：_/5*Wr

工/皿r-FT-?F,=0

對閘桿列平衡方程：「J

工必=0,Fa—F'b-嗎c=Q

。卜八

且：

而：F1=P,可=居

解得："JPGY?

【例題57］炮彈從離地面高A處的A點以初速度%在圖示平面內(nèi)射出，%

與水平線的夾角為a在運動過程中，炮彈的加速度a=g（g為重力加速

（3）根據(jù)軌跡方程求水平射程。f=0,vx=v0cosa,v7=v0sina

,gx2y=h

y=n+xtana------=一1=0,x=0,

2v0cosa

【例題82］橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸。轉(zhuǎn)動，其端點C與規(guī)尺的中點

以較鏈相接，而規(guī)尺/、8兩端分別在相互垂直的滑槽中運動，如圖所示。

已知：OC=AC=BC=I,MC=a,（/）=（ot,試求規(guī)尺上點〃的運動方程、運動軌

跡、速度和加速度。

【解答】：（1）確定點W的運動方程和軌跡方程

x=OE=(OC+CM)cosp=(/+a)coscot

y-OF-AM^na)sincat

消去時間，,得軌跡方程:

x2

+/.=

(/+a)2(/-a)2

點用的軌跡是一個橢圓，長軸與X軸重合，短軸與尸軸重合。

點歷在BC段上時，橢圓的長軸將與J，軸重合。

【例題5-2]橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸。轉(zhuǎn)動，其端點C與規(guī)尺45的中點

以較鏈相接，而規(guī)尺，、8兩端分別在相互垂直的滑槽中運動，如圖所示。

已知：OC=AC=BC=I,MC=a,(p=cot,試求規(guī)尺上點〃的運動方程、運動軌

跡、速度和加速度。y\

【解答】：(2)確定點M的運動速度

?,=-=-<a(/+a)snnar.=o(Z-a)cosa>t

故點M的速度大小為：

v=Ju；+u；=+a)smfflr]2+[(a(Z-a)cosfirfp

=fih//2+O2-2alcos2at

速度矢量的方向余弦為：

:、u*-(1+a)sin0f

cos(n,I)=」=

u+a1-2alcosa)t

r、%(，-a)cos血

cos(。，j)=*=/,、,

。V/+a-2alcoscot

【例題5-2]橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸。轉(zhuǎn)動，其端點C與規(guī)尺45的中點

以較鏈相接，而規(guī)尺N、5兩端分別在相互垂直的滑槽中運動，如圖所示。

已知：OC=AC=BC=1,MC=a,(p=a)t,試求規(guī)尺上點〃的運動方程、運動軌

跡、速度和加速度。斗

【解答】：(3)確定點M的加速度

a*=“*="，=-0"/+a)ccs0r=-a^-x

dtdi1'------------

dvd2yi----；—

a,=———=—=-=-to(I-a)sintot--ary

'dtdt2''----------

點M的加速度大小為：

a—4d+4；=蘇Jr+a'+2a/cos2a/\=a^+：

其方向余弦為：=(^OM

L:、fiL-(/+a)coscrf1、a-(l-d)sinat

cos(a,z)=二=/,、，cos(a,j)=^=——----

aV*+a+2Hcos2da\jr+ar+2alcos2d

【例就5-6】在圖的搖桿滑道機構(gòu)中，滑塊〃同時在固定圓弧槽和搖桿0/

的滑道中滑動。圓弧5E的半徑為/?,搖桿的轉(zhuǎn)軸。在BE弧的圓周上，搖桿繞

。軸以勻角速度轉(zhuǎn)動。當運動開始時，搖桿在水平位置。求滑塊相對于5E弧

的速度、加速度。

【解法1一一直角坐標法】

(1)以。為原點建立平面直角坐標系。W，o

ZBOMQ=qf=tol

NBQA/。=2g=2H

B點的直角坐標運動方程為：

x=OO{+q￡=R+Rcos2d

y=BK=Rsin2n>t

消去時間,,得軌跡方程：

(x-X)1+y2=R2

點B的軌跡是一個圓，圓心在a,半徑為七

【例超5-6】在圖的推桿滑道機構(gòu)中，滑塊M同時在固定圓弧槽BE和搖桿

的滑道中滑動。圓弧3E的半徑為R,搖桿的轉(zhuǎn)軸。在5E弧的圓周上，搖桿繞

O軸以勻角速度轉(zhuǎn)動。當運動開始時，搖桿在水平位置。求滑塊相對于BE弧

的速度、加速度。

全加速咬：a=^Jal+a^=4Ra>2

【例題5-7】列車沿半徑為R=800m的圓弧軌道作勻加速運動。如初速度為零，

經(jīng)過2min后，速度達到54km/h。求列車在起點和末點的加速度。

【解答】：根據(jù)已知條件得：

4=3=常量匚。>

根據(jù)/=2niin=120s時，速度u=54km/h=15m/s的條件，可得：

4=—=......-0.125m/S)

/120

在起點處，Us時，速度”=0,可得：

a,=—=0匚)全加速度為：a=^=0.125m/s2

P

在末點處，/=120s時,速度片15m/s,既有切向加速度，又有法向加速度

22

at=0.125m/s,^,=^-=^^=0.281ni/sa=+4=0-308m/s'

在末點處的全加速度與法向夾角為：

tane二—==0.4448CZ%O=23.98°=23°5夕

a0.281

【例題6-1】平行四連桿機構(gòu)在圖示平面內(nèi)運動。OXA=O2B^.lm,JA/=0.2m,

OtO2=AB，如。/按9=15nf的規(guī)律轉(zhuǎn)動，其中。以rad計，似s計。試求D.8

s時,M點的速度與加速度。

【解答】：桿、桿作定軸轉(zhuǎn)動。

所以4、5點均作圓周運動桿

作平行移動，因此45、M點的軌

跡、速度、加速度均相同。/點、

M點的速度和加速度分別為：

v=0a■—=3MIU/S,%=%=%m/s

A1dt%、的方向示意圖

a=—=0,=45M2m/s2

A"<UpOA0.2

1為什么根據(jù)力點的速度和

221

at=+4=45尸m/s,a”=a”=45Km/s加速度，可以確定必點的

速度和加速度？

/=0s,p=0,，=0.8s,^>=15-w-0.8=12x(rad)

此時45桿正好回到起始的水平位置。

【例題6-2】攪拌機如圖所示，已知O/=G5=R,O}O2=AB,桿以不變

轉(zhuǎn)速〃（r/min）轉(zhuǎn)動。試分析A4M構(gòu)件上M點的軌跡、速度和加速度。

【解答】：因為構(gòu)件作平移，所以跡與力相同。

A.8點的軌跡為?個圓。

〃2笈4m

速度：

6030

加速度：可=0,W=R=

M點的軌跡也是?個圓，與A點軌跡圓的半

徑相同，圓心位置不同。

速度：=家

加速度：4=0，心=（常）R

【例題33】單擺按照下面的運動規(guī)律?=小8苧繞固定軸Oz擺動，如圖

所示。其中仍為搜的振幅，T為擺動周期，OC=I,試求在初瞬時（片0）及經(jīng)

過平衡位置（°=0）時，其重心C的速度和加速度。

【解答】：（3）求0=0時單擺的角速度和角加速度

Inc,_K2乃，乃左3無

^=%cas—Z=0匚＞下"二萬或三

sin齊f=±l匚＞0=孑^^

a=0

（4）求3=。時C點的速度和加速度

T-零

%=＞。=0,,=/.蘇=3駟匚.a=［《+4，

【例題6-4】圖為減速器，軸I為主動軸，與

電動機相聯(lián)。已知電動機轉(zhuǎn)速n=1450r/min,

各齒輪的齒數(shù)z,=14,z2=42,z3=20,=

36o求減速器的總傳動由九及軸川的轉(zhuǎn)速。

【解答】：

各齒輪作定軸轉(zhuǎn)動，為定軸輪系的傳動問題

軸I與II的傳動比：^2=—=—=^=3

%414

軸II與III的性.動比：*B=—=—=^=1-8

n,420

%q丐Z]4--

從軸I至軸川的總傳動比為：電=—=—X-=-X—=

22巧4Z*

一.44236一

C=v>---X——=5.4a=-=-----=268.5r/min

41420b54

軸III的轉(zhuǎn)向如圖所不。

【例題6-5】減速箱由四個齒輪構(gòu)成，如圖示。齒輪II和川安裝在同一軸上，

各齒輪的齒數(shù)分別為4=36,z2=112,z3=32和4=128。如主動軸I的轉(zhuǎn)速

?1=1450r/min,試求從動輪IV轉(zhuǎn)速4。

【解答】：設各齒輪的轉(zhuǎn)速為","z,力和"4

顯然“2=”3，應用齒輪的傳動比公式：

總傳動比為：

zz

4.4=n1,"=n3*n二,=-i2_**-=1-1--2--X--1--2-8--=1…2.4，

%n2n4z(z,36x32

從動輪轉(zhuǎn)速：=—=^^=117r/min

I124

兩次外嚙合，從動輪和主動輪的轉(zhuǎn)向相同.

【例勝7-2】己知點跖持平面內(nèi)運動，其絕對運動方程為：x=5t2+2tcos4t-6t2sin4t,

y^3t+2tsin4t+6t2cos4t,點m相對于動坐標系。丫了的相對運動方程為：/=2/,

./=6/-,求動系原點。，的運動方程和動坐標軸的轉(zhuǎn)動方程.(牽連運動方程)。

【解答】：將已知條件代入坐標變換公式，得：

5f2+2cos4/-6/sin4/=%+2/cose-6^sine

V

31+2/sinAt+6產(chǎn)cos4f=%+2/sin<p+6t2oos<p

比較等式兩端，可得動坐標系原點O的運動方程為：

xcf=5?

y(r=火

動坐標系的轉(zhuǎn)動方程為：。=4/

【例題7-4】半徑為R的半圓形凸輪以等速為水平向右運動，帶動從動桿

48沿鉛直方向上升，如圖所示。求*=30。時桿45相對于凸輪的速度。

(3)根據(jù)點的速度合成定理，以力為對角線,［與彳為鄰邊，作出速度

平行四邊形如圖所示，由圖中的幾何關系得：

%—8伊=>*三_=_^=卒％

cos夕cos3003

【例題7-5】刨床的急［可機構(gòu)如圖所示。曲柄。4的?端力與滑塊用較鏈連接。

當曲柄OA以勻角速度。繞固定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿OR上滑動并帶動搖

桿繞固定軸O1擺動。設曲柄長04=r,OOx=l,當曲柄在水平位置時，求

搖桿01的角速度叫及滑塊A相對于搖桿。出的相對速度。

Vay'

【解答】：

(1)選曲柄端點/為動點，把動系固定在搖桿。聲上與搖

桿?起繞a軸擺動。

(2)分析三種運動和三種速度：

絕對運動：以點。為圓心的圓周運動。駕方向垂直于OA,

大?。骸?r—

相對運動：(在動系上看動點的運動軌跡)是沿0/方向的

直線運動，毒方向一知，大小未知。

牽連運動：是搖桿繞外軸的搜動。；方向垂克于。小,大小未知。

【例世7-5】刨床的急回機構(gòu)如圖所示。曲柄04的?端4與滑塊用餃鏈連接。

當曲柄OA以勻角速度◎繞固定軸。轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O］上滑動并帶動搖

桿繞固定軸。|投動。設曲柄長。，=r,OOi=/，當曲柄04在水平位置時，求

搖桿的角速度他及滑塊A相對于搖桿的相對速度。

【解答】：(3)應用速度合成定理：va=vB+vr

作速度平行四邊形。

由速度平行四邊形可求得滑塊相對于搖桿的速度為：

vr=v.cosp=-j==^ra)

牽連速度為：Vr=vasin^=-==

w+

.2

V._"+尸

搖桿角速度為：嗎

【例題7-6】如圖所示半徑為R的偏心圓凸輪，偏心距為e,以勻角速度。繞。轉(zhuǎn)

動，桿AB能在滑槽中上下移動，桿的端點A始終與凸輪接觸，且OAB成?條直

線。求在圖示位置時，桿AB的速度。

【解答】：

(1)選AB桿上的A「；.力動點，則?:力參號系必須皆其移

建".住凸輪I：,睜參考系建、7.在地而卜..

(2)分析三種運動和二種速度

絕對運動：A點隨著AB桿的上下直線運動，

絕對速度此時豎直向上，大小未知、

牽連運動：凸輪繞O的定軸轉(zhuǎn)動，牽連速度方向垂直于

OA,大小為：v.^OAa)

相對運動：A點沿凸輪邊緣的曲線運動，相對速度大小未知，

方向與A點的圓周相切，即垂直于半徑CA。

【例題7-6】如圖所示半徑為R的偏心圓凸輪，偏心距為e,以勻角速度◎繞O轉(zhuǎn)

動，桿AB能在滑槽中上下移動，桿的端點A始終與凸輪接觸，且OAB成一條直

線。求在圖示位置時，桿AB的速度。

【解答】：

(3)根據(jù)速度合成定理，作速度平行四邊形如圖。

(4)根據(jù)圖中的兒何關系求解

v.=OA<?=yjR2-e1a>

v.cot0=-e1-a)■,,-e-a)

7^7

由于AB桿作平行移動，因此A點的絕對速度就代表AB桿運動的速度。

【例題7-8】圓盤半徑為及，以角速度外繞水平軸CD轉(zhuǎn)動，支承CD的框架乂以

角速度牝繞鉛直的AB軸轉(zhuǎn)動，如圖所示。圓盤垂直于CD,圓心在CD與AB的

交點處.求當連線OM在水平位置時，圓盤邊緣上的點M的絕對速度。

I1：(1)選M點為動點，動參考系建迂在框架上。

(2)分析:種運動和三種速度

相對運動：以O為圓心，〃為半徑的圓周運動，相對速

度垂直于OM,當OM在水平位置時，相對速度豎直向

下，相時速度大小未知為：4=&。一

牽連運動：框架繞n軸的轉(zhuǎn)動，牽連速度方向既垂直于

OM,又垂直于z軸，方向水平向右，大小為：%=&4。

絕對運動：相對運動與牽連運動的合成，絕對速度大小

和方向均未知。由速度合成定理，作平行四邊形確定。

由于乜垂直于外,速度平行四邊形成為矩形，得：

v.=H+v：=R，幅+曷，,戶=￡琮

【例版7-10】曲柄OA繞固定軸轉(zhuǎn)動，丁字形桿BC沿水平方向往復平移，如

圖所示。較接在曲柄端A的滑塊可在丁字形桿的鉛直槽DE內(nèi)滑動.設曲柄以

角速度◎作勻速轉(zhuǎn)動，OA=r，試求桿BC的加速度。

【解答】：D

(1)選擇滑塊A為動點，則連桿BC為動參考系。A

41_|1_1

(2)分析二種運動和三種加速度

絕對運動：滑塊A以O為圓心，以OA為半徑B

的勻速圓周運動。a=r(?z,指向圓心0。

相對運動：滑塊A沿BC桿的豎直滑道的上下E

運動，勺方向豎直，大小未知。

奉連運動：BC桿的水平移動，勺大小未知，方向水平向左。

(3)根據(jù)李連運動為平移時點的加速度合成定理，以4為對角線，明與/

為鄰邊，作出加速度平行四邊形如上圖所示，由圖中的幾何關系得：

1

由圖中的幾何關系得：at=aacos^f=raica&tp

【例思8-1】橢圓規(guī)尺的A端以速度以沿x軸的負向運動，如圖所示，AB=/

求B端的速度以及尺AB的角速度。

【解答】：

(1)滑塊A、B作平動,尺N8作平面運動。

(2)選/點為基點，根據(jù)基點法，有：

%=小為

作速度平行四邊形如圖所示。

根據(jù)圖中的幾何關系，滑塊B的速度為：

V

VB=ACOtip

相對速度為：

“Ed=~—=(o'AS

sin<p

尺AB的角速度為：

ABIIsin<p

【例題8-2】圖示平面機構(gòu)中，AB=BD=DE=/=300mm。在圖示位置時，

BD||AE,桿AB的角速度為e=5rad/s。求此瞬時桿DE的角速度和桿BD中

點C的速度。

【解答】：(1)選B點為基點，求D點的速度。

牽連速度：va=ABa)=la>-Q3x5=l.5m/&,

相對速度：vmLBD,方向已知，大小未知。

vD=vB+vDS

絕對速度：VDLDE,方向已知，大小未知。

根據(jù)速度合成定理，作出D點的速度合成圖。

60°

由圖中幾何關系得D點速度為：B

%f=15m/s,v0a=。=15m/

(2)求DE桿的角速度：

vD=DE-8宙=ls礫=1.5m/s

()0

8=—==Srads

0KI0.3'

【例迎8-2】圖示平面機構(gòu)中，AB=BD=DE=/=300mm?在圖示位置時，

BD||AE,桿AB的角速度為。=5rad/s。求此瞬時桿DE的角速度和桿BD中

點C的速度。

【解答】：(3)選B點為基點，求C點的速度。

牽連速度:V、=Ji??<?=7-0=03x5=1.5m/s,VB±AB

相對速度:vaLBD,va=-vM=0.75m/s

絕對速度：“方向未知，大小未知。

60°

根據(jù)速度合成定理，作速度合成圖。

VB

由圖中幾何關系得C點速度為：

v-v-cos300=1.5x0.866=1.299m/s

cB60°

彳沿BD連線方向。

【例的8-3】曲柄連桿機構(gòu)如圖所示，OA=r,AB=^3-r。如曲柄OA以勻角速

度e轉(zhuǎn)動，求當夕=60。、0=0。和尹=90。時點B的速度。O、B在同冰平面。

【解答】：(1)求當/=60。時點B的速度。

選A點作?基點，則有：

牽連速度：v1=OAa>=ra),v^A-OA

相對速度：％，43,大小未知。

絕對速度：va方向水平向左，大小未知。

根據(jù)速度合成定理，作速度合成圖。

%=七十%請根據(jù)正弦定理和已知條件，自己

證明如下兩個結(jié)論：

由圖中幾何關系得B點速度為：

(I^OATAB

V/2ra)2y/3-rt?

(2>ZOBA^30°

’cos300<33

【例遨8-3】曲柄連桿機構(gòu)如圖所示，OA=r,AB=依。如曲柄OA以勻角速

度?轉(zhuǎn)動，求當e=60。、0=0。和0=90。時點B的速度。O、B在同?水平面。

【解答】：（2）求當產(chǎn)90。時點B的速度。

選A點作基點，則仃：

V

牽連速度：A=OAa）=ra）,v￡LOA

相對速度：大小未知。

絕對速度：方向水平向左，大小未知。

根據(jù)速度合成定理，作速度合成圖。

此時牽連速度與絕對速度共線、同向，所以相對速度：%=0

所以當0=90。時點B的速度為：va=vA=ra

I此時AB桿作什么運動？是否永遠保持這種運動狀態(tài)？|

【例題8-3】曲柄連桿機構(gòu)如圖所示，OA=r,AB=依。如曲