2024七年級數(shù)學(xué)上冊第六章幾何圖形初步6.2直線射線線段6.2.2線段的比較與運(yùn)算課件新版新人教版

6．2直線、射線、線段6．2.2線段的比較與運(yùn)算第六章幾何圖形初步逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2線段的畫法及長短比較線段的基本事實(shí)線段的運(yùn)算知識點(diǎn)線段的畫法及長短比較知1－講11.尺規(guī)作圖在數(shù)學(xué)中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖.?????????知1－講2.畫一條線段等于已知線段a(1)方法一：利用刻度尺先量出已知線段a

的長度，再畫一條等于這個長度的線段.(2)方法二：如圖6.2-13，用直尺畫射線AC，再用圓規(guī)在射線AC

上截取AB=a(這就是“作一條線段等于已知線段”的尺規(guī)作圖).???????????知1－講3.線段的長短比較方法具體做法示例度量法先利用刻度尺分別測量出兩條線段的長度，然后根據(jù)測量結(jié)果進(jìn)行比較.如圖，對于線段AB與線段CD，測得AB=2.4cm，CD=2.9cm，所以AB<CD疊合法把兩條線段中的一條線段移到另一條線段上，使它們有一個端點(diǎn)重合，然后根據(jù)另一個端點(diǎn)的位置進(jìn)行比較.知1－講特別解讀1.比較線段的長短實(shí)質(zhì)就是比較線段長度的大小.2.當(dāng)兩條線段的長短差別不大，且又不便放在一起比較時，運(yùn)用度量法；當(dāng)兩條線段能夠放在一起且又不需要知道相差的具體數(shù)值時，可用疊合法.3.度量法和疊合法是從“數(shù)”和“形”兩個方面進(jìn)行的，從“數(shù)”的方面比較，一般用度量法；從“形”的方面比較，一般用疊合法.知1－練例1如圖6.2-14是一張三角形紙片，你能比較線段AB

與線段BC

的長短嗎？解題秘方：可以利用度量法，分別量出兩條線段的長度，然后進(jìn)行比較，或者利用疊合法進(jìn)行比較.解：方法一

度量法.用刻度尺量得AB=1.7cm，BC=1.3cm，所以AB>BC.方法二

疊合法.如圖6.2－14，將圓規(guī)的針尖放在B點(diǎn)，筆尖放在C

點(diǎn)，將圓規(guī)繞B

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，圓弧與AB

交于D

點(diǎn).所以AB>BC.知1－練1-1.要比較線段AB與CD的長短，

小明將點(diǎn)A

與點(diǎn)C重合并使兩條線段在一條直線上，

結(jié)果點(diǎn)B

在CD

的延長線上，

則AB與CD相比較，()A.AB<CDB.AB>CDC.AB=CDD.無法判斷B知2－講知識點(diǎn)線段的基本事實(shí)2線段的基本事實(shí)兩點(diǎn)的距離舉例兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.簡單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短定義性質(zhì)在所有連接A，B兩點(diǎn)的線中，線段AB是最短的，線段AB的長度就是點(diǎn)A

與點(diǎn)B

之間的距離連接兩點(diǎn)的線段的長度，叫作這兩點(diǎn)間的距離(1)存在性；(2)最短性；(3)唯一性知2－講警示誤區(qū)兩點(diǎn)的距離是一個具體的數(shù)量，而線段本身是圖形.因此不能把A，B

兩點(diǎn)的距離說成是線段AB.另外，連接兩點(diǎn)是指畫出以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段.知2－練如圖6.2-15所示，某同學(xué)的家在A

處，書店在B

處，星期日他到書店去買書，想盡快趕到書店，請你幫助他選擇一條最近的路線()A.A→C→D→B

B.A→C→F→BC.A→C→E→F→B

D.A→C→M→B例2解題秘方：判斷出B，C兩點(diǎn)之間最短的路線為C→F

→B，即可選出正確答案.解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知從點(diǎn)C

到點(diǎn)B

的最短路程為線段BC

的長，從A到C

的路程不變，故最短的路線為A

→C→F→B，故選B.答案：B知2－練2-1.如圖是某住宅小區(qū)平面圖，點(diǎn)B是某小區(qū)快遞站的位置，其余各點(diǎn)為居民樓，圖中各條線為小區(qū)內(nèi)的小路，從居民樓點(diǎn)A到快遞站點(diǎn)B的最短路徑是()A.A－C－G－E－BB.A－C－E－BC.A－D－G－E－BD.A－F－E－BD知2－練例3如圖6.2-16，有一個正方體盒子放在桌面上，一只蟲子在頂點(diǎn)A

處，一只蜘蛛在頂點(diǎn)B

處，蜘蛛沿著盒子表面準(zhǔn)備偷襲蟲子，那么蜘蛛要想最快地捉住蟲子，應(yīng)該怎樣走？你能畫出來嗎？知2－練解題秘方：蜘蛛要想最快地捉住蟲子，需走最短的路徑，而蜘蛛走的路徑是正方體的不同側(cè)面，因此應(yīng)在正方體的側(cè)面展開圖中尋找.其實(shí)質(zhì)是把立體圖形展開為平面圖形，也就是把正方體的不同側(cè)面展開到同一平面，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定最短的路徑.知2－練解：如圖6.2-1-7，有四種走法，分別是：B→F→A，B

→G→A，B→M→A，B→N→A(F，G，M，N

分別為DE，CD，KE，KH

的中點(diǎn)).知2－練方法點(diǎn)撥：在現(xiàn)實(shí)生活中，從A地到B

地，若要路程最短，則A，B

之間畫成筆直的線，若要路程變長，則畫成折線或曲線，各有用途，根據(jù)不同需求進(jìn)行設(shè)計(jì).知2－練3-1.如圖，一觀測塔底座部分是長方體，現(xiàn)在從下底面A點(diǎn)修建扶梯，經(jīng)過點(diǎn)M，N到點(diǎn)D′，再進(jìn)入頂部的觀測室，已知AB=BC，試確定使扶梯的總長度最小的點(diǎn)M，N

的位置.解：如圖，將長方體的三個面展開，連接AD′，分別與BB′，CC′交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)M，N即為所求．知3－講知識點(diǎn)線段的運(yùn)算31.線段的和與差如圖6.2-18，已知線段a，b(且a>b).知3－講(1)線段的和：在直線l

上作線段AB=a，再在AB的延長線上作線段BC=b，線段AC

就是a

與b

的和，記作AC=a＋b，如圖6.2-19①.(2)線段的差：在直線l上作線段AB=a，再在線段AB上作線段BD=b，則線段AD

就是a

與b

的差，記作AD=a－b，如圖6.2－19②.知3－講

?????????????知3－講

知3－講特別提醒1.線段的中點(diǎn)必須在線段上，并且只有一個.2.線段的中點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為線段相等或成倍分關(guān)系的等式，但是相等或倍分關(guān)系不一定能轉(zhuǎn)化為線段的中點(diǎn)，如若AC=BC，如果點(diǎn)C不在線段AB上，就不是線段AB的中點(diǎn).3.線段的中點(diǎn)及等分點(diǎn)的特征:這些點(diǎn)都在線段上，線段的中點(diǎn)只有一個，線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)不止一個.知3－練[期末·南京秦淮區(qū)]如圖6.2-23，C

為線段AD上一點(diǎn)，B

為CD的中點(diǎn)，且AD=13.5cm，BC=3cm．例4解題秘方：根據(jù)線段中點(diǎn)的定義結(jié)合線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，情況不明時注意分類討論.知3－練(1)圖中共有_______條線段；6知3－練(2)求AC的長；解：因?yàn)锽為CD

的中點(diǎn)，BC=3cm，所以CD=2BC=6cm.因?yàn)锳D=13.5cm，所以AC=AD－CD=13.5－6=7.5(cm).所以AC

的長為7.5cm.知3－練(3)若點(diǎn)E

在直線AD

上，且EA=4cm，求BE

的長．解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在線段CA

的延長線上時，如圖6.2－24.因?yàn)镋A=4cm，AC=7.5cm，BC=3cm，所以BE=AE＋AC＋BC=14.5(cm).當(dāng)點(diǎn)E

在線段AC上時，如圖6.2－25.因?yàn)镋A=4cm，AC=7.5cm，所以CE=AC－AE=7.5－4=3.5(cm).因?yàn)锽C=3cm，所以BE=CE＋BC=3.5＋3=6.5(cm).綜上所述，BE

的長為14.5cm或6.5cm．知3－練4-1.[新考法

分類討論法]已知線段AC

和線段BC在同一直線上，

如果AC=6cm，BC=4cm，則線段AC

和線段BC的中點(diǎn)之間的距離為______cm．1或5知3－練4-2.[期末·重慶榮昌區(qū)]如圖，點(diǎn)C

在線段AB上，M

是AC的中點(diǎn)，且AB=76，BC=52．知3－練(1)求線段AM

的長；知3－練(2)在線段BC

上取一點(diǎn)N，使得CN∶NB

＝6∶7，求線段MN的長.知3－練[母題教材P166練習(xí)T2]用直尺和圓規(guī)作線段：如圖6.2-26，已知線段a，b，c．例5解題秘方：按照線段和差的作法用圓規(guī)在射線上依次截取.知3－練(1)求作一條線段，使它等于a＋2b；解：如圖6.2－27，1.作射線AM；2.在射線AM

上順次截取AB=a，BC=CD=b.線段AD即為所求作．知3－練(2)求作一條線段，使它等于a－b＋c．解：如圖6.2-28，1.作射線AM；2.在射線AM

上順次截取AB=a，BC=c；3.在線段AC

上截取CD=b.知3－練5-1.已知：線段a，b.求作：線段AB，使得AB=2a＋b.小明給出了四個步驟(如圖)：①作一條射線AE；②則線段AB=2a＋b；③在射線AE

上作線段AC=a，再在射線CE

上作線段CD=a；④在射線DE上作線段DB=b.你認(rèn)為順序正確的是(

)A．②①③④B．①③④②C．①④③②D．④①③②B線段的比較與運(yùn)算線段的比較與運(yùn)算線段的比較線段的運(yùn)算度量法疊合法線段的和差線段的中點(diǎn)如圖6.2－29，M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B

在線段AC上，且AB=4，BC=2AB，求線段MC和線段BM的長.方法利用“逐段計(jì)算法”求線段長1例6思路引導(dǎo)：

方法點(diǎn)撥利用“逐段計(jì)算法”求線段長：要求某條線段的長，先確定這條線段等于哪幾條線段的和或差，分析這些線段的長是已知的，還是要通過別的條件再求的，再進(jìn)行逐段計(jì)算.如圖6.2-30，已知B，C

兩點(diǎn)把線段AD

分成2∶5∶3的三部分，點(diǎn)M為線段AD的中點(diǎn)，BM=6cm，求CM和AD的長.方法利用方程思想求線段長2解題秘方：畫出如圖6.2－31所示的示意圖.根據(jù)BM=AM－AB，列方程求解.例7

方法點(diǎn)撥利用方程思想求線段長的方法：當(dāng)利用逐段計(jì)算法難以求出線段長時，可考慮運(yùn)用方程思想.其中將已知的線段長作為等量關(guān)系，設(shè)出要求的線段長，用含要求線段長的式子(利用它們之間的數(shù)量關(guān)系)表示已知線段，列出方程解決問題.如圖6.2－32，線段AB=4，O

是線段AB

上一點(diǎn)，C，D分別是線段OA，OB

的中點(diǎn).方法利用整體思想求線段長3例8(1)求線段CD的長.思路引導(dǎo)：

(2)若把“O

是線段AB

上一點(diǎn)”改為“O

是線段AB

延長線上一點(diǎn)”，其他條件不變，請你畫出圖形，并求線段CD的長.思路引導(dǎo)：

方法點(diǎn)撥利用整體思想求線段長的方法：當(dāng)根據(jù)已知條件無法逐一計(jì)算出每條線段的長時，可根據(jù)各線段之間的數(shù)量關(guān)系，將某些線段的和或差看成整體進(jìn)行計(jì)算.模型解讀雙中點(diǎn)模型：如圖6.2－34，直線上三點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中，任意兩條線段中點(diǎn)間的距離等于第三條線段長度的一半.如圖6.2－35，已知在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A

表示的數(shù)為－10，點(diǎn)O

表示的數(shù)為0，OB=3OA，點(diǎn)M以每秒3個單位長度的速度從點(diǎn)A

向右運(yùn)動，點(diǎn)N

以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)O

向右運(yùn)動(點(diǎn)M，點(diǎn)N

同時出發(fā)).方法利用“化動為靜法”求線段長4例9(1)數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是______.30(2)經(jīng)過幾秒，點(diǎn)M，N

到原點(diǎn)的距離相等？思路引導(dǎo)：解：設(shè)經(jīng)過x秒，點(diǎn)M，N

到原點(diǎn)的距離相等.分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M，N

在原點(diǎn)兩側(cè)時，根據(jù)題意列方程，得10－3x=2x，解得x=2.②當(dāng)點(diǎn)M，N

重合時，根據(jù)題意列方程，得3x－10=2x，解得x=10.所以經(jīng)過2秒或10秒，點(diǎn)M，N

到原點(diǎn)的距離相等.(3)點(diǎn)N

在點(diǎn)B

左側(cè)運(yùn)動的情況下，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到什么位置時，恰好使AM=2BN

？思路引導(dǎo)：

方法點(diǎn)撥1.求數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)時，轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)到原點(diǎn)之間的線段的長度，然后利用該點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)還是右側(cè)確定數(shù).2.若數(shù)軸(點(diǎn)O

表示的數(shù)為0)上有A，B

兩點(diǎn)，A點(diǎn)表示的數(shù)為a，B點(diǎn)表示的數(shù)為b，則OA=|a|，OB=|b|，AB=|a－b|.3.對于動點(diǎn)問題，用點(diǎn)運(yùn)動的速度乘運(yùn)動的時間等于運(yùn)動的路程來表示線段的長度.易錯點(diǎn)對線段的中點(diǎn)的理解有誤

例10錯解：A或B或C正解：分別畫出圖形，如圖6.2-36所示.答案：D診誤區(qū)：C是線段AB的中點(diǎn)，關(guān)鍵要說明點(diǎn)C在線段AB上.考法利用線段基本事實(shí)解決實(shí)際問題1[中考·柳州]如圖6.2－37，從學(xué)校A

到書店B

有①，②，③，④四條路線，其中最短的路線是()A.①B.②C.③D.④例11試題評析：本題考查了線段的基本事實(shí)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決本題的關(guān)鍵．解：因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短，所以從學(xué)校A

到書店B

的四條路線中，最短的路線是②．答案：B考法利用線段的和差倍分進(jìn)行計(jì)算2[新考法分類討論法中考·包頭]已知線段AB=4，在直線AB

上作線段BC，使得BC=2，若D

是線段AC

的中點(diǎn)，則線段AD

的長為(

)A.1B.3C.1或3D.2或3例12試題評析：本題考查線段中點(diǎn)的概念及線段的運(yùn)算，正確運(yùn)用分類討論思想是解題關(guān)鍵.

答案：C1.如圖，用圓規(guī)比較兩條線段AB

和A′B′的長短，其中正確的是()A.A′B′>ABB.A′B′=ABC.A′B′<ABD.沒有刻度尺，無法確定C2.[期末·紹興諸暨市]如圖，用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，則剩下的樹葉周長小于原樹葉的周長，能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)道理是(

)A.兩點(diǎn)之間直線最短B.兩點(diǎn)之間線段最短C.兩點(diǎn)確定一條直線D.經(jīng)過一點(diǎn)有無數(shù)條直線B

A

D5.如圖，在射線OM

上順次截取OA=AB=a，在線段BO

上截取BC=b，則圖中線段OC

的長可表示為(

)A.a＋b

B.a－bC.2a＋bD.2a－bD6.[期末·重慶榮昌區(qū)]如圖，點(diǎn)C

是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，若AB=20，AC=12，則CD=________

．47.[新視角新定義型題]定義：C是線段AB(5＜

AB＜10)上的一點(diǎn)，若點(diǎn)C

將AB

分得的兩條線段中，有一條線段的長與AB

的長的和是10，則稱點(diǎn)C

是線段AB

的“圓滿分割點(diǎn)”．已知MN=8，P，Q

分別是線段MN，PN

的“圓滿分割點(diǎn)”，則QN的長是______．2或48.[母題教材P168習(xí)題T7]已知數(shù)軸上有點(diǎn)A，B，C，它們所表示的有理數(shù)分別是6，－8，x.(1)求線段AB

的長；解：AB＝6－(－8)＝14.(2)求線段AB

的中點(diǎn)D表示的數(shù)；(3)已知AC=8，求x.解：(－8＋6)÷2＝－1，即點(diǎn)D表示的數(shù)為－1.當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊時，x＝6－8＝－2；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右邊時，x＝6＋8＝14.所以x為－2或14.9.[期末·蘇州姑蘇區(qū)]如圖，C

為線段AB上一點(diǎn)，D

為線段BC

的中點(diǎn)．(1)若AB=7cm，AC=2cm，

則BD=_____cm；(2)若AB=8cm，CD－AC=1cm，求線段AC

的長度．解：因?yàn)辄c(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，所以CD＝BD.設(shè)AC＝xcm，則CD＝BD＝(x＋1)cm.因?yàn)锳B＝8cm，即