2021 第4章 第4節(jié) 萬(wàn)有引力與航天

第4節(jié)萬(wàn)有引力與航天

夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)必備知識(shí)全通關(guān)掃除雙基盲點(diǎn)

I:必備知識(shí)填充11

一、開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律

1.開普勒第一定律

所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。

2.開普勒第二定律

對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)粗箜的面積。

3.開普勒第三定律

所有行星的軌道的生長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，

表達(dá)式：k0

二、萬(wàn)有引力定律

1.內(nèi)容

(1)自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引。

(2)引力的方向在它們的連線上。

(3)引力的大小與物體的質(zhì)量一和切2的乘積成正比、與它們之間距離r的

二次方成反比。

2.表達(dá)式

尸=野詈,其中G為引力常量，G=6.67X1011N-m2/kg2,由卡文迪許扭

程實(shí)驗(yàn)測(cè)定。

3.適用條件

(1)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用。

(2)對(duì)質(zhì)量分布均勻的球體，r為兩球心間的距離。

三、宇宙速度

1.三種宇宙速度比較

宇宙速度數(shù)值(km/s)意義

第一宇

7.9地球衛(wèi)星最小發(fā)射速度（環(huán)繞速度）

宙速度

第二宇物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度

11.2

宙速度（脫離速度）

第三宇物體掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度

16.7

宙速度（逃逸速度）

2.第一宇宙速度的1卜算方法

⑴由仃?duì)?哈得[GM

V2

（2）由=互得。=道。

[學(xué)情自測(cè)驗(yàn)收II

1.思考辨析（正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”）

（1）地面上的物體所受地球的引力方向一定指向地心。（J）

⑵兩物體間的距離趨近于零時(shí)，萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大。

（X）

⑶開普勒第三定律爺=女中A值與中心天體質(zhì)量無(wú)關(guān)。（X）

（4）第一宇宙速度與地球的質(zhì)量有關(guān)。（J）

（5）地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度大于第一宇宙速度。（X）

2.（教科版必修2P44T2改編）火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，根

據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知（）

A.太陽(yáng)位于木星運(yùn)行軌道的中心

B.火星和木星繞太陽(yáng)運(yùn)行速度的大小始終相等

C.火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長(zhǎng)軸之比的立方

D.相同時(shí)間內(nèi)，火星與太陽(yáng)連線掃過(guò)的面積等于木星與太陽(yáng)連線掃過(guò)的面

積

C

第2頁(yè)，共21頁(yè)

［太陽(yáng)位于木星運(yùn)行軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，A錯(cuò)誤；不同的行星對(duì)應(yīng)不同的運(yùn)

行軌道，運(yùn)行速度大小也不相同，B錯(cuò)誤；同一行星與太陽(yáng)連線在相等時(shí)間內(nèi)掃

/4戌歿ri

過(guò)的面積才能相同，D錯(cuò)誤；由開普勒第三定律得黃=黃，故黃=,，C正確。］

3.（人教版必修2P43T2改編）若地球表面處的重力加速度為g,而物體在距

地面3R（R為地球半徑）處，由于地球作用而產(chǎn)生的加速度為g',則t-為（）

A.1B.1

"一

Ju-16

［答案］D

4.（人教版必修2P48T3改編）若取地球的第一宇宙速度為8km/s,某行星的

質(zhì)量是地球質(zhì)量的6倍，半徑是地球半徑的1.5倍，這顆行星的“第一宇宙速度”

約為（）

A.2km/sB.4km/s

C?16km/sD.32km/s

［答案］c

總結(jié)常考考點(diǎn)關(guān)鍵能力全突破破解高考疑難

考點(diǎn)1開普勒定律的應(yīng)用［依題組訓(xùn)練］

1.關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，下列說(shuō)法符合史實(shí)的是（）

A.開普勒在牛頓定律的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

B.開普勒在天文觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

C.開普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運(yùn)動(dòng)的原因

D.開普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律

B［開普勒在前人觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，與牛頓定

律無(wú)聯(lián)系，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；開普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，但沒

有找出行星按照這些規(guī)律運(yùn)動(dòng)的原因，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律,

選項(xiàng)D錯(cuò)誤。］

第3頁(yè)，共21頁(yè)

2.（多選）（2019?撫州七校聯(lián)考）2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“

第3頁(yè)，共21頁(yè)

水星東大距”“火星沖日”“月全食”等天象先后扮靚夜空，可謂精彩紛

呈。發(fā)生于北京時(shí)間7月28日凌晨的''月全食"，相對(duì)于2018年1月31日發(fā)

生的“月全食”來(lái)說(shuō)，7月的全食階段持續(xù)時(shí)間更長(zhǎng)。已知月球繞地球的運(yùn)動(dòng)軌

道可看成橢圓，地球始終在該橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上,則相對(duì)于1月的月球而言，

7月的月球（）

A.繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度更大

B.距離地球更近

C.繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度更小

D.距離地球更遠(yuǎn)

CD［地球繞著太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，月球又繞著地球公轉(zhuǎn)，發(fā)生月食的條件是地球處

于月球和太陽(yáng)中間，擋住了太陽(yáng)光，月全食持續(xù)的時(shí)間長(zhǎng)短和太陽(yáng)、地球、月

球三者的位置關(guān)系密切相關(guān)，7月這次月全食的時(shí)間比較長(zhǎng)是由于月球和地球的

距離比較遠(yuǎn)。根據(jù)開普勒第二定律可知此時(shí)月球繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度更小，故A、

B錯(cuò)誤，C、D正確。］

3.如圖為人造地球衛(wèi)星的軌道示意圖，LEO是近地軌道，MEO是中地球

軌道，GEO是地球同步軌道，GTO是地球同步轉(zhuǎn)移軌道。已知地球的半徑7?=

6400km,該圖中MEO衛(wèi)星的周期約為（圖中數(shù)據(jù)為衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地

面的高度）（）

A［根據(jù)題圖中MEO衛(wèi)星距離地面高度為4200km,可知軌道半徑約為

/?i=10600km,同步軌道上GEO衛(wèi)星距離地面高度為36000km,可知軌道半

徑約為及=42400km,為MEO衛(wèi)星軌道半徑的4倍，即&=4Ri。地球同步

衛(wèi)星的周期為T2=24h,運(yùn)用開普勒第三定律，翳=得解得乃=3h,選項(xiàng)A

第4頁(yè)，共21頁(yè)

正確。］

第4頁(yè)，共21頁(yè)

廠........困律總結(jié)...........一

應(yīng)用開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的三點(diǎn)注意

(1)行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)通常按圓軌道處理。

(2)開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。

(3)開普勒第三定律:=女中，”值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天

體左值不同。

,，總%萬(wàn)有引力定律的理解及應(yīng)用［講典例示法］

1.萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系

地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力b表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg,二是提供物體隨

地球自轉(zhuǎn)的向心力產(chǎn)向，如圖所示。

2

(1)在赤道上：=mg\+m(t)Ro

(2)在兩極上：G喘=ing2。

2.星體表面上的重力加速度

(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：

GM

mg=Cr-^r，得g=R。

⑵在地球上空距離地心「=/?+力處的重力加速度為g',mg'=￡^5,

,GM

=(R+h)2°

3.估算天體質(zhì)量和密度的兩種方法

(1)“g、R”法：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。

第5頁(yè)，共21頁(yè)

①由G爺=mg,得天體質(zhì)量”=警。

②天體密度,十=十二懸。

鏟&

（2）“八r”法：測(cè)出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，和周期T。

4兀23.47r2/

①由G^=nr^r,Z侍B聞=石聲。

②若已知天體的半徑R,則天體的密度

__M_M_3+

P=~V=4~；=G『R3。

［典例示法］（多選）（2019?湖南地質(zhì)中學(xué)三模）若宇航員在月球表面附近高h(yuǎn)

處以初速度。。水平拋出一個(gè)小球，測(cè)出小球的水平射程為心已知月球半徑為R,

引力常量為G。則下列說(shuō)法正確的是（）

hvi

A.月球表面的重力加速度g月=萬(wàn)

3hvi

B.月球的平均密度,=2nGI}R

___

c.月球的第一宇宙速度而

.hR2vi

D.月球的質(zhì)量m月=~^T

關(guān)鍵信息：“水平拋出一個(gè)小球，測(cè)出水平射程”，可獲得月球表面的重

力加速度。

［解析］設(shè)月球表面的重力加速度為g月，小球在月球表面做平拋運(yùn)

動(dòng)，根據(jù)平拋知識(shí)可知在水平方向上L=oof,在豎直方向上/i=；g月P,解得g月

2

2hvi,,皿Gm^m…,2hRviv.

=12,故A錯(cuò)伏；在月球表面一無(wú)5一=mg月,解付機(jī)月=—G^2,則月球密度

2hR2Vd

為2=產(chǎn)=詈匕=黑人，故B正確，D錯(cuò)誤;月球的第一宇宙速度。=4贏

第6頁(yè)，共21頁(yè)

-j-y［lhR,故C正確。

［答案］BC

「........易錯(cuò)警示j..........................................................................................

估算天體質(zhì)量和密度的“四點(diǎn)”注意

(1)利用萬(wàn)有引力提供天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力估算天體質(zhì)量時(shí)，估算的只是

中心天體的質(zhì)量，而非環(huán)繞天體的質(zhì)量。

(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r,只有在天體表面附近的衛(wèi)星，才有

r=R；計(jì)算天體密度時(shí)，V=+R3中的“R”只能是中心天體的半徑。

(3)天體質(zhì)量估算中常有隱含條件，如地球的自轉(zhuǎn)周期為24h,公轉(zhuǎn)周期為

365天等。

(4)注意黃金代換式GM=gR2的應(yīng)用。

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(多選)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r

的圓軌道上。設(shè)地球質(zhì)量為M,半徑為R。下列說(shuō)法正確的是()

A.地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為正二市

B.一顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小為罩場(chǎng)

C.兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為空

D.三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力大小為爺叫

BC［由萬(wàn)有引力定律知A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；因三顆衛(wèi)星連線構(gòu)成等邊三

角形，圓軌道半徑為r,由數(shù)學(xué)知識(shí)易知任意兩顆衛(wèi)星間距d=2rcos3(T=5r

第7頁(yè)，共21頁(yè)

,由萬(wàn)有引力定律知C項(xiàng)正確；因三顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小相等且互成

120°,故三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力為0,則D項(xiàng)錯(cuò)誤。］

2.若地球半徑為R,把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體?！膀札垺碧?hào)下潛深

度為d,“天宮一號(hào)”軌道距離地面高度為比“蛟龍”號(hào)所在處與“天宮一號(hào)”

所在處的重力加速度之比為()

R-d(R-d)2

AR+hB'(R+li)2

(R_Q(R+陽(yáng)2(R_J)(R+M

C.R3d-R2

C［設(shè)地球的密度為〃，則在地球表面，重力和地球的萬(wàn)有引力大小相等，

有：g=G^,由于地球的質(zhì)量為：M=p^nR3,所以重力加速度的表達(dá)式可寫成：

GMG/37rW4

g=-^T=—^—=^nGpRo根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引

力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬(wàn)有引力即為半徑等于住一公

的球體在其表面產(chǎn)生的萬(wàn)有引力，故“蛟龍”號(hào)的重力加速度g'=表6"便一

2'R—dMm

〃)，所以有~=一/。根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力6=溪需=次生“天宮一號(hào)”

SK("十九廣

訴去撲的番內(nèi)加海庭%GMaR2K_一(R-乃(R+/z)2從

所在處的重力加速度為J(R+協(xié)2，所々一(/?+m2，“一R3，故

C正確，A、B、D錯(cuò)誤。］

3.(2019?合肥一中等六校聯(lián)考)科學(xué)家計(jì)劃在2025年將首批宇航員送往火星

進(jìn)行考察。假設(shè)在火星兩極宇航員用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)得一質(zhì)量為m的物體的重力

為人，在火星赤道上宇航員用同一把彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)得該物體的重力為尸2。通過(guò)

天文觀測(cè)測(cè)得火星的自轉(zhuǎn)角速度為“，已知引力常量為G,將火星看成是質(zhì)量分

布均勻的球體，則火星的密度和半徑分別為()

3/WF1-F2

A，4nG(Fi-Fi),mco2

3①21132

ZTTG'mco1

第8頁(yè)，共21頁(yè)

3Fift>2.1+.2

C-irG(尸1一/2)'mco2

3“FLF2

D，47tG'to2

A［在兩極萬(wàn)有引力等于重力，G^r=F!；在赤道上萬(wàn)有引力提供重力及

向心力，Cr^—F2=m(t)2R,聯(lián)立解得R=F；IQF；由^^=用，且知=；7昧3〃，

3尸IS2

解得尸菽函故A正端］

考點(diǎn)3宇宙速度及衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析計(jì)算［講典例示法］

1.宇宙速度與運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系

(1)。發(fā)=7.9km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

(2)7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s,衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的軌跡為橢圓。

(3)11.2km/sW。發(fā)<16.7km/s,衛(wèi)星繞太陽(yáng)做橢圓運(yùn)動(dòng)。

(4)。發(fā)N16.7km/s,衛(wèi)星將掙脫太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)系以外的空間。

2.物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律

第9頁(yè)，共21頁(yè)

V2,CM1

m——

r

2粵2」越

Mmmo）二

rC-=

「百高

r越

規(guī)慢

zn域T二

律(r=%+h)

r

GM1

ma—^a-——a—

rr

mg=嗎加（地球表面）~^GM=gR；

R地

3?同步衛(wèi)星的六個(gè)“一定”

軌道平面一定軌道平面與赤道平面共面

周期一定與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即7=24h

角速度一定與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同

由G焉祭（R+用得同步衛(wèi)星

高度一定

離地面的高度九=-R=6R（恒量）

速率一定

繞行方向一定與地球自轉(zhuǎn)的方向一致

［典例示法］

如圖所示，。為放在赤道上相對(duì)地球靜止的物體，隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)

動(dòng)，力為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星（軌道半徑約等于地球半徑）,

。為地球的同步衛(wèi)星。下列關(guān)于。、b、c的說(shuō)法中正確的是（）

,0

0,

A.b衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)線速度大于7.9km/s

B.a、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小關(guān)系為戶以

C.a、b、。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期關(guān)系為Tc>Tb>Ta

第10頁(yè)，共21頁(yè)

D.在6c中，〃的速度大

思路點(diǎn)撥：解此題抓住以下兩個(gè)環(huán)節(jié)

(1)赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速度(周期)；

(2)赤道上物體與衛(wèi)星比較物理量時(shí)，要借助同步衛(wèi)星過(guò)渡。

［解析］)為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力定

律有G=i般,解得/寫代入數(shù)據(jù)得0=7.9km/s,故A錯(cuò)誤；地球

赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速度，所以3=g,根據(jù)a=rc02知，c

的向心加速度大于a的向心加速度，根據(jù)。=彳?得b的向心加速度大于c的向

心加速度，即恁＞%＞匹，故B錯(cuò)誤；衛(wèi)星c為同步衛(wèi)星，所以￡=或，根據(jù)T

曷得c的周期大于8的周期，即A=K＞乃，故C錯(cuò)誤；在從c中，

根據(jù)可知的速度比。的速度大，故D正確。

［答案］D

廠........律總結(jié)...............................

研究衛(wèi)星運(yùn)行熟悉“三星一物”

(1)同步衛(wèi)星的周期、軌道平面、高度、線速度的大小、角速度、繞行方向

均是固定不變的，常用于無(wú)線電通信，故又稱通信衛(wèi)星。

(2)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過(guò)南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)

現(xiàn)全球覆蓋。

(3)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的

軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9km/s。

(4)赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力和地面支持力

的合力充當(dāng)向心力(或者說(shuō)由萬(wàn)有引力的分力充當(dāng)向心力)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同于

衛(wèi)星，但它的周期、角速度與同步衛(wèi)星相等。

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

考向1宇宙速度的理解

第11頁(yè)，共21頁(yè)

1.（多選）據(jù)悉，我國(guó)的火星探測(cè)已引起各國(guó)的關(guān)注，我國(guó)將于近幾年進(jìn)行

第一次火星探測(cè)，向火星發(fā)射軌道探測(cè)器和火星巡視器。已知火星的質(zhì)量約為地

球質(zhì)量的"火星的半徑約為地球半徑的;。下列關(guān)于火星探測(cè)器的說(shuō)法中正確的

是（）

A.發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可

B.發(fā)射速度只有達(dá)到第三宇宙速度才可以

C.發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度

D.火星探測(cè)器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度約為地球的第一宇宙速度的手

CD［要將火星探測(cè)器發(fā)射到火星上去，必須脫離地球引力，即發(fā)射速度要

大于第二宇宙速度，火星探測(cè)器仍在太陽(yáng)系內(nèi)運(yùn)轉(zhuǎn)，因此從她球上發(fā)射時(shí)，發(fā)

射速度要小于第三宇宙速度，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，C正確；由第一宇宙速度的概念，

得6爺=燕得0］=、愕，故火星探測(cè)器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度與地球

的第一宇宙速度的比值約為\及=坐，選項(xiàng)D正確。］

卜考向2衛(wèi)星的運(yùn)行問題

2.（2019?重慶一中月考汝口圖所示，衛(wèi)星A、5繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用T、

。、八S分別表示衛(wèi)星的周期、加速度、速度、與地心連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的

面積。下列關(guān)系式正確的是（）

A.TA>TB

C?VA>VBD.SA=SB

A［根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得9詈=一［=典詈=，％,可知線速度

為周期為丁=\/符/，加速度為4=??,A的軌道半徑較大，則

VA<VB,

第12頁(yè)，共21頁(yè)

TA>TB,aA<aB,故A正確，B、C錯(cuò)誤；由開普勒第二定律可知繞一中心天

體運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星與中心天體連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，4、5不是同一軌

道，所以A、3與地心連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積不同，故D錯(cuò)誤。］

考向3同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星與赤道上的物體

3.（2019?北京高考）2019年5月17日，我國(guó)成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星,

該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）。該衛(wèi)星（）

A.入軌后可以位于北京正上方

B.入軌后的速度大于第一宇宙速度

C.發(fā)射速度大于第二宇宙速度

D.若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少

D［地球同步衛(wèi)星的軌道一定位于赤道的正上方，而北京位于北半

球，并不在赤道上，所以該衛(wèi)星入軌后不可能位于北京正上方，故A錯(cuò)誤；第

一宇宙速度為最大的運(yùn)行速度，即只有當(dāng)衛(wèi)星做近地飛行時(shí)才能近似達(dá)到的速

度，所以該衛(wèi)星入軌后的速度一定小于第一宇宙速度，故B錯(cuò)誤；成功發(fā)射人

造地球衛(wèi)星的發(fā)射速度應(yīng)大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，故C錯(cuò)誤；

衛(wèi)星需加速才可從低軌道運(yùn)動(dòng)至高軌道，故衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道所需能量較

發(fā)射到同步衛(wèi)星軌道的少，故D正確。］

考點(diǎn)4衛(wèi)星變軌問題［講典例示法］

1.衛(wèi)星發(fā)射及變軌過(guò)程概述

人造衛(wèi)星的發(fā)射過(guò)程要經(jīng)過(guò)多次變軌方可到達(dá)預(yù)定軌道，如圖所示。

（1）為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道I上。

（2）在4點(diǎn)點(diǎn)火加速，由于速度變大，萬(wàn)有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做

離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道n。

（3）在B點(diǎn)（遠(yuǎn)地點(diǎn)）再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道皿。

2.三個(gè)運(yùn)行物理量的大小比較

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⑴速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道i和ni上運(yùn)行時(shí)的速率分別為。i、s,在軌道n

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上過(guò)4點(diǎn)和5點(diǎn)速率分別為zu、在。在A點(diǎn)加速，則。4>磯，在5點(diǎn)加速,

則］V3>VB,又因Vl>V3,故有VA>V1>V3>VBO

(2)加速度：因?yàn)樵贏點(diǎn)，衛(wèi)星只受到萬(wàn)有引力作用，故不論從軌道I還是

軌道n上經(jīng)過(guò)4點(diǎn)，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過(guò)3點(diǎn)加速度也相同。

(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在I、II、III軌道上運(yùn)行的周期分別為乃、T2、T3,軌道

半徑分別為力、,2(半長(zhǎng)軸)、-3,由開普勒第三定律捻=女可知71<72<乃。

［典例示法］

2017年1月18日，世界首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子號(hào)”在圓滿完成4個(gè)

月的在軌測(cè)試任務(wù)后，正式交付用戶單位使用。如圖為“墨子號(hào)”變軌示意圖，

軌道4與軌道5相切于P點(diǎn)，軌道5與軌道C相切于。點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是

()

A.“墨子號(hào)”在軌道B上由P向。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中速率越來(lái)越大

B.“墨子號(hào)”在軌道C上經(jīng)過(guò)。點(diǎn)的速率大于在軌道A上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速

率

C.“墨子號(hào)”在軌道B上經(jīng)過(guò)P時(shí)的向心加速度大于在軌道A上經(jīng)過(guò)P

點(diǎn)時(shí)的向心加速度

D.“墨子號(hào)”在軌道B上經(jīng)過(guò)。點(diǎn)時(shí)受到的地球的引力小于經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)

受到的地球的引力

［解析］“墨子號(hào)”在軌道3上由尸向。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，逐漸遠(yuǎn)離地心，

速率越來(lái)越小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；“墨子號(hào)”在A、C軌道上運(yùn)行時(shí)，軌道半徑不

同，根據(jù)d詈=機(jī)手可得。=\浮，軌道半徑越大，線速度越小，選項(xiàng)B錯(cuò)

誤；“墨子號(hào)”在4、3兩軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，離地心的距離相等，受地球的引

力相等，所以加速度是相等的，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；“墨子號(hào)”在軌道5上經(jīng)過(guò)。點(diǎn)

比經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)離地心的距離要遠(yuǎn)些，受地球的引力要小些，選項(xiàng)D正確。

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［答案］D

1...............J5法技巧....

航天器變軌問題的“三點(diǎn)”注意

(1)航天器變軌時(shí)半徑的變化，根據(jù)萬(wàn)有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷;

穩(wěn)定在新圓軌道上的運(yùn)行速度變化由。=入岸判斷。

(2)同一航天器在一個(gè)確定的圓(橢圓)軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能守恒，在不同軌道

上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑越大，機(jī)械能越大。

(3)航天器經(jīng)過(guò)不同軌道的相交點(diǎn)時(shí)，加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌

道的速度。

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(2019?臨沂2月檢測(cè))2019年春節(jié)期間，中國(guó)科幻電影里程碑的作品《流

浪地球》熱播。影片中為了讓地球逃離太陽(yáng)系，人們?cè)诘厍蛏辖ㄔ焯卮蠊β拾l(fā)動(dòng)

機(jī)，使地球完成一系列變軌操作，其逃離過(guò)程如圖所示，地球在橢圓軌道I上運(yùn)

行到遠(yuǎn)日點(diǎn)3變軌，進(jìn)入圓形軌道在圓形軌道H上運(yùn)行到5點(diǎn)時(shí)再次加速

變軌，從而最終擺脫太陽(yáng)束縛。對(duì)于該過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是()

A.沿軌道I運(yùn)動(dòng)至s點(diǎn)時(shí)，需向前噴氣減速才能進(jìn)入軌道n

B.沿軌道I運(yùn)行的周期小于沿軌道II運(yùn)行的周期

C.沿軌道I運(yùn)行時(shí)，在A點(diǎn)的加速度小于在B點(diǎn)的加速度

D.在軌道I上由4點(diǎn)運(yùn)行到B點(diǎn)的過(guò)程，速度逐漸增大

B［沿軌道I運(yùn)動(dòng)至5點(diǎn)時(shí)，需向后噴氣加速才能進(jìn)入軌道H,故選項(xiàng)A

錯(cuò)誤；因在軌道I的半長(zhǎng)軸小于軌道n的運(yùn)動(dòng)半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，

Mm

沿軌道I運(yùn)行的周期小于沿軌道U運(yùn)行的周期，故選項(xiàng)B正確；由

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可得則沿軌道I運(yùn)行時(shí)，在4點(diǎn)的加速度大于在8點(diǎn)的加速度,

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，在軌道I上由4點(diǎn)運(yùn)行到B點(diǎn)的過(guò)

程，速度逐漸減小，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。］

2.（多選）如圖是“嫦娥三號(hào)”飛行軌道示意圖，在地月轉(zhuǎn)移段，若不計(jì)其

他星體的影響，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，下列說(shuō)法正確的是（）

發(fā)

射軌道I

及

入

軌軌道U

段

太

陽(yáng)卜面工作電、

帆

道

板

軌

修

展

道

正

開

修

正p/

軌道修正近月制動(dòng)

A.“嫦娥三號(hào)”飛行速度一定越來(lái)越小

B.“嫦娥三號(hào)”的動(dòng)能可能增大

C?“嫦娥三號(hào)”的動(dòng)能和引力勢(shì)能之和一定不變

D.“嫦娥三號(hào)”的動(dòng)能和引力勢(shì)能之和可能增大

AC［在地月轉(zhuǎn)移段“嫦娥三號(hào)”所受地球和月球的引力之和指向地球，關(guān)

閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，“嫦娥三號(hào)”向月球飛行，要克服引力做功，動(dòng)能一定減小，速

度一定減小，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤。關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，只有萬(wàn)有引力做功，“嫦

娥三號(hào)”的動(dòng)能和引力勢(shì)能之和一定不變，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。］

YANG.

HEXINSU

素養(yǎng)

科學(xué)思維一雙星模型和多星模型

1.雙星模型

⑴定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng),

如圖所示。

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⑵特點(diǎn)：

①各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力提供，即

Gmiim,Gmunz)

==

加1①fn,~^2tfiicoino

②兩顆星的周期及角速度都相同，

即71=Ti9o)\—0)1Q

③兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：n+r2=Lo

④兩顆星到圓心的距離ri、廠2與星體質(zhì)量成反比，即

m\n

mi~nQ

⑤雙星的運(yùn)動(dòng)周期丁=2々就詞。

4九2七3

⑥雙星的總質(zhì)量，〃1+，〃2=7后。

［示例1］雙星系統(tǒng)中兩個(gè)星球4、B的質(zhì)量都是帆，A、B相距L,它們正

圍繞兩者連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。實(shí)際觀測(cè)該系統(tǒng)的周期T要小于按照

力學(xué)理論計(jì)算出的周期理論值如。，且微=A(kl),于是有人猜測(cè)這可能是受到了

一顆未發(fā)現(xiàn)的星球。的影響，并認(rèn)為C位于雙星A、5的連線正中間，相對(duì)A、

B靜止，求：

(1)兩個(gè)星球4、5組成的雙星系統(tǒng)周期理論值To;

(2)星球C的質(zhì)量。

［解析］⑴兩星球的角速度相同，根據(jù)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力知：寫jnn而

=mncfA

可得：ri=n①

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兩星繞連線的中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則有:

Gmm、,L、

=mX—cDi

解得3=4^②

所以To="=27T\/j^-。③

a)i\j2Gtn

(2)由于。的存在，雙星的向心力由兩個(gè)力的合力提供，則

Gmm.Mm1.,小

一~j^2-+G2='力5乙?二,④

?

T=~=kTo⑤

(02

聯(lián)立③④⑤式解得M=Q二:?力

2gIL3(1-k2)m

［答案1⑴2、而⑵

2.多星模型

(1)定義：所研究星體的萬(wàn)有引力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除中央

星體外，各星體的角速度或周期相同。

(2)三星模型：

①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑

為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖甲所示)。

②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所示)。

甲乙丙丁

(3)四星模型：

①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正

方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丙所示)。②

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另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于

中心0,外圍三顆星繞。做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丁所示)。

［示例2］(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng),其中有一種三

星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊

長(zhǎng)為R,忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心0

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G,則)

Qm