（基本立體圖形）（解析版）-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試考前必刷題 （人教A版 2019必修二）

2020-2021高一下學(xué)期期末考試考前必刷題07

（基本立體圖形）

試卷滿分：150分考試時長：120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.

2.答卷前務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰.超出答題

區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.（2021?全國高一課時練習(xí)）下面四個幾何體中，是棱臺的是（）

【答案】C

【分析】

根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，觀察可得答案.

【詳解】

A項(xiàng)中的幾何體是棱柱.

B項(xiàng)中的幾何體是棱錐；

D項(xiàng)中的兒何體的棱AA,BB',CC,DD，沒有交于一點(diǎn)，則D項(xiàng)中的幾何體不是棱臺；

C項(xiàng)中的幾何體是由一個棱錐被一個平行于底面的平面截去一個棱錐剩余的部分，符合棱臺

的定義，是棱臺.

故選：c

2.（2021?湖南長沙市?雅禮中學(xué)高一月考）如圖，已知等腰三角形△O'AB',OA=AB'

是一個平面圖形的直觀圖，斜邊O'B'=2,則這個平面圖形的面積是（）

A.----B.1C.D.2V2

2

【答案】D

【分析】

利用斜二測畫法，由直觀圖作出原圖三角形，再利用三角形面積公式即可求解.

【詳解】

因?yàn)椤鱋'A'8'是等腰直角三角形，O'B'=2,所以O(shè)‘A=A'9=&，

所以原平面圖形為：

且0B=0R=2，OAVOB.0A=20'A'=2^2

所以原平面圖形的面枳是，x2x2夜=2血，

2

故選：D

3.（2020?陜西西安市第三中學(xué)高一月考）如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個圓錐的

軸截面對應(yīng)的等腰三角形的底角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】

由圓錐側(cè)面展開所得扇形的弧長與底面周長相等可得圓錐母線與底面半徑的數(shù)量關(guān)系，即可

求軸截面底角的大小.

【詳解】

若圓錐如下圖所示，則側(cè)面展開圖半圓的半徑R=R4=EB，底面半徑r=Q4=O5,

由題意知：,、2萬7?=2萬r，即R=2r，

2

13軸截面對應(yīng)等腰三角形的底角cosNPBA=-=-=

PBR2

回NW=60°,

故選：c

4.（2020?四川省廣元市八二一中學(xué)高一月考）某數(shù)學(xué)小組進(jìn)行"數(shù)學(xué)建模”社會實(shí)踐調(diào)查.他

們在調(diào)查過程中將一實(shí)際問題建立起數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)展示如下：四個形狀不同、內(nèi)空高度相

等、杯口半徑相等的圓口容器，如圖所示.盛滿液體后倒出一半，設(shè)剩余液體的高度從左到

右依次為4,h，h3,4.則它們的大小關(guān)系正確的是（）

【答案】A

【分析】

可根據(jù)幾何體的圖形特征，結(jié)合題目，選擇答案.

【詳解】

觀察圖形可知體積減少一半后剩余就的高度最高為力2，最低為兒.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2020?山東德州市?高一期末）一個正三棱錐的底面邊長是6,高為布，則它的斜高是

（）

A.2百B.3瓜C.3&D.3

【答案】D

【分析】

畫出正三棱錐A—58的圖像，得到底面正三角形的中心。到正三角形的8的距離，再

利用勾股定理求斜高即可.

【詳解】

正三棱錐A—BCD的底面邊長3C=8=03=6,

局AO=V6<

所以底面正三角形的中心。到正三角形的8的距離為?！?也x6x1=石，

23

故正三棱錐的斜高AH=yjAO2+OH2=76+3=3：

故選：D.

6.（2020?全國高一單元測試）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)棱最長的是（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.2B.75C.76D.20

【答案】C

【分析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解棱錐最長的棱長即可.

【詳解】

由三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示，

取A3的中點(diǎn)。，則OCLAB,

易知AB=OC=2,PC=1,

又PCJJ正面ABC,

所以PC_L3C,

從而最長棱為24和P3，

所以最長的棱長為：V22+l2+l2=76.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖求解幾何體的幾何量，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題.關(guān)鍵

在于根據(jù)三視圖還原出幾何體的形狀，畫出直觀圖，并分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

7.（2020?南陽市第四中學(xué)高一月考）給出下列四個命題：

①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；

②對角面是全等矩形的六面體一定是長方體；

③棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是正六棱錐；

④長方體一定是正四棱柱.

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】

利用底面為菱形的直四棱柱可判斷①的正誤；利用底面為等腰梯形的直四棱柱可判斷②的

正誤；利用正六棱錐的幾何特征可判斷③的正誤；取長、寬、高都不相等的長方體可判斷

④的正誤.

【詳解】

對于①，底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱滿足條件，但它不是正棱柱，①錯誤；

對于②，底面為等腰梯形的直四棱柱的對角面全等，但它不是長方體，②錯誤；

對于③，如下圖所示：

在正六棱錐P-ABCDEF中，六邊形ABCDEF為正六邊形，

設(shè)O為正六邊形的中心，則P。，平面ABCDEF,

OAu平面ABCDEF,則PO_L04,

由正六邊形的兒何性質(zhì)可知，△。鉆為等邊三角形，則=

PA=A/PO2+OA2>OA-③錯誤；

對于④，在長方體ABC?！?片a。中，若AB、A。、A%的長兩兩不相等,

則長方體—不是正四棱柱，④錯誤.

故選：A.

8.（2020?武漢市鋼城第四中學(xué)高一月考）小螞蟻的家住在長方體ABC。-A4G2的A處,

小螞蟻的奶奶家住在C處，三條棱長分別是朋=2,AB=3,AD=4,小螞蟻從A點(diǎn)出

發(fā)，沿長方體的表面到小螞蟻奶奶家G的最短距離是（）

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意知螞蟻所走的路線有三種情況，利用勾股定理能求出小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿長方

體的表面到小螞蟻奶奶家G的最短距離.

【詳解】

解：根據(jù)題意知:

螞蟻所走的路線有三種情況，如下圖所示①②③,

由勾股定理得：

圖①中，AC；=532+6、=375,

圖②中，22=相，

ACX=V7+2

圖③中，4G="2+5?=屈.

故小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿長方體的表面到小螞蟻奶奶家G的最短距離是標(biāo).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查最短距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考

查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、

函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.（2020?山東棗莊市?滕州市第一中學(xué)新校高一月考）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,母線長為2,

底面半徑為6，A,3為底面圓周上兩個動點(diǎn)，則下列說法正確的是

A.圓錐的高為1B.三角形PA6為等邊三角形

C.三角形EW面積的最大值為D.直線Q4與圓錐底面所成角的大小為B

【答案】AD

【分析】

根據(jù)圓錐的性質(zhì)判斷各選項(xiàng).

【詳解】

由題意圓錐的高為〃=J/2_R2=方_#）2=1,A正確；

△P48中是母線長，A3是底面圓的一條弦，與R4不一定相等，B錯；

當(dāng)△PA3是軸截面時，cosNPAB=昱,NR43=30°,則NAPB=120。，當(dāng)A8在底

2

面圓上運(yùn)動時，1/VI2sinZAPB=2sinZAPB<2,當(dāng)且僅當(dāng)N~B=9O°時取等

號.即aP鉆面積最大值為2.C錯；

設(shè)底面圓圓心為。，則NP4O為抬與底面所成的角，易知

cosNPAO=&ZPAO=--D正確.

26

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓錐的性質(zhì)，圓錐的軸截面是等腰三角形，腰即為圓錐的母線，底為底面直徑，軸

截面的高即為圓錐的高.

10.（2020?江蘇泰州市?興化一中高一期中）下列命題中正確的有

A.空間內(nèi)三點(diǎn)確定一個平面

B.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形

C.分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交，則交點(diǎn)只可能在兩個平面的交線上

D.一條直線與三角形的兩邊都相交，則這條直線必在三角形所在的平面內(nèi)

【答案】BC

【分析】

利用平面的定義，棱柱的定義，對選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】

對于A選項(xiàng)，要強(qiáng)調(diào)該三點(diǎn)不在同一直線上，故A錯誤；

對于B選項(xiàng)，山棱柱的定義可知，其側(cè)面一定是平行四邊形，故B正確；

對于C選項(xiàng)，可用反證法證明，故C正確；

對于D選項(xiàng)，要強(qiáng)調(diào)該直線不經(jīng)過給定兩邊的交點(diǎn)，故D錯誤.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面的基本性質(zhì)及其推論的應(yīng)用，考查棱柱的定義，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2020?全國高一課時練習(xí)）長方體A3CD-A4GA的長、寬、高分別為3,2,1,

則（）

A.長方體的表面積為20

B.長方體的體積為6

C.沿長方體的表面從A到G的最短距離為3亞

D.沿長方體的表面從A到G的最短距離為26

【答案】BC

【分析】

由題意，可利用柱體體積公式和多面體表面積公式進(jìn)行計(jì)算，沿表面最短距離可將臨近兩個

面?zhèn)让嬲归_圖去計(jì)算，即可求解正確答案.

【詳解】

長方體的表面積為2x（3x2+3xl+2xl）=22,A錯誤.長方體的體積為3x2xl=6,8正

確.如圖（1）所示，長方體ABC?！?，AB=3,BC=2,84=1.求表面上最

短（長）距離可把幾何體展開成平面圖形，如圖（2）所示，將側(cè)面AB4A和側(cè)面BCG與

展開,

則有AC,=V52+l2=V26，即經(jīng)過側(cè)面4B4A和側(cè)面BCG4時的最短距離是J幅；

如圖（3）所示，將側(cè)面ABBA和底面4月GA展開，則有AR=53?+32=30，即經(jīng)

過側(cè)面435A和底面A4GA時的最短距離是3亞；如圖（4）所示，將側(cè)面AORA和

底面ABiGA展開,

則有AG=V42+22=2A/5.即經(jīng)過側(cè)面AOD4和底面4與GA時的最短距離是2右.

因?yàn)?五＜2右＜J記，所以沿長方體表面由八到a的最短距離是3近，C正確，。不正

確.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題考查長方體體積公式、表面積公式和沿表面的最短距離，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)

題.

12.（2020?瓦房店市高級中學(xué)高一期末）如圖，透明塑料制成的長方體容器

A8CO-A4G2內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊A8于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜

度的不同，有下面幾個結(jié)論，其中正確的命題有（）

A.沒有水的部分始終呈棱柱形

B.水面EFG”所在四邊形的面積為定值

C.隨著容器傾斜度的不同，4G始終與水面所在平面平行

D.當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時，為定值

【答案】AD

【分析】

想象容器傾斜過程中，水面形狀（注意始終在桌面上），可得結(jié)論.

【詳解】

由于AB始終在桌面匕因此傾斜過程中，沒有水的部分，是以左右兩側(cè)的面為底面的棱柱，

A正確；

圖（2）中水面面積比（1）中水面面積大，B錯；

圖（3）中AG與水面就不平行，C錯；

圖（3）中，水體積不變，因此△AE”面積不變，從而AE-A/7為定值，D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間線面的位置關(guān)系，考查棱柱的概念，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.（2020?浙江高一期末）如果用半徑為R=20的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這

個圓錐筒的高是.

【答案】3

【分析】

先求半圓的弧長，就是圓錐的底面周長，求出底面圓的半徑，然后利用勾股定理求出圓錐的

高.

【詳解】

半徑為R=2抬的半圓弧長為2岳，

圓錐的底面圓的周長為26萬,

圓錐的底面半徑為：V3所以圓錐的高：,（2可_（可=3,

故答案為：3.

14.（2020?河南）若正三棱錐A-3QD的側(cè)棱長為8,底面邊長為4,E,尸分別為AC,

上的動點(diǎn)（如圖），則截面△BEE的周長最小值為.

【答案】11

【分析】

將正三棱錐A-BCD的側(cè)面沿A8剪開，然后展開39即為所求，然后利用相似，分別求得

BE,EF,EB唧可.

【詳解】

正三棱錐BCD的側(cè)面展開圖如圖，

由平面幾何知識可得BB'HCD,

所以NBEC=ZECD=ZACB，

所以8E=BC=4,ABCES^ABC，

所以空二空即工4

BCAB48

所以CE=2,

所以AE=6,

pEFAE3

CD~AC~1

解得￡F=3.

所以截面4BEF的周長最小值為：BB'=BE+EF+EB'=4+3+4=11.

故答案為：11

15.（2020?浙江杭州市?高一期末）正方體ABC。-44G9中，棱長為2,E是線段CR上

的動點(diǎn)，貝！J|AE|+1OE|的最小值是

【答案】V6+V2

【分析】

在正方體中，由圖形可知|AE|N|AP|,|DE以DPI,且當(dāng)E,尸重合時,等號同時成立，即

可求解.

【詳解】

如圖，

取CR的中點(diǎn)為P,

連接AP，DP

則由AC=ADt,DC=DD［知,

AP1CD],DPLCD、,

所以|AE閆AP|,|O七以。P|,

所以|AE|+|OE閆API+IDPI,

在正方體中，棱長為2,

所以AP=xx2=,DP=xx2=sp2

故當(dāng)E在線段C0上運(yùn)動，E與尸重合時，|4臼+|?！陓有最小值6+逝

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)圖象可知，當(dāng)E在線段上運(yùn)動時,垂線段最短，可得|4E閆AP|,

同理，當(dāng)E在線段CR上運(yùn)動時，|￡>￡以。尸|,且當(dāng)E與尸重合時等號同時成立.

16.（2020?浙江杭州市?高一期末）如圖，圓錐的底面直徑AB=2,母線長3=3,點(diǎn)C在

母線VB上，且VC=1,有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)C,則這只螞蟻爬行的最

短距離是.

【答案】"

【分析】

螞蟻爬行距離最短，即將圓錐側(cè)面展開后A到C的直線距離，根據(jù)已知條件、余弦定理可

求出最短距離.

【詳解】

圓錐的側(cè)面展開圖為半徑為3的扇形，弧A5氏為1x2〃=〃，

2

B

TTIT

0ZAVB=-,則NAVC=2,

33

由余弦定理可知4。2=1<42+依2-2必?依-05/41/。=9+1-2'3'1'‘=7,

2

AC=用.

故答案為：幣.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.(2020?全國高一單元測試)畫出圖中水平放置的四邊形ABCO的直觀圖.

【答案】圖見解析.

【分析】

在四邊形ABCD中，過A作出x軸的垂直確定坐標(biāo)，進(jìn)而利用斜二測畫法畫出直觀圖.

【詳解】

由斜二測畫法：縱向減半，橫向不變；即可知A、C在對應(yīng)點(diǎn)A'(3,l),C'(0,L),而心。對

2

應(yīng)點(diǎn)B',D'位置不變，如下圖示:

y

2

18.(2020?福建漳州市?高一期末)已知球。的半徑為5.

(1)求球。的表面積；

(2)若球。有兩個半徑分別為3和4的平行截面，求這兩個截面之間的距離.

【答案】(1)100%;(2)1或7.

【分析】

(1)利用球的表面積公式計(jì)算即可；

(2)先求球心到兩個截面的距離，再計(jì)算即可.

【詳解】

解：(1)因?yàn)榍颉５陌霃綖镽=5,所以球。的表面積為5=4萬穴2=100萬.

(2)設(shè)兩個半徑分別為彳=3和2=4的平行截面的圓心分別為。?和。2，

所以10al=152—32=加=4,

所以|OQ|=JFM=?=3，

所以|QQ|=|。0+|。。2|=3+4=7,

或四。2卜|。。卜|。。2|=4-3=1,

所以兩個截面之間的距離為1或7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了球的表面積和截面問題，屬于基礎(chǔ)題.

19.(2020?河北滄州市一中高一月考)如圖所示，在正三棱柱ABC-4AG中，AB=3,

4A=4,"為A4的中點(diǎn)，尸是8C上的一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CG到M的最

短路線為月.設(shè)這條最短路線與CG的交點(diǎn)為N,求：

（1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線的長；

（2）PC和NC的長.

【答案】（1）797;（2）PC的長為2,NC的長為

【分析】

（1）由展開圖為矩形，用勾股定理求出對角線長；

（2）在側(cè)面展開圖中三角形M4P是直角三角形，可以求出線段AP的長度，進(jìn)而可以求

PC的長度，再由相似比可以求出CN的長度.

【詳解】

（1）由題意，該三棱柱的側(cè)面展開圖是寬為4,長為3x3=9的矩形，

所以對角線的長為"+92=質(zhì)；

（2）將該三棱柱的側(cè)面沿棱8片展開，如圖所示.

設(shè)PC的長為x，則MP-=MA2+(AC+x)2.

因?yàn)?聞，M4=2，AC=3,

所以x=2（負(fù)值舍去），即尸C的長為2.

又因?yàn)镹C7/AM,

一，PCNC2NC

所以——=----即nn—----,

PAAM52

4

所以NC=—.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查求側(cè)面展開圖的對角線長，以及三棱柱中的線段長，熟記三棱柱的結(jié)構(gòu)特征即可,

屬于?？碱}型.

20.（2020?湖北武漢市?華中師大一附中高一月考）已知一個圓錐的底面半徑為2,母線長

為4.

（1）求圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的圓心角；

（2）若圓錐中內(nèi)接一個高為由的圓柱.求圓柱的表面積.

【答案】⑴萬⑵（2+26）乃

【分析】

（1）由圓錐側(cè)面展開圖的定義計(jì)算；

（2）由圓錐截面性質(zhì)，在軸截面中得到相似三角形，由比例性質(zhì)可得圓柱的底面半徑后可

得圓柱表面積.

【詳解】

27尸4乃

（1）a—-----=——=兀

I4

（2）如圖所示，設(shè)圓錐的底面半徑為R,圓柱的底面半徑為人表面積為S,

則R=CC=2,4C=4,AO=j42-22=2#）

易知

,AEEBV3r,

??=，—尸r=1

AOOC2732

S底=2兀戶—2肛S側(cè)=271r—25/^r

S=S底+S側(cè)=2萬+2也乃=（2+26）乃

A

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面展開圖，考查圓柱表面積，考查圓錐的內(nèi)接圓柱性質(zhì).解題關(guān)

鍵是掌握圓錐平行于底面的截面的性質(zhì).

21.（2020?全國高一課時練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-4BG中，E,尸分別是A4，4G

的中點(diǎn)，連接BE,￡F,FT,試判斷幾何體AEF-ABC是什么幾何體，并指出它的底面

與側(cè)面.

【答案】幾何體AEr—ABC是三