浙江省寧波市第七中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期期中考試八年級(jí)數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省寧波七中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、仔細(xì)選一選（本題有10小題，每題3分，共30分）1．（3分）如所示圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．2．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線段，首尾相接不能組成三角形的是A．3，4，5 B．，1，2 C．3，6，3 D．1.5，2.5，33．（3分）若，則下列不等式中不正確的是A． B． C． D．4．（3分）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是，則它的頂角的度數(shù)是A． B． C．或 D．或5．（3分）對(duì)于命題“如果，那么”，能說(shuō)明它是假命題的反例是A． B．， C．， D．，6．（3分）滿足下列條件的不是直角三角形的是A．，， B． C． D．7．（3分）將一副直角三角板和如圖放置（其中，，使點(diǎn)落在邊上，且，則的度數(shù)為A． B． C． D．8．（3分）如圖，在△中，平分，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡作射線，交于點(diǎn)Ⅰ，連接，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．點(diǎn)Ⅰ到邊、的距離相等 B．平分 C． D．點(diǎn)Ⅰ到、、三點(diǎn)的距離相等9．（3分）如圖，我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形的較短直角邊為，較長(zhǎng)直角邊為，若，大正方形的面積為34，則小正方形的面積為A．1 B．2 C．4 D．810．（3分）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊向上作等邊，在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為A．6 B． C． D．3二.認(rèn)真填一填（本題有8小題，每題3分，共24分）11．（3分）根據(jù)“的2倍與的差是負(fù)數(shù)”列出不等式為．12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于第象限．13．（3分）邊長(zhǎng)3的等邊三角形面積為．14．（3分）命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是．15．（3分）如圖，是的角平分線，，垂足為，若，，則的度數(shù)為．16．（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，則的長(zhǎng)為．17．（3分）如圖，的中線，相交于點(diǎn)，，垂足為．若，，則長(zhǎng)為．18．（3分）如圖，在中，，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．三.全面答一答（共6題；第19～21每題6分，第22題8分，第23～24題10分，共46分）19．（6分）計(jì)算：（1）解不等式；（2）解不等式組．20．（6分）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，格點(diǎn)如圖所示，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格作圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡．（1）在圖1中，作出的高，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為；（2）在圖2中，在邊上找到點(diǎn)，使得；（3）在圖3中，作，使和面積相等但不全等．21．（6分）如圖，給出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．（1）寫(xiě)出各頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求的面積．22．（8分）象山有著“中國(guó)柑橘之鄉(xiāng)”的美譽(yù)，經(jīng)營(yíng)戶老張近期主要銷售“紅美人”和“象山青”兩個(gè)柑橘品種．（1）上周的“紅美人”和“象山青”的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示，老張用3000元批發(fā)了“紅美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能賺多少錢？紅美人象山青進(jìn)價(jià)（元斤）205售價(jià)（元斤）3510（2）本周保持進(jìn)價(jià)不變，老張仍用3000元批發(fā)了“紅美人”和“象山青”共300斤，但在運(yùn)輸過(guò)程中“紅美人”損壞了，而“象山青”沒(méi)有損壞仍按原價(jià)銷售．要想本周售完后的利潤(rùn)不低于上周的利潤(rùn)，“紅美人”的售價(jià)最低定為多少？（精確到0.1元）23．（10分）在和在中，．（1）如圖1，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，．①求證：為等腰三角形．②求的面積．（2）如圖2，若，，求長(zhǎng)．24．（10分）如圖1，在中，，，分別以、為邊向外作與，且，，，連接交于點(diǎn)．（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，如圖2，若，，原問(wèn)題中的其他條件不變，（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（3）如圖3，若為等邊三角形，為等腰三角形且，，，，當(dāng)和滿足什么關(guān)系時(shí)，和的面積相等．（直接寫(xiě)出結(jié)果）四.附加題（本題有2個(gè)小題，25題4分，第26題6分，共10分）25．（4分）如圖，內(nèi)角平分線交邊于點(diǎn)，交外角的平分線于，連結(jié)，，若為等腰三角形，則的度數(shù)為．26．（6分）已知：如圖，中，在上，在上，過(guò)作于，，，，求的長(zhǎng)度．

2023-2024學(xué)年浙江省寧波七中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、仔細(xì)選一選（本題有10小題，每題3分，共30分）1．（3分）如所示圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：由題意可知，選項(xiàng)、、的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）下列長(zhǎng)度的三條線段，首尾相接不能組成三角形的是A．3，4，5 B．，1，2 C．3，6，3 D．1.5，2.5，3【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可．【解答】解：、，能構(gòu)成三角形，不符合題意；、，，，能構(gòu)成三角形，不符合題意；、，不能構(gòu)成三角形，符合題意；、，能構(gòu)成三角形，不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．3．（3分）若，則下列不等式中不正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【解答】解：．，，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，故本選項(xiàng)不符合題意；．，，，故本選項(xiàng)符合題意；．，，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)，能正確根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵，注意：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變．4．（3分）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是，則它的頂角的度數(shù)是A． B． C．或 D．或【分析】首先要進(jìn)行分析題意，“等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角”沒(méi)明確是頂角還是底角，所以要分兩種情況進(jìn)行討論．【解答】解：本題可分兩種情況：①當(dāng)角為底角時(shí)，頂角為；②角為等腰三角形的頂角；因此這個(gè)等腰三角形的頂角為或．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（3分）對(duì)于命題“如果，那么”，能說(shuō)明它是假命題的反例是A． B．， C．， D．，【分析】能說(shuō)明是假命題的反例就是能滿足已知條件，但不滿足結(jié)論的例子．【解答】解：、滿足條件，不滿足結(jié)論，故選項(xiàng)正確，符合題意；、不滿足條件，也不滿足結(jié)論，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；、滿足條件，也滿足結(jié)論，故項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；、不滿足條件，也不滿足結(jié)論，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷，正確記憶能說(shuō)明它是假命題的反例的含義是解決本題的關(guān)鍵．6．（3分）滿足下列條件的不是直角三角形的是A．，， B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可判定、，由三角形內(nèi)角和可判定、，可得出答案．【解答】解：、當(dāng)，，時(shí)，滿足，所以為直角三角形；、當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，滿足，所以為直角三角形；、當(dāng)時(shí)，且，所以，所以為直角三角形；、當(dāng)時(shí)，可設(shè)，，，由三角形內(nèi)角和定理可得，解得，所以，，，所以為銳角三角形，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，主要有①勾股定理的逆定理，②有一個(gè)角為直角的三角形．7．（3分）將一副直角三角板和如圖放置（其中，，使點(diǎn)落在邊上，且，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出，然后根據(jù)計(jì)算即可得解．【解答】解：，，，，，，．，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在△中，平分，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡作射線，交于點(diǎn)Ⅰ，連接，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．點(diǎn)Ⅰ到邊、的距離相等 B．平分 C． D．點(diǎn)Ⅰ到、、三點(diǎn)的距離相等【分析】設(shè)點(diǎn)到、、的距離分別為、、，由尺規(guī)作圖的痕跡可知，平分，則點(diǎn)到邊、的距離相等，可判斷正確；由平分，點(diǎn)在上，得點(diǎn)點(diǎn)、的距離相等，則，而，所以，則平分，可判斷正確；由，可判斷正確；由點(diǎn)是△的內(nèi)心，可知點(diǎn)到、、的距離相等，而不是點(diǎn)到、、三點(diǎn)的距離相等，可判斷錯(cuò)誤，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：設(shè)點(diǎn)到、、的距離分別為、、，由尺規(guī)作圖的痕跡可知，平分，點(diǎn)在上，點(diǎn)到邊、的距離相等，故正確；平分，點(diǎn)在上，點(diǎn)點(diǎn)、的距離相等，，，，點(diǎn)到、的距離相等，點(diǎn)在的平分線上，平分，故正確；，，，，故正確；點(diǎn)是△三條角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)是△的內(nèi)心，點(diǎn)到、、的距離相等，而不是點(diǎn)到、、三點(diǎn)的距離相等，故錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)心等知識(shí)，證明點(diǎn)到、的距離相等是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形的較短直角邊為，較長(zhǎng)直角邊為，若，大正方形的面積為34，則小正方形的面積為A．1 B．2 C．4 D．8【分析】根據(jù)大正方形的面積和勾股定理推出，然后結(jié)合完全平方公式的變形得出，最后由小正方形的面積為，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖所示，由題意，，，大正方形的面積為34，，，，，，，小正方形的面積為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理，熟練運(yùn)用完全平方公式的變形是解題關(guān)鍵．10．（3分）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊向上作等邊，在點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為A．6 B． C． D．3【分析】取的中點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，，點(diǎn)在處時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合．則點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)等于，進(jìn)而可求出點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，，，和是等邊三角形，，，，，，，，，又點(diǎn)在處時(shí)，，點(diǎn)在處時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及和運(yùn)動(dòng)軌跡有關(guān)的知識(shí)．解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．二.認(rèn)真填一填（本題有8小題，每題3分，共24分）11．（3分）根據(jù)“的2倍與的差是負(fù)數(shù)”列出不等式為．【分析】首先表示“的2倍與的差”，再表示“是負(fù)數(shù)”可得不等式．【解答】解：由題意得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式，關(guān)鍵是抓住關(guān)鍵詞，選準(zhǔn)不等號(hào)．12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于第二象限．【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得到答案．【解答】解：根據(jù)第二象限為可知，點(diǎn)位于第二象限，故答案為：二．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，掌握各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是關(guān)鍵．13．（3分）邊長(zhǎng)3的等邊三角形面積為．【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，利用等邊三角形的性質(zhì)可得，，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：如圖：是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，是等邊三角形，，，，，的面積，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．14．（3分）命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是兩個(gè)角相等三角形是等腰三角形．【分析】先找到原命題的題設(shè)和結(jié)論，再將題設(shè)和結(jié)論互換，即可而得到原命題的逆命題．【解答】解：因?yàn)樵}的題設(shè)是：“一個(gè)三角形是等腰三角形”，結(jié)論是“這個(gè)三角形兩底角相等”，所以命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是“兩個(gè)角相等三角形是等腰三角形”．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)逆命題的概念來(lái)回答：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的逆命題．15．（3分）如圖，是的角平分線，，垂足為，若，，則的度數(shù)為．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，利用三角形全等，求出，再利用外角求出答案．【解答】解：，，，，，是的角平分線，，在與中，，，在與中，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角平分線、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出相應(yīng)各個(gè)角的度數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，于點(diǎn)，連結(jié)，則的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)等邊三角形的判定定理得出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：是等邊三角形，，，、分別是、的中點(diǎn)，，是等邊三角形，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能求出是解此題的關(guān)鍵．17．（3分）如圖，的中線，相交于點(diǎn)，，垂足為．若，，則長(zhǎng)為．【分析】連接，由三角形的中線與面積的關(guān)系可得，然后可得，則有，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【解答】解：連接，如圖所示：、是的中線，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的中線與面積的關(guān)系，熟練掌握三角形的中線與面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（3分）如圖，在中，，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，分別為和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，此時(shí)有最小值，即的長(zhǎng)度，利用勾股定理求得、，即可求得，然后利用三角形面積公式求得的值，即有最小值．【解答】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，此時(shí)有最小值，即的長(zhǎng)度，的垂直平分線交于點(diǎn)，，設(shè)，則，在中，，，解得，，，，，，故答案為：．方法二：解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，此時(shí)有最小值，即的長(zhǎng)度，的垂直平分線交于點(diǎn)，，設(shè)，則，在中，，，解得，，，，，，，，即，，即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱問(wèn)題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是找出滿足有最小值時(shí)點(diǎn)和的位置．三.全面答一答（共6題；第19～21每題6分，第22題8分，第23～24題10分，共46分）19．（6分）計(jì)算：（1）解不等式；（2）解不等式組．【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式的基本步驟求解即可；（2）分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：（1），去括號(hào)，得．移項(xiàng)，得．合并同類項(xiàng)，得．系數(shù)化為1，得．（2），解不等式①得；解不等式②得．所以不等式組的解集為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式組，能根據(jù)求不等式組解集的規(guī)律求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．20．（6分）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，格點(diǎn)如圖所示，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格作圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡．（1）在圖1中，作出的高，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為3.2；（2）在圖2中，在邊上找到點(diǎn)，使得；（3）在圖3中，作，使和面積相等但不全等．【分析】（1）取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，線段即為所求，再由三角形面積求出的長(zhǎng)即可；（2）以為直角邊作一個(gè)等腰直角三角形，即可解決問(wèn)題；（3）根據(jù)等底同高的三角形面積相等，即可作出．【解答】解：（1）如圖1，取格點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，線段即為所求，，，，，解得：，故答案為：3.2；（2）如圖2，以為直角邊作一個(gè)等腰直角三角形，交于點(diǎn)，則，即為所求；（3）如圖3，即為所求（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了作圖的應(yīng)用與設(shè)計(jì)、勾股定理、三角形面積公式、網(wǎng)格線的特點(diǎn)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形面積是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．21．（6分）如圖，給出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．（1）寫(xiě)出各頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求的面積．【分析】（1）根據(jù)，，的位置寫(xiě)出坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)，，坐標(biāo)，用割補(bǔ)法求面積即可．【解答】解：（1），，；（2）過(guò)，，作矩形，如圖所示：由圖可知，．的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分割法求三角形面積．22．（8分）象山有著“中國(guó)柑橘之鄉(xiāng)”的美譽(yù)，經(jīng)營(yíng)戶老張近期主要銷售“紅美人”和“象山青”兩個(gè)柑橘品種．（1）上周的“紅美人”和“象山青”的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示，老張用3000元批發(fā)了“紅美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能賺多少錢？紅美人象山青進(jìn)價(jià)（元斤）205售價(jià)（元斤）3510（2）本周保持進(jìn)價(jià)不變，老張仍用3000元批發(fā)了“紅美人”和“象山青”共300斤，但在運(yùn)輸過(guò)程中“紅美人”損壞了，而“象山青”沒(méi)有損壞仍按原價(jià)銷售．要想本周售完后的利潤(rùn)不低于上周的利潤(rùn)，“紅美人”的售價(jià)最低定為多少？（精確到0.1元）【分析】（1）設(shè)上周購(gòu)進(jìn)“紅美人”斤，則利潤(rùn)為元，根據(jù)用3000元批發(fā)了“紅美人”和“象山青”共300斤得：，解出的值可得答案；（2）設(shè)“紅美人”的售價(jià)為元斤，根據(jù)本周售完后的利潤(rùn)不低于上周的利潤(rùn)得：，解出的范圍，即可得到答案．【解答】解：（1）設(shè)上周購(gòu)進(jìn)“紅美人”斤，則購(gòu)進(jìn)“象山青”斤，利潤(rùn)為元，根據(jù)題意得：，解得，，上周售完后一共能賺2500元；（2）設(shè)“紅美人”的售價(jià)為元斤，根據(jù)題意得：，解得，“紅美人”的售價(jià)最低定為36.7元斤，本周售完后的利潤(rùn)不低于上周的利潤(rùn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程和不等式解決問(wèn)題．23．（10分）在和在中，．（1）如圖1，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，．①求證：為等腰三角形．②求的面積．（2）如圖2，若，，求長(zhǎng)．【分析】（1）①由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，，因此，即可證明為等腰三角形．②過(guò)作于，由等腰三角形的性質(zhì)求出，由勾股定理求出，由三角形面積公式即可求出的面積．（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到的長(zhǎng)，由銳角的正弦求出，于是得到，即可求出．【解答】（1）①證明：，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，，為等腰三角形．②解：如圖過(guò)作于，由①知，，，于，，，的面積．（2），，是等腰直角三角形，，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，直角三角形斜邊的中線，等腰三角形的判定，解直角三角形，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，由銳角的正弦求出．24．（10分）如圖1，在中，，，分別以、為邊向外作與，且，，，連接交于點(diǎn)．（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，如圖2，若，，原問(wèn)題中的其他條件不變，（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（3）如圖3，若為等邊三角形，為等腰三角形且，，，，當(dāng)和滿足什么關(guān)系時(shí)，和的面積相等．（直接寫(xiě)出結(jié)果）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由等腰直角三角形的性質(zhì)得，，，，則，再證，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)得，是等邊三角形，再證，得，進(jìn)而得是等邊三角形，則，，然后證，即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證，再證，得，即