2024屆河南省頂級名校聯(lián)盟高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省頂級名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合中恰有兩個元素，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合中恰有兩個元素，得，解得．故選：B．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標為，所以位于第四象限.故選：D.3.里氏震級（M）是表示地震規(guī)模大小的標度，它是由觀測點處地震儀所記錄到的地震波最大振幅（A0）的常用對數(shù)演算而來的，其計算公式為.2023年8月6日2時33分，29分鐘后又發(fā)生3.0級地震，用A5.5和A3.0分別表示震級為5.5和3.0的地震波最大振幅，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.25 B.31.6 C.250 D.316〖答案〗D〖解析〗由題意得，，，從而，，因此．故選：D．4.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，因為函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則，，解得，，則，解得．故選：B．5.某班男生人數(shù)是女生人數(shù)的兩倍，某次數(shù)學(xué)考試中男生成績（單位：分）的平均數(shù)和方差分別為120和20，女生成績的平均數(shù)和方差分別為123和17，則全班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的方差為（）A.21 B.19 C.18 D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)該班有女生m人，則全班有3m人，則全班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)，全班學(xué)生數(shù)學(xué)成績方差．故選：A．6.玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)．一小朋友在玩四棱柱形積木（四個側(cè)面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側(cè)棱用同一種顏色，且在積木的6個面中，除側(cè)棱的顏色相同外，則染法總數(shù)為（）A.216 B.360 C.720 D.1080〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，如圖：分3步進行分析：①要求側(cè)棱用同一種顏色，則側(cè)棱有5種選色的方法，②對于上底，有4種顏色可選，則有，③對于下底，每條邊與上底和側(cè)棱的顏色不同，有種選法，則共有種選法．故選：D．7.已知是正整數(shù)，函數(shù)在內(nèi)恰好有4個零點，其導(dǎo)函數(shù)為，則的最大值為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因為在內(nèi)恰好有4個零點，所以，即，所以，又，所以，所以，，所以，其中．故選：B.8.已知過點的直線l與拋物線交于A，B兩點，且，點Q滿足，點，則的最小值為（）A. B.2 C. D.1〖答案〗C〖解析〗易知直線l的斜率存在且不為零，不妨設(shè)直線l的方程為，Ax1聯(lián)立，消去x并整理得，因為由韋達定理得，，①不妨設(shè)，因為，所以，②因為，所以，③聯(lián)立②③可得，整理得到即④又，⑤聯(lián)立④⑤，可得，所以的最小值即為點到直線的距離，則最小距離，當最小時，，解得，，經(jīng)檢驗，其滿足，所以的最小值為．故選：C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.當時，取得最大值〖答案〗BCD〖解析〗由題意，，即，，且，A項，，錯誤；B項，，正確；C項，，正確；D項，由已知可得，且在時加完所有正項，取得最大值，正確．故選：BCD．10.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，且，直線與橢圓的另一個交點為B，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.橢圓的長軸長是短軸長的倍 B.線段的長度為C.橢圓的離心率為 D.的周長為〖答案〗BC〖解析〗由，可設(shè)，又，可得，解得，即，將的坐標代入橢圓方程，可得，化為，即，故A錯誤；，故B正確;橢圓的離心率，故C正確;的周長為，故D錯誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，則（）A.的極大值為B.存在無數(shù)個實數(shù)，使關(guān)于的方程有且只有兩個實根C.的圖象上有且僅有兩點到直線的距離為D.若關(guān)于的不等式的解集內(nèi)存在正整數(shù)，則存在最大值，且最大值為〖答案〗AD〖解析〗由題意知：的定義域為，，當時，；當時，；在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又，；當時，；當時，；可作出圖象如下圖所示，對于A，由單調(diào)性可知：的極大值為，A正確；對于B，由圖象可知：當且僅當或時，方程有且只有兩個實根，B錯誤；對于C，，恒成立，結(jié)合圖象可知：圖象上有且僅有一個上方的點到直線的距離為，C錯誤；對于D，的解即為的圖象在直線上方時，所對應(yīng)的范圍，要使關(guān)于的不等式的解集內(nèi)存在正整數(shù)，則直線過點時，斜率取得最大值，，D正確.故選：AD.12.已知正四棱錐的棱長均為2，M，N分別為棱，的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.動點Q的軌跡是半徑為的球面B.點P在動點Q的軌跡外部C.動點Q的軌跡被平面截得的是半徑為的圓D.動點Q的軌跡與平面有交點〖答案〗BCD〖解析〗對于A，設(shè)點是底面正方形的中心，連接，則平面，取中點，連接，顯然三點共線，由中位線性質(zhì)可得，正方形中，，，連接、，則，所以，在中，，可得.∵，點Q在以為直徑的球面上，因此動點Q的軌跡是半徑為的球面，故A錯誤；，則，所以點在以為球心的球面外，故B正確；對于C，因為點到平面的距離為，點在平面，所以球心到平面的距離為，故球面與平面相交，且動點Q的軌跡被平面截得的是半徑為的圓，故C正確；對于D，若為中點，連接，顯然，而，由于為中點，故，所以，即為平行四邊形，所以，不在面內(nèi)，面，則面，所以到面的距離，即為上任意一點到面距離，由于，而，則，所以動點Q的軌跡與平面有交點，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.寫出對任意，都有成立的一個θ的值：_________．〖答案〗〖解析〗因為，又因為，所以只須，即，所以滿足條件的一個可以是.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.14.過點P向圓作切線，切點為A，過點P向圓作切線，切點為B，若，則動點P的軌跡方程為__________〖答案〗〖解析〗圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設(shè)點，因為分別切圓，圓于點，且，于是，則，整理得，所以動點P的軌跡方程為.15.已知在四棱錐中，，，，，平面，當四棱錐的體積最大時，_________．〖答案〗〖解析〗在四棱錐中，平面，而平面，則，又，平面，于是平面，由，，因此四棱錐的體積為，要使四棱錐的體積取得最大值，當且僅當取得最大值，而，即，當且僅當時取等號，而平面，平面，則，，又，，在中，由余弦定理得：．16.已知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，且時，，所以在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，，設(shè)，可得，因為，可得，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，實數(shù)的取值范圍為.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）求角；（2）過點A作，連接，使，，，四點組成四邊形，若，求的長．解：（1）由，所以由正弦定理可得，故，而，所以，又，所以.（2）在中，由正弦定理可得，因，所以，在中，因為，所以為銳角，所以，由余弦定理可得，解得或.18.如圖，在三棱錐中，，,，，于點.（1）證明：平面；（2）若點滿足，求二面角的余弦值．（1）證明：因為是公共邊，所以，因為，所以，且，設(shè)，則，所以，解得，故，在中，因為，所以，又因為，所以平面.（2）解：如圖所示，以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，，設(shè)，則，因為，所以，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，易知平面的一個法向量為，因為，所以二面角的余弦值為.19.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，其中一個焦點到上的點的最小距離為．（1）求E的方程；（2）已知直線與雙曲線E交于A，B兩點，過,作直線的垂線分別交于另一點,,求四邊形的面積.解：（1）不妨設(shè)雙曲線的半焦距為，因為的一條漸近線的傾斜角為，所以，①因為一個焦點到上的點的最小距離為，所以，②又，③聯(lián)立①②③，解得，則的方程為；（2）聯(lián)立，消去并整理得，不妨設(shè)，由韋達定理得，不妨設(shè)，所以，此時，易知直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，同理，所以，故四邊形的面積.20.已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求證：．（1）解：因為數(shù)列an的前項和為，且，①當時，，解得；當時，，解得；當時，，②①-②可得，從而，所以，整理得，因為，所以，即，所以數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，其通項公式為.（2）證明：由（1）知，可得，當時，，不等式成立；當時，，所以.21.第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，亞運會的召開推動了全民健身的熱潮．某小區(qū)甲、乙、丙、丁四位乒乓球愛好者準備開展一次乒乓球比賽．每兩人進行一場比賽，勝一場得1分，負一場得0分，最終累計得分最高者獲得冠軍，若多人積分相同，則名次并列.已知甲勝乙、丙、丁的概率均為，乙勝丙、丁的概率均為，丙勝丁的概率為，且各場比賽的結(jié)果相互獨立.（1）設(shè)比賽結(jié)束后，甲的積分為X，求X的分布列和期望；（2）在甲獲得冠軍的條件下，求乙也獲得冠軍的概率．解：（1）由題意，可得隨機變量的所有可能取值為，可得，，，，所以變量的分布列為0123所以期望為（2）記“甲獲得冠軍”為事件，“乙獲得冠軍”為事件、丙、丁”分別記為事件“乙勝丙、丁”分別記為事件，“丙勝丁”記為事件，此時，，，所以，，所以在甲獲得冠軍的條件下，乙也獲得冠軍的概率．22已知函數(shù)．（1）若為的極值點，求a的值；（2）若在區(qū)間，上各有一個零點，求的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：．解：（1）由題意可知：函數(shù)定義域為，可得，因為為的極值點，則，解得，當時，則，設(shè)，則，當時，，可得，可知在-1,1內(nèi)單調(diào)遞增，且，當時，，即f'x<0當時，，即f'x>0可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，所以為的極值點，即符合題意；綜上所述：.（2）因為，，若，當時，則，可得，所以函數(shù)在內(nèi)無零點，不合題意；若，設(shè)，則，當時，則，可得，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則；若，此時，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以函數(shù)在上無零點，不合題意；若，則，且當x趨近于時，hx趨近于，可知，使得，當時，，即f'x<0當時，，即f'x>0可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，且當趨近于時，趨近于，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個零點；綜上所述：當且僅當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個零點.若，當時，設(shè)，則，可知在上單調(diào)遞減，又因為，，可知存在，使得，當時，，即h'x>0當時，，即h'x<0可知hx在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，，可知，使得，當時，hx>0，即f當時，hx<0，即f可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，，所以存在唯一，使得，即函數(shù)在上存在唯一零點，符合題意；綜上所述：滿足條件的a的取值范圍為.河南省頂級名校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合中恰有兩個元素，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合中恰有兩個元素，得，解得．故選：B．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標為，所以位于第四象限.故選：D.3.里氏震級（M）是表示地震規(guī)模大小的標度，它是由觀測點處地震儀所記錄到的地震波最大振幅（A0）的常用對數(shù)演算而來的，其計算公式為.2023年8月6日2時33分，29分鐘后又發(fā)生3.0級地震，用A5.5和A3.0分別表示震級為5.5和3.0的地震波最大振幅，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.25 B.31.6 C.250 D.316〖答案〗D〖解析〗由題意得，，，從而，，因此．故選：D．4.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，因為函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則，，解得，，則，解得．故選：B．5.某班男生人數(shù)是女生人數(shù)的兩倍，某次數(shù)學(xué)考試中男生成績（單位：分）的平均數(shù)和方差分別為120和20，女生成績的平均數(shù)和方差分別為123和17，則全班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的方差為（）A.21 B.19 C.18 D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)該班有女生m人，則全班有3m人，則全班學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)，全班學(xué)生數(shù)學(xué)成績方差．故選：A．6.玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)．一小朋友在玩四棱柱形積木（四個側(cè)面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側(cè)棱用同一種顏色，且在積木的6個面中，除側(cè)棱的顏色相同外，則染法總數(shù)為（）A.216 B.360 C.720 D.1080〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，如圖：分3步進行分析：①要求側(cè)棱用同一種顏色，則側(cè)棱有5種選色的方法，②對于上底，有4種顏色可選，則有，③對于下底，每條邊與上底和側(cè)棱的顏色不同，有種選法，則共有種選法．故選：D．7.已知是正整數(shù)，函數(shù)在內(nèi)恰好有4個零點，其導(dǎo)函數(shù)為，則的最大值為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗因為在內(nèi)恰好有4個零點，所以，即，所以，又，所以，所以，，所以，其中．故選：B.8.已知過點的直線l與拋物線交于A，B兩點，且，點Q滿足，點，則的最小值為（）A. B.2 C. D.1〖答案〗C〖解析〗易知直線l的斜率存在且不為零，不妨設(shè)直線l的方程為，Ax1聯(lián)立，消去x并整理得，因為由韋達定理得，，①不妨設(shè)，因為，所以，②因為，所以，③聯(lián)立②③可得，整理得到即④又，⑤聯(lián)立④⑤，可得，所以的最小值即為點到直線的距離，則最小距離，當最小時，，解得，，經(jīng)檢驗，其滿足，所以的最小值為．故選：C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.當時，取得最大值〖答案〗BCD〖解析〗由題意，，即，，且，A項，，錯誤；B項，，正確；C項，，正確；D項，由已知可得，且在時加完所有正項，取得最大值，正確．故選：BCD．10.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，且，直線與橢圓的另一個交點為B，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.橢圓的長軸長是短軸長的倍 B.線段的長度為C.橢圓的離心率為 D.的周長為〖答案〗BC〖解析〗由，可設(shè)，又，可得，解得，即，將的坐標代入橢圓方程，可得，化為，即，故A錯誤；，故B正確;橢圓的離心率，故C正確;的周長為，故D錯誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，則（）A.的極大值為B.存在無數(shù)個實數(shù)，使關(guān)于的方程有且只有兩個實根C.的圖象上有且僅有兩點到直線的距離為D.若關(guān)于的不等式的解集內(nèi)存在正整數(shù)，則存在最大值，且最大值為〖答案〗AD〖解析〗由題意知：的定義域為，，當時，；當時，；在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；又，；當時，；當時，；可作出圖象如下圖所示，對于A，由單調(diào)性可知：的極大值為，A正確；對于B，由圖象可知：當且僅當或時，方程有且只有兩個實根，B錯誤；對于C，，恒成立，結(jié)合圖象可知：圖象上有且僅有一個上方的點到直線的距離為，C錯誤；對于D，的解即為的圖象在直線上方時，所對應(yīng)的范圍，要使關(guān)于的不等式的解集內(nèi)存在正整數(shù)，則直線過點時，斜率取得最大值，，D正確.故選：AD.12.已知正四棱錐的棱長均為2，M，N分別為棱，的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.動點Q的軌跡是半徑為的球面B.點P在動點Q的軌跡外部C.動點Q的軌跡被平面截得的是半徑為的圓D.動點Q的軌跡與平面有交點〖答案〗BCD〖解析〗對于A，設(shè)點是底面正方形的中心，連接，則平面，取中點，連接，顯然三點共線，由中位線性質(zhì)可得，正方形中，，，連接、，則，所以，在中，，可得.∵，點Q在以為直徑的球面上，因此動點Q的軌跡是半徑為的球面，故A錯誤；，則，所以點在以為球心的球面外，故B正確；對于C，因為點到平面的距離為，點在平面，所以球心到平面的距離為，故球面與平面相交，且動點Q的軌跡被平面截得的是半徑為的圓，故C正確；對于D，若為中點，連接，顯然，而，由于為中點，故，所以，即為平行四邊形，所以，不在面內(nèi)，面，則面，所以到面的距離，即為上任意一點到面距離，由于，而，則，所以動點Q的軌跡與平面有交點，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.寫出對任意，都有成立的一個θ的值：_________．〖答案〗〖解析〗因為，又因為，所以只須，即，所以滿足條件的一個可以是.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.14.過點P向圓作切線，切點為A，過點P向圓作切線，切點為B，若，則動點P的軌跡方程為__________〖答案〗〖解析〗圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設(shè)點，因為分別切圓，圓于點，且，于是，則，整理得，所以動點P的軌跡方程為.15.已知在四棱錐中，，，，，平面，當四棱錐的體積最大時，_________．〖答案〗〖解析〗在四棱錐中，平面，而平面，則，又，平面，于是平面，由，，因此四棱錐的體積為，要使四棱錐的體積取得最大值，當且僅當取得最大值，而，即，當且僅當時取等號，而平面，平面，則，，又，，在中，由余弦定理得：．16.已知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，且時，，所以在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，，設(shè)，可得，因為，可得，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，實數(shù)的取值范圍為.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）求角；（2）過點A作，連接，使，，，四點組成四邊形，若，求的長．解：（1）由，所以由正弦定理可得，故，而，所以，又，所以.（2）在中，由正弦定理可得，因，所以，在中，因為，所以為銳角，所以，由余弦定理可得，解得或.18.如圖，在三棱錐中，，,，，于點.（1）證明：平面；（2）若點滿足，求二面角的余弦值．（1）證明：因為是公共邊，所以，因為，所以，且，設(shè)，則，所以，解得，故，在中，因為，所以，又因為，所以平面.（2）解：如圖所示，以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，則，，設(shè)，則，因為，所以，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，易知平面的一個法向量為，因為，所以二面角的余弦值為.19.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，其中一個焦點到上的點的最小距離為．（1）求E的方程；（2）已知直線與雙曲線E交于A，B兩點，過,作直線的垂線分別交于另一點,,求四邊形的面積.解：（1）不妨設(shè)雙曲線的半焦距為，因為的一條漸近線的傾斜角為，所以，①因為一個焦點到上的點的最小距離為，所以，②又，③聯(lián)立①②③，解得，則的方程為；（2）聯(lián)立，消去并整理得，不妨設(shè)，由韋達定理得，不妨設(shè)，所以，此時，易知直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，同理，所以，故四邊形的面積.20.已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求證：．（1）解：因為數(shù)列an的前項和為，且，①當時，，解得；當時，，解得；當時，，②①-②可得，從而，所以，整理得，因為，所以，即，所以數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，其通項公式為.（2）證明：由（1）知，可得，當時