一元二次方程講義

...wd......wd......wd...一元二次方程講義考點(diǎn)一、概念(1)定義：①只含有一個(gè)未知數(shù)，并且②未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的③整式方程就是一元二次方程。(2)一般表達(dá)式：注：當(dāng)b=0時(shí)可化為這是一元二次方程的配方式(3)四個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，假設(shè)是，再對(duì)它進(jìn)展整理．如果能整理為的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程．〔4〕將方程化為一般形式：時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足〔a≠0〕(4)難點(diǎn)：若何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2〞：①該項(xiàng)系數(shù)不為“0〞；②未知數(shù)指數(shù)為“2〞；③假設(shè)存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建設(shè)方程或不等式加以討論。典型例題：例1、以下方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是〔〕AB C D變式：當(dāng)k時(shí)，關(guān)于x的方程是一元二次方程。例2、方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為。考點(diǎn)二、方程的解⑴概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。⑵應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：例1、的值為2，則的值為。例2、關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為0，則a的值為。說(shuō)明：任何時(shí)候，都不能忽略對(duì)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)的限制.例3、關(guān)于x的一元二次方程的系數(shù)滿(mǎn)足，則此方程必有一根為。說(shuō)明：此題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)“代數(shù)式形式〞的觀(guān)察，再利用特殊根“-1〞巧解代數(shù)式的值。例4、是方程的兩個(gè)根，是方程的兩個(gè)根，則m的值為。例5、，，，求變式：假設(shè)，，則的值為。6、方程的一個(gè)根為〔〕 AB1CD7、假設(shè)?？键c(diǎn)三、方程解法〔1〕基本思想方法：解一元二次方程就是通過(guò)“降次〞將它化為兩個(gè)一元一次方程?！?〕方法：①直接開(kāi)方法；②因式分解法；③配方法；④公式法類(lèi)型一、直接開(kāi)方法：就是用直接開(kāi)平方求解一元二次方程的方法。用直接開(kāi)平方法解形如※對(duì)于，等形式均適用直接開(kāi)方法典型例題：例1、解方程：〔2〕〔4〕〔5〕例2、解關(guān)于x的方程：3.以下方程無(wú)解的是〔〕A.B.C.D.類(lèi)型二、配方法基本步驟:1.先將常數(shù)c移到方程右邊2.將二次項(xiàng)系數(shù)化為13.方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方4.方程左邊成為一個(gè)完全平方式：※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類(lèi)的問(wèn)題。典型例題：例1、試用配方法說(shuō)明的值恒大于0，的值恒小于0。例2、x、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的最小值。變式：假設(shè)，則t的最大值為，最小值為。例3、為實(shí)數(shù)，求的值。變式1：，則.變式2：如果,那么的值為。例4、分解因式：類(lèi)型三、因式分解法:把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法※方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊為“0〞，※方程形式：如，，※分解方法:提公因式,利用平方差與完全平方公式,十字相乘法針對(duì)練習(xí)：例1、的根為〔〕 ABCD例2.〔1〕(平方差)(2)(提公因式)〔3〕〔平方差)〔4〕(完全平方式) (5〕(完全平方式)〔6〕〔十字相乘法〕〔7〕〔十字相乘法〕〔8〕(提公因式)例3、假設(shè)，則4x+y的值為。例4、方程的解為〔〕A.B.C.D.例5、解方程：例6、,則的值為。變式：,且,則的值為。 例7、解以下方程(2x–3)2=(3x–2)2(2)EQ\F(4x+14,5)-EQ\F(x-5,2)=EQ\F(2,3)x+2(4)5m2–17m+14=0(5)(x2+x+1)(x2+x+12)=42類(lèi)型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式的值，當(dāng)判別式大于等于零時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a,b,c的值代入求根公式,就可得到方程的根。⑴條件：⑵公式：,典型例題：例1、選擇適當(dāng)方法解以下方程：⑴⑵⑶⑷⑸說(shuō)明：解一元二次方程時(shí)，首選方法是因式分解法和直接開(kāi)方法、其次選用求根公式法；一般不選擇配方法。類(lèi)型五、“降次思想〞的應(yīng)用主要內(nèi)容：⑴求代數(shù)式的值；⑵解二元二次方程組。典型例題：例1、，求代數(shù)式的值。例2、如果，那么代數(shù)式的值。例3、是一元二次方程的一根，求的值。說(shuō)明：在運(yùn)用降次思想求代數(shù)式的值的時(shí)候，要注意兩方面的問(wèn)題：①能對(duì)式進(jìn)展靈活的變形；②能利用條件或變形條件，逐步把所求代數(shù)式的高次冪化為低次冪，最后求解。例4、用兩種不同的方法解方程組說(shuō)明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都表達(dá)了一種共同的數(shù)學(xué)思想——化歸思想，即把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們的問(wèn)題.考點(diǎn)四、根與系數(shù)的關(guān)系⑴前提：對(duì)于而言，當(dāng)滿(mǎn)足①、②時(shí)，才能用韋達(dá)定理。⑵主要內(nèi)容：⑶應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：例1、一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)恰是方程的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊是〔〕 A.B.3C.6D.說(shuō)明：要能較好地理解、運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，必須熟練掌握、、、之間的運(yùn)算關(guān)系.例2、解方程組：說(shuō)明：一些含有、、的二元二次方程組，除可以且代入法來(lái)解外，往往還可以利用根與系數(shù)的關(guān)系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問(wèn)題.有時(shí)，后者顯得更為簡(jiǎn)便.例3、關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，〔1〕求k的取值范圍；〔2〕是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)假設(shè)存在，求出k的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。例4、當(dāng)取何值時(shí)，方程的根與均為有理數(shù)例5、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程〔二次項(xiàng)系數(shù)為1〕時(shí)，小明因看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，而得到解為8和2，小紅因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，而得到解為-9和-1。你知道原來(lái)的方程是什么嗎其正確解應(yīng)該是多少例6、，，，求變式：假設(shè)，，則的值為。例7、是方程的兩個(gè)根，那么.測(cè)試題目：一、選擇題1．解方程：3x2+27=0得〔

〕.(A)x=±3

(B)x=-3

(C)無(wú)實(shí)數(shù)根

(D)方程的根有無(wú)數(shù)個(gè)2.方程(x-1)2=4的根是(

).(A)3,-3

(B)3,-1

(C)2,-3

(D)3,-2二、填空3．方程9x2=25的根是___________.4.二次方程x2+(t-2)x-t=0有一個(gè)根是2,則t=________,另一個(gè)根是_________.5.關(guān)于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一個(gè)根是0,則m的值為_(kāi)_________.6.關(guān)于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的條件為_(kāi)__________.7.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有兩個(gè)一樣的解,則a=________.三、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖韵玛P(guān)于x和y的方程(x+2)(x-2)=1.

(3x-4)2=(4x-3)23x2-4x-4=0.

x2+x-1=0.x2+2x-1=0.

(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.8．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.〔A〕因式分解法

〔B〕配方法〔C〕公式法9．解關(guān)于x的方程：x2-2x+1-k〔x2-1〕=010．|2m-3|=1，試解關(guān)于x的方程3mx〔x+1〕-5〔x+1〕〔x-1〕=x211、某商店經(jīng)銷(xiāo)一種銷(xiāo)售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，假設(shè)按每千克50元銷(xiāo)售，一個(gè)月能售出500千克，銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元，月銷(xiāo)售量就減少10千克，針對(duì)此答復(fù)：〔1〕當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算月銷(xiāo)售量和月銷(xiāo)售利潤(rùn)。〔2〕商店想在月銷(xiāo)