江蘇省無錫市江陰市高新實驗中學2024-2025學年上學期九年級10月月考數(shù)學試卷

2024-2025學年江蘇省無錫市江陰市高新實驗中學九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A. B. C. D.2.已知的半徑為3，當時，點P與的位置關系為(

)A.點在圓內 B.點在圓外 C.點在圓上 D.不能確定3.若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是(

)A. B. C. D.且4.如圖，直線，兩直線AC和DF與，，分別相交于點A，B，C和點D，E，下列各式中，不一定成立的是(

)A.

B.

C.

D.5.如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，：：25，則DF：BF為(

)

A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：26.下列說法正確的是(

)A.有一個角是兩個等腰三角形一定相似 B.兩個矩形一定相似

C.等弧所對的圓心角相等 D.相等的圓心角所對的弧相等7.如圖，AB是的直徑，弦于點E，，，則半徑為(

)A.2

B.3

C.5

D.88.某農機廠四月份生產零件50萬個，第二季度共生產零件182萬個．設該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是(

)A. B.

C. D.9.我國古代數(shù)學家趙爽公元世紀在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程正根的幾何解法．以方程即為例說明，記載的方法是：構造如圖，大正方形的面積是同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此則在下面四個構圖中，能正確說明方程解法的構圖是(

)A. B. C. D.10.如圖，，，點D在邊BC上與B、C不重合，四邊形ADEF為正方形，過點F作，交CA的延長線于點G，連接FB，交DE于點Q，給出以下結論：

①；

②：：2；③；

④，其中正確的結論的個數(shù)是A.

1 B.

2 C.

3 D.

4二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11.若，則的值為______.12.在比例尺為1：80000的上海市城區(qū)地圖上，量得中山北路的長度約為25cm，那么它的實際長度約為______13.若是關于x的一元二次方程的一個根，則這個一元二次方程可以是______.14.已知點C為線段AB的黃金分割點，若，則AB的長為______15.如圖是一位同學設計的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖．點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知，，測得米，米，米，那么該古城墻的高度CD是______米．16.如圖，點A，B，C在上，，，則__________度．

17.如圖，在中，，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，連接DE，若，則DE的長為______.

18.如圖，中，，CD是的高，，，則______；若以點C為圓心，半徑為2作，點E是上一動點，連接AE，點F是AE的中點，則線段DF的最小值是______.

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.本小題8分

解方程：

；

配方法；

公式法；

20.本小題8分

如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，

以原點O為位似中心，在y軸的右側畫出的一個位似，使它與的位似比為2：1；

畫出將向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的；

判斷和是位似圖形嗎？若是，請在圖中標出位似中心點M，并寫出點M的坐標.21.本小題8分

如圖，D是的邊AC上的一點，連接BD，已知，，，

證明∽；

求線段CD的長．22.本小題8分

已知關于x的方程，問：

求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

若該方程的兩個根為，，且滿足，求a的值.23.本小題8分

如圖，在中，，于點D，于點

求證：；

若，，求四邊形DOEC的面積．24.本小題8分

如圖，已知AB為的直徑，CD是的弦，AB、CD的延長線交于點E，

且

若，求的度數(shù)；

若的度數(shù)是的度數(shù)的m倍，則______.25.本小題8分

如圖，某同學想測量旗桿的高度，他在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長米，在同時刻測量旗桿的影長時，因旗桿靠近一樓房，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，他測得落在地面上影長為21米，留在墻上的影高為2米，求旗桿的高度．26.本小題8分

一商店銷售某種商品，規(guī)定：不超過60件，每件售價120元.如果購買商品件數(shù)超過60件，每增加一件，所售出的商品每件售價均降低元，但每件商品價格不得少于100元.

若購買商品63件，則每件商品的價格為______元；

若小明在此商店購買該商品共支付8800元，請問小明共買了多少件商品？27.本小題8分

如圖，在矩形ABCD中，，，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度，沿射線BC方向運動，動點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿線段CD方向運動.點P和點Q同時出發(fā)，當點Q到達點D時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒

用含t的代數(shù)式表示線段CP的長；

當PQ與矩形的對角線平行時，求t的值；

若點M為DQ的中點，求以M、P、C為頂點的三角形與相似時t的值；

直接寫出點B關于直線AP的對稱點落在邊上時t的值.

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：中含有兩個未知數(shù)，是二元二次方程，故本選項不符合題意；

B.中含有兩個未知數(shù)，是二元一次方程，故本選項不符合題意；

C.符合一元二次方程的定義，故本選項符合題意；

D.是分式方程，故本選項不符合題意．

故選：

根據一元二次方程的定義逐個判斷即可．

本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一次未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．2.【答案】B

【解析】解：、，

，

則點P在外，

故選：

根據題意得的半徑為4，則點P到圓心O的距離大于圓的半徑，則根據點與圓的位置關系可判斷點P在外．

本題考查了點與圓的位置關系：設的半徑為r，點P到圓心的距離，則有點P在圓外；點P在圓上；點P在圓內3.【答案】B

【解析】解：關于x的一元二次方程有實數(shù)根，

，

，

故選：

利用根的判別式進行求解即可．

本題考查一元二次方程根的判別式，根據根的判別式即可求出k的取值范圍，掌握根的判別式與一元二次方程解的情況是解題的關鍵．4.【答案】C

【解析】解：直線，

，，，

、B、D選項中的等式成立，C選項中的等式不一定成立．

故選

根據平行線分線段成比例的性質，逐項分析推出正確的比例式，運用排除法即可找到正確的選項．

本題主要考查平行線分線段成比例的性質．5.【答案】A

【解析】解：四邊形ABCD是平行四邊形，

，

；

，

∽，

，

，

故選：

由平行四邊形的性質得，從而易得∽，利用相似三角形面積的比等于相似比的平方，求得相似比，進而求得結果．

本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，關鍵是利用相似三角形的判定與性質．6.【答案】C

【解析】解：A：的角可以是頂角，也可以是底角，故有一個角是兩個等腰三角形不一定相似，故A不符合題意；

B：各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，由于兩個矩形的長和寬不一定成比例，因此兩個矩形不一定相似，故B不符合題意；

C：等弧所對的圓心角相等，故C符合題意；

D：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角相等，那么它們所對的弧也相等．但是，如果這兩個圓心角位于不同的圓，且圓的半徑不同，那么它們所對的弧長一定不相等，故D不符合題意；

故選：

根據相似多邊形的概念，圓中弧、弦、角等的關系，逐一判斷即可解答．

本題考查了相似多邊形的概念，圓中弧、弦、角等的關系，熟練掌握這些數(shù)學知識是解題的關鍵．7.【答案】C

【解析】解：設半徑為R，則，，

，，AB過圓心O，

，，

由勾股定理得：，

，

解得：，

即的半徑為5，

故選：

設半徑為R，則，根據垂徑定理得出，根據勾股定理得出，代入求出答案即可．

本題考查了勾股定理和垂徑定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關鍵．8.【答案】B

【解析】【分析】

主要考查由實際問題抽象出一元二次方程增長率問題，一般增長后的量=增長前的量增長率，如果該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么可以用x分別表示五、六月份的產量，然后根據題意可得出方程．

【解答】

解：依題意得五、六月份的產量為、，

故選：9.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查一元二次方程的應用，通過圖形直觀得出面積之間的關系，并用代數(shù)式表示出來是解決問題的關鍵．

根據題意，畫出方程，即的拼圖過程，由面積之間的關系可得出答案．

【解答】

解：方程，即的拼圖如圖所示；

中間小正方形的邊長為，其面積為25，

大正方形的面積：，其邊長為7，

因此，D選項所表示的圖形符合題意，

故選：10.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、正方形的性質、三角形的面積，矩形的判定與性質、等腰直角三角形的性質；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．

由正方形的性質得出，，證出，由AAS證明≌，得出，①正確；證明四邊形CBFG是矩形，得出，②正確；由等腰直角三角形的性質和矩形的性質得出，③正確；證出∽，得出對應邊成比例，得出，④正確．

【解答】

解：四邊形ADEF為正方形，

，，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，①正確；

，

，

，，

，

，，

四邊形CBFG是平行四邊形，

又，

四邊形CBFG是矩形，

，，②正確；

，，

，③正確；

易證，

，，

∽，

，

，④正確；

故選11.【答案】53

【解析】解：，

，

，

故答案為：

先根據題意得到，然后代入約分

本題考查比例的性質，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．12.【答案】20

【解析】解：設實際長度為xkm，

根據題意得25：：80000，

解得

故答案為

實際長度為xkm，利用比例尺的定義得到25：：80000，然后利用比例性質求出

本題考查了比例線段：理解比例尺的定義，能夠根據比例尺靈活計算，注意單位的換算問題．13.【答案】答案不唯一

【解析】解：關于x的一元二次方程的一個根是1，則符合條件的一個一元二次方程可以是：，

整理得：

故答案為：答案不唯一

直接利用一元二次方程的解得出符合題意的一個方程即可．

此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確掌握一元二次方程解是解題關鍵．14.【答案】

【解析】解：為線段AB的黃金分割點，

，即，

故答案為：

利用黃金比列出方程解答即可．

本題考查了黃金分割點的應用，正確應用黃金比是解題關鍵．15.【答案】8

【解析】解：由題意可得，

，，

，

在和中，

，

∽，

，

，，，

，

即，

故答案為

先證明∽，可得，再代入相應數(shù)據可得答案．

本題主要考查相似三角形的應用，關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例．16.【答案】60

【解析】【分析】

本題考查等腰三角形的性質的運用，掌握圓的半徑相等、等腰三角形的性質是解題的關鍵．連接OA，根據等腰三角形的性質得到，結合條件得，根據等腰三角形的性質即可得到

【解析】

解：如圖，連接OA，

，

，

，

，

，

故答案為17.【答案】

【解析】解：，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，

，

，，

由勾股定理得：，；

，

，

∽，

，

，

故答案為：

由題意知，則，，，，從而可得∽，由相似三角形的性質即可求解．

本題主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定及勾股定理，證明三角形相似是解題的關鍵．18.【答案】

【解析】解：，CD是的高，

，，

；

如圖，連接BE，CE，

點F是AE的中點，點D是AB中點，

是的中位線，

，

當E、C、B三點共線，且E點在線段BC上時，線段BE的長最小，線段DF的長取得最小值，

又因為，

所以DF最小值為

故答案為：5；

由等腰三角形的性質得，，由勾股定理即可求得BC的長度；連接BE，CE，則，當BE最小時，DF最小，此時E點在線段BC上時，BE最小，從而DF最小，最后求得最小值即可．

本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，三角形中位線，圓外一點與圓上點的最值等知識，構造輔助線，運用中位線定理是解題的關鍵．19.【答案】解：，

，

，

，

，

，

，即，

，

，

，

、、，

，

，

，

，

，

，

或，

，

【解析】利用直接開平方法解方程即可；

利用配方法的步驟：“移除配開方”解方程即可；

找出方程中的a、b、c，計算出的值，再利用求根公式解方程即可；

先移項將方程變形成，再通過提公因式法解方程即可．

本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．20.【答案】解：如圖，即為所作圖形；

如圖，即為所作圖形；

和是位似圖形，點M為所求位似中心，點M的坐標為

【解析】根據位似變換的性質找出對應點即可求解；

根據平移變換的性質找出對應點即可求解；

根據位似中心的性質可得答案．

本題主要考查了作圖-位似變換，平移變換，熟練掌握位似變換的性質是解題的關鍵．21.【答案】證明：，，

∽；

∽，

，即，

解得：

【解析】根據已知角相等，再由公共角，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；

由相似得比例，求出所求即可．

此題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．22.【答案】證明：關于x的方程，

，

，

，即，

不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

方程的兩個根為，，

，，

，

，

即，

整理得：，

解得或

【解析】先計算出一元二次方程根的判別式，根據判別式的符號即可判斷；

由根與系數(shù)的關系得：，，把變形為，然后整體代入得到關于a的方程，即可求解．

本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握這兩個知識點是關鍵．23.【答案】證明：如圖，連接OC，

，，

又，，；

解：，，

，

，

，

，

，

，

在中，，

，

同理可得，，

【解析】連接OC，根據圓心角、弧、弦的關系定理得到，根據角平分線的性質定理證明結論；

根據直角三角形的性質求出OD，根據勾股定理求出CD，根據三角形的面積公式計算，得到答案．

本題考查的是圓心角、弧、弦的關系定理、勾股定理、直角三角形的性質，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．24.【答案】3

【解析】解：連接OD，

，

，

，

，

，

，

，

；

，，

，

弧AC是弧BD的3倍，

故答案為：

連接OD，得到，根據等腰三角形的性質得，則利用三角形外角性質可計算出，根據等邊對等角得出，然后再根據三角形外角性質可計算出的度數(shù)；

因為，，所以，即可知道

本題考查了圓心角、弧、弦的關系，掌握與圓有關的概念是解題的關鍵．25.【答案】解：過C作于E，

，，

，

四邊形CDBE為矩形，

，，

設，

，

解得：，

旗桿的高米．

【解析】過C作于E，首先證明四邊形CDBE為矩形，可得，，設，則，求出x即可解決問題．

本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會利用物長：影長=定值，構建方程解決問題，屬于中考常考題型．26.【答案】

【解析】解：由題意得：元，

故答案為：；

設小明共買了x件商品，

由題意得：，

整理得：，

解得：，不符合題意，舍去，

答：小明共買了80件商品．

根據題意列