2023-2024學(xué)年遼寧省盤錦市重點(diǎn)中學(xué)高三全真數(shù)學(xué)試題模擬試卷

2022-2023學(xué)年遼寧省盤錦市重點(diǎn)中學(xué)高三全真數(shù)學(xué)試題模擬試卷(4)請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個(gè)坐位的寬度()，每個(gè)座位寬度為，估計(jì)彎管的長度，下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列，從上到下的行共個(gè)數(shù)的和，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知a>0，b>0，a+b=1，若α=，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．65．設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．6．已知命題：“關(guān)于的方程有實(shí)根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．208．已知，若方程有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．9．已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，三角形AOB的面積為，則p=（）．A．1 B． C．2 D．310．已知集合，，若，則（）A． B． C． D．11．雙曲線：（，）的一個(gè)焦點(diǎn)為（），且雙曲線的兩條漸近線與圓：均相切，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．12．已知雙曲線（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，若四邊形的內(nèi)切圓面積為，則雙曲線焦距的最小值為（）A．8 B．16 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個(gè)圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和，則該圓錐的體積為________14．已知盒中有2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，且每種顏色的兩個(gè)球均按，編號(hào)，現(xiàn)從中摸出2個(gè)球（除顏色與編號(hào)外球沒有區(qū)別），則恰好同時(shí)包含字母，的概率為________.15．已知數(shù)列滿足，且恒成立，則的值為____________.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則滿足的正整數(shù)的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識(shí)，高二年級(jí)準(zhǔn)備成立一個(gè)環(huán)境保護(hù)興趣小組.該年級(jí)理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護(hù)興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競賽.（1）設(shè)事件為“選出的這4個(gè)人中要求有兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須文、理科生都有”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加知識(shí)競賽，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分，假設(shè)甲班三名同學(xué)答對(duì)的概率都是，乙班三名同學(xué)答對(duì)的概率分別是，，，且這六名同學(xué)答題正確與否相互之間沒有影響．（1）記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示甲班總得分，求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大?。唬?）若函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為且，求的值．20．（12分）每年3月20日是國際幸福日,某電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉．若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?！保?Ⅰ)求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸?！钡母怕?；(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸福”的人數(shù),求的分布列及．21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）已知是的一個(gè)極值點(diǎn)，求曲線在處的切線方程（Ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù).22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

為彎管，為6個(gè)座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對(duì)的圓心角，再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個(gè)座位的寬度，則設(shè)弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認(rèn)為，即于是，長所以是最接近的，其中選項(xiàng)A的長度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學(xué)生的分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.2．D【解析】

由題意，設(shè)每一行的和為，可得，繼而可求解，表示，裂項(xiàng)相消即可求解.【詳解】由題意，設(shè)每一行的和為故因此：故故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.3．C【解析】所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-1，-2）位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.4．C【解析】

根據(jù)題意，將a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0，b>0，a+b=1，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號(hào)．

答案：C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，“1”的應(yīng)用，利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】∵∵∴∵，∴∴故選B點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.6．B【解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故7．B【解析】

化簡得到，再計(jì)算模長得到答案.【詳解】，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8．B【解析】

求出的表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實(shí)根的分布，求出的范圍即可．【詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數(shù)恒過，，由，，可得，，，若方程有唯一解，則或，即或；當(dāng)即圖象相切時(shí)，根據(jù)，，解得舍去），則的范圍是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．9．C【解析】試題分析：拋物線的準(zhǔn)線為，雙曲線的離心率為2，則，，漸近線方程為，求出交點(diǎn)，，，則；選C考點(diǎn)：1.雙曲線的漸近線和離心率；2.拋物線的準(zhǔn)線方程；10．A【解析】

由，得，代入集合B即可得.【詳解】，，，即：，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

根據(jù)題意得到，化簡得到，得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故，故漸近線為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，雙曲線的漸近線，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.12．D【解析】

根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系，由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑，結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍，即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系如下圖所示：設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為，雙曲線半焦距為，則所以，四邊形的內(nèi)切圓面積為，則，解得，則，即故由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故焦距的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用，圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式，求出底面半徑和母線長，再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，最后利用圓錐的體積公式求出體積?！驹斀狻吭O(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，所以有解得，故該圓錐的體積為。【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應(yīng)用。14．【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共種情況，其中有種情況是兩個(gè)球顏色不相同；故其概率是故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識(shí)和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

易得，所以是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，，因，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由遞推數(shù)列求數(shù)列中的某項(xiàng)，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.16．6【解析】

已知，利用，求出通項(xiàng)，然后即可求解【詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，故數(shù)列是首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列，∴.又，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查通項(xiàng)求解問題，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析【解析】

（1）按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超幾何分布求解即可【詳解】（1）因?yàn)閷W(xué)生總數(shù)為1000人，該年級(jí)分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人，則抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值為0,1,2,3，，，，，的分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，考查超幾何分布及期望，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題18．（1）（2）分布列見解析，期望為20【解析】

利用相互獨(dú)立事件概率公式求解即可;由題意知,隨機(jī)變量可能的取值為0，10，20，30,分別求出對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列并代入數(shù)學(xué)期望公式求解即可.【詳解】（1）由相互獨(dú)立事件概率公式可得,（2）由題意知,隨機(jī)變量可能的取值為0，10，20，30.，，，,所以，的概率分布列為0102030所以數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件概率公式和離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望;考查運(yùn)算求解能力;確定隨機(jī)變量可能的取值,求出對(duì)應(yīng)的概率是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.19．（1）（2）【解析】

（1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理可求，即可求的值．（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，可得，根據(jù)題意，得到，解得，得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得的值，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求的值．【詳解】（1）由題意，根據(jù)正弦定理，可得，又由，所以，可得，即，又因?yàn)椋瑒t，可得，∵，∴．（2）由（1）可得，所以函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為，∴，得，即，∴，又，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20．(Ⅰ).(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先計(jì)算其逆事件，即人都認(rèn)為不很幸福的概率，再用減去人都認(rèn)為不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根據(jù)題意,隨機(jī)變量，列出分布列，根據(jù)公式求出期望即可．【詳解】(Ⅰ)設(shè)事件抽出的人至少有人是“很幸?！钡?，則表示人都認(rèn)為不很幸福(Ⅱ)根據(jù)題意，隨機(jī)變量，的可能的取值為；；；所以隨機(jī)變量的分布列為：所以的期望【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列，數(shù)學(xué)期望的求解，概率分布中的二項(xiàng)分布問題，屬于常規(guī)題型．21．（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，得f'(2)=0建立方程求出a的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（Ⅱ）利用參數(shù)法分離法得到，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋瑒t，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn)，所以，即，所以，因?yàn)?，，則直線方程為，即；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在是增函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，，，，所以當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)