外接圓的直徑的解題技巧

外接圓的直徑的解題技巧好的，那我們先來了解一下什么是外接圓。外接圓是指一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)所在圓的圓心和半徑，一般簡稱為“外接圓”。它的特點(diǎn)是：外接圓的直徑與三角形對邊的垂線相等。那么，根據(jù)外接圓的特點(diǎn)，我們可以得到一個(gè)重要結(jié)論：三角形的外接圓的直徑等于對邊垂線的長度。這個(gè)結(jié)論雖然簡單，但在解題中卻經(jīng)常使用到。下面我們通過幾個(gè)具體的例子來講一下如何通過外接圓的直徑來解題。例一：在一個(gè)三角形ABC中，已知∠B=110°，∠C=30°，BC=6cm，求三角形的面積和外接圓的直徑。這個(gè)問題中給出的條件比較充分，我們需要首先確定三角形ABC的形狀。由∠B=110°，∠C=30°可知∠A=40°，因此三角形ABC是一個(gè)銳角三角形。由于我們已知三角形的一個(gè)內(nèi)角和一條邊長，為了求出三角形面積，我們需要先確定不知道邊長和高的情況下，三角形面積的公式。三角形的面積公式是：S=1/2×底邊長×高。在本例中，我們需要求出三角形的高才能算出面積。通過垂線定理，我們可以得到：AD=BC×sin∠A=6×sin40°≈3.86cm。因此，三角形ABC的面積為：S=1/2×BC×AD=1/2×6×3.86≈11.58(cm2)。接下來，我們需要求出外接圓的直徑。根據(jù)外接圓的特點(diǎn)，我們可以得到：三角形ABC的外接圓的直徑等于對邊垂線的長度。根據(jù)垂線定理，我們可以得到：BE=BC×sin∠B=6×sin110°≈6.57cm。因此，三角形ABC的外接圓的直徑約為6.57(cm)。綜上所述，三角形ABC的面積約為11.58(cm2)，外接圓的直徑約為6.57(cm)。例二：已知一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3，-2)、B（-1，1）和C（2，3），求三角形的面積和外接圓的直徑。在這個(gè)問題中，我們已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，因此可以通過坐標(biāo)計(jì)算的方式求出三角形的邊長和角度。首先，我們需要先求出三角形的三條邊的長度。AB的長度可以使用勾股定理來求解：AB=√[(x?-x?)2+(y?-y?)2]=√[(1-(-2))2+(-1-3)2]≈4.47。AC和BC也可以使用同樣的方式進(jìn)行求解。得到AC≈5，BC≈4.47。因此，我們得知三角形ABC是一個(gè)等腰三角形。由于已知三角形ABC是一個(gè)等腰三角形，并且已知該三角形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)，因此我們可以通過向量計(jì)算的方式來求出三角形的外接圓心。三角形的外接圓心為圓的直徑交點(diǎn)之間的中垂線交點(diǎn)。通過向量計(jì)算，我們可以得到：外接圓心O=(1,0)。下一步，我們需要根據(jù)垂線定理來求出外接圓的直徑。根據(jù)垂線定理，三角形ABC的外接圓的直徑等于對邊垂線的長度。因此，我們需要先求出三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)所在的向量，然后通過向量計(jì)算得到相應(yīng)對邊垂線的長度。由于三角形ABC是等腰三角形，因此其高與底邊垂直且重合。可以通過向量計(jì)算得知：AB和AC兩條邊的垂線長度均等于AO的長度。即對邊垂線長度為AO的長度。因此，三角形ABC外接圓的直徑為2×AO的長度。通過向量計(jì)算，我們可以得到：AO的長度為√[（1-3/3）2+（0+2/3）2]≈1.49。因此，三角形ABC外接圓的直徑約為2×1.49≈2.98。根據(jù)三角形面積和外接圓直徑的計(jì)算方法，我們可以得到：三角形ABC的面積約為6.97（單位：平方單位），外接圓的直徑約為2.98（單位：長度單位）。例三：已知一個(gè)直角三角形中，一直角的對邊長為3，求該三角形的面積和外接圓的直徑。在這個(gè)問題中，我們雖然已經(jīng)知道一個(gè)內(nèi)角是90°，但是由于并沒有給出其他的信息，我們并不能直接求出該三角形的其余部分。因此，我們需要尋找一些額外信息來幫助我們解決這個(gè)問題。不難發(fā)現(xiàn)：直角三角形的設(shè)定可以提供給我們很多有用的信息。通過設(shè)定，我們可以知道三角形中必然包含有90°角。此外，三角形的外接圓必然通過90°角的對角線。這個(gè)信息對我們求解問題非常有用。由于這是一個(gè)直角三角形，因此其外接圓必定通過三角形的對角線AC。我們需要確定對角線AC的長度，才能求出外接圓的直徑。由勾股定理可知：AC=√[(AB)2+(BC)2]。其中，AB就是直角三角形中一直角的對邊長，已知為3。BC為該直角三角形的直角邊長，我們可以將BC用勾股定理表示出來，即BC=√[（AC）2-（AB）2]。因此：AC=√[(AB)2+(√[（AC）2-（AB）2])2]，即AC2=(AB)2+(AC2-（AB）2)。移項(xiàng)得:AC=√2×AB=3√2所以，我們可以得到三角型的外接圓直徑d=AC=3√2。因此，我們還需要求出三角形的面積才能得到答案。三角形的面積為：S=1/2×AB×BC=1/2×3×(3