41不定積分概念和基本積分公式

第四章不定積分第一節(jié)原函數(shù)和不定積分概念在為微分學(xué)中，已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律

s=s(t),則在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度

v=s′(t)在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，也有相反的問(wèn)題，即已知時(shí)刻t的瞬時(shí)速度

v=v(t)而要求運(yùn)動(dòng)規(guī)律

s=s(t),即已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，尋求原來(lái)函數(shù).定義

設(shè)f(x)定義在區(qū)間I內(nèi)，如果對(duì)任意的，都有

F'(x)=f(x)

或

dF(x)=f(x)dx則稱(chēng)F(x)為

f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).

又如d(secx)=secxtanxdx，所以secx是secxtanx的原函數(shù).4.1.1.原函數(shù)與不定積分1.原函數(shù)例如:

，

是函數(shù)在上的原函數(shù).

，sinx是cos

x在上的原函數(shù).定理1

若函數(shù)

f(x)

在區(qū)間I上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng).證設(shè)F(x)，G(x)是f(x)在區(qū)間I上的任意兩個(gè)原函數(shù).所以

F'(x)=G'(x)=f(x)，即G(x)=F(x)＋C0

(

C0為某常數(shù)).所以有G(x)－F(x)=C0

，于是

[G(x)－F(x)]'=G'(x)－F'(x)=f(x)－f(x)=0定義

如果函數(shù)F(x)是f(x)區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)的全體原函數(shù)F(x)＋C(C為任意常數(shù))稱(chēng)為f(x)在區(qū)間I上的不定積分.記作其中記號(hào)稱(chēng)為積分號(hào)，f(x)稱(chēng)為被積函數(shù)，f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式，x稱(chēng)為積分變量，C為積分常數(shù).即2.不定積分例1求解例2

求解例3

求解例4

驗(yàn)證下式成立:解例5

利用例4的結(jié)果，計(jì)算下列積分解3.不定積分的幾何意義函數(shù)f(x)的原函數(shù)圖形稱(chēng)為f(x)的積分曲線，此積分曲線為一族積分曲線，f(x)為積分曲線在x處的切線斜率.例6解例7解4.4.2不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1

微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算.

特別地，有設(shè)下面函數(shù)f(x)，fi(x)，g(x)，都是可積的.性質(zhì)2

兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和(或差)，即證只要證明上式右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù)即可.由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以及不定積分性質(zhì)1，有這說(shuō)明是函數(shù)的不定積分，所以欲證的等式成立.性質(zhì)2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即性質(zhì)3

被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的前面.4.4.3基本積分公式例8

求