2025屆山東省威海市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆山東省威海市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長(zhǎng)等于（）A.3 B.6C.8 D.122．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A. B.C. D.3．將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），那么直線l的方程為（）A. B.C. D.4．傾斜角為45°，在軸上的截距是的直線方程為（）A. B.C. D.5．通過隨機(jī)詢問110名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0．1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”6．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形7．已知實(shí)數(shù)，滿足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.28．在等比數(shù)列中，，公比，則（）A. B.6C. D.29．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若共面，則（）A. B.C. D.10．若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知雙曲線，其中一條漸近線與x軸的夾角為，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.12．如圖，平行六面體中，為的中點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于A，B兩點(diǎn).若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為___________.14．過圓上一點(diǎn)的圓的切線的一般式方程為________15．設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，從下列四個(gè)條件：①；②；③；④中選出三個(gè)條件，能使?jié)M足所選條件的存在且唯一的所有c的值為______.16．已知某農(nóng)場(chǎng)某植物高度，且，如果這個(gè)農(nóng)場(chǎng)有這種植物10000棵，試估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)這種植物高度在區(qū)間上的棵數(shù)為______.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：，的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，的離心率為，的離心率為，點(diǎn)在上，過點(diǎn)E和，分別作直線交橢圓于，和，點(diǎn)，如圖.（1）求，的方程；（2）求證：直線和的斜率之積為定值；（3）求證：為定值.18．（12分）已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為k的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說明理由.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，且，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).20．（12分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）已知圓，其圓心在直線上.（1）求的值；（2）若過點(diǎn)的直線與相切，求的方程.22．（10分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)，故選：B.2、A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因?yàn)闈u近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點(diǎn)睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.3、A【解析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程，然后利用點(diǎn)差法求出直線l的斜率，從而可求出直線方程【詳解】設(shè)點(diǎn)為曲線C上任一點(diǎn)，其在上對(duì)應(yīng)在的點(diǎn)為，則，得，所以，所以曲線C的方程為，設(shè)，則，兩方程相減整理得，因?yàn)锳B中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），所以，即，所以，所以，所以直線l的方程為，即，故選：A4、B【解析】先由傾斜角為45°，可得其斜率為1，再由軸上的截距是，可求出直線方程【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為45°，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€在軸上的截距是，所以所求的直線方程為，即，故選：B5、A【解析】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A6、B【解析】直接利用正弦定理以及已知條件，求出、、的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀【詳解】解：在中，已知，，，分別為角，，的對(duì)邊），由正弦定理可知：，所以，解得，所以為等邊三角形故選：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的形狀的判斷，正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可得到結(jié)果【詳解】由約束條件畫出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D8、D【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：.故選：D9、D【解析】根據(jù)四點(diǎn)共面的向量表示，可得結(jié)果.【詳解】由共面知，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中四點(diǎn)共面的向量表示，屬基礎(chǔ)題.10、C【解析】根據(jù)極值點(diǎn)的意義,可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).結(jié)合零點(diǎn)存在定理,即可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)則因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知滿足即可代入可得解得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)的意義,函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用,屬于中檔題.11、C【解析】由已知條件計(jì)算可得，即得到結(jié)果.【詳解】由雙曲線，可知漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線與x軸的夾角為，故，即漸近線方程為.故選：C12、B【解析】先用向量與表示，然后用向量表示向量與，即可得解【詳解】解：為的中點(diǎn)，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過F作，利用點(diǎn)到直線距離可求出，再根據(jù)勾股定理可得，，由可得，即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖，過F作，則E是AB中點(diǎn)，設(shè)漸近線為，則，則在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，則，即，即，則，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是分別表示出，，由建立關(guān)系.14、【解析】求出過切線的半徑所在直線斜率，由垂直關(guān)系得切線斜率，然后得直線方程，現(xiàn)化為一般式【詳解】圓心為，，所以切線的斜率為，切線方程為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程，利用切線性質(zhì)求得斜率后易得直線方程15、，##，【解析】由①②結(jié)合正弦定理可求出，但是角不唯一，故所選條件中不能同時(shí)有①②，只能是①③④或②③④，若選①③④，結(jié)合余弦定理可求，若選②③④，結(jié)合正弦定理即可求解【詳解】由①②結(jié)合正弦定理，所以，此時(shí)角不唯一，所以故所選條件中不能同時(shí)有①②，所以只能是①③④或②③④，若選①③④，即，，，由余弦定理可得，解得，若選②③④，即，，，因?yàn)?，，所以，由正弦定理得，，故答案為：?6、1359【解析】由已知求得，則，結(jié)合已知求得，乘以10000得答案【詳解】解：由，得，又，，則，估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)這種植物高度在區(qū)間，上的棵數(shù)為故答案為：1359三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）：；：（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）利用待定系數(shù)法，根據(jù)條件先求曲線的方程，再求曲線的方程；（2）首先設(shè)，表示直線和的斜率之積，即可求解定值；（3）首先表示直線與方程聯(lián)立消，利用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，以及利用直線和的斜率關(guān)系，表示弦長(zhǎng)，并證明為定值.【小問1詳解】由題設(shè)知，橢圓離心率為解得∴，∵橢圓的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，∴設(shè)雙曲線：∴的離心率為解得.∴：：；【小問2詳解】證明：∵點(diǎn)在上∴設(shè)則，∴.∴直線和的斜率之積為定值1；【小問3詳解】證明：設(shè)直線和的斜率分別為，，則設(shè)，：與方程聯(lián)立消得“*”則，是“*”的二根則則同理∴.18、（1）（2）是定值，定值為6【解析】（1）根據(jù)題意條件，可直接求出的值，然后再利用條件中、的關(guān)系，借助即可求解出、的值，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)已知條件設(shè)出、所在直線方程，然后與橢圓聯(lián)立方程，分別表示出根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出弦長(zhǎng)關(guān)系，再計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，把面積用和的式子表示出來，通過給出的面積的值，找到和的等量關(guān)系，將等量關(guān)系帶入到利用跟與系數(shù)關(guān)系組合成的中即可得到答案.【小問1詳解】由題意：，由知：，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問2詳解】設(shè)：，①橢圓.②聯(lián)立①②得：，，即∴，O到直線l的距離，∴，∴，即，∴.故為定值6.19、（1）.（2）答案見解析.【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得，，由此可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求得導(dǎo)函數(shù)，分和討論，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，故，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】解：依題意，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，設(shè)，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)，即時(shí)，有唯一零點(diǎn)在區(qū)間上，當(dāng)，即時(shí)，在上無零點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn).20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)的公比為，利用基本量運(yùn)算求出公比，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算出數(shù)列的前n項(xiàng)和【詳解】（1）設(shè)的公比為，由題意知：，.又，解得，，所以.（2）.令，則，因此，又，兩式相減得所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下：

公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算即可；

裂項(xiàng)相消法，通過把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；

錯(cuò)位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時(shí)使用此方法；

倒序相加法，如果一個(gè)數(shù)列滿足首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和相等，可以使用此方法求和21、（1）（2）或【解析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，代入直線方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為：，利用圓心到直線的距離即可求解.【小問1詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，圓心為由圓心在直線上，得.所以，圓的方程為：【小問2詳解】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，即由于直線和圓相切，得解得：所以，直線方程為：或.22、（1）函數(shù)的單調(diào)性見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按a值分類討論判斷的正負(fù)作答.(2)將分別代入計(jì)算化簡(jiǎn)變形，再對(duì)所證不等式