2024屆中國科學技術大學強基計劃數(shù)學學科筆試模擬試題

2024屆中國科學技術大學強基計劃數(shù)學學科筆試模擬試題數(shù)學共15道試題，其中填空題14道，每題6分，解答題1道，16分，共計100分．一、填空題（本題共14小題，每小題6分，共84分）1．已知正整數(shù)a，b，c滿足，則的組數(shù)是__________．2．若函數(shù)有一個二重零點，則a的所有可能取值是__________．3．全集U有2024個元素，若，，，則__________．4．已知，是方程的兩個復數(shù)根，則__________．5．函數(shù)的值域是__________．6．已知，則的取值范圍是__________．7．的小數(shù)點后第100位數(shù)字是__________．8．投擲一個質地均勻的正方體（各面標有1，2，3，4，5，6），當各次所得數(shù)字之和為6的整數(shù)倍時停止，則投擲次數(shù)的數(shù)學期望是__________．9．數(shù)列，，則命題“，，”的否定是__________．10．在數(shù)字和中，更大的數(shù)字是__________．11．已知圓錐的高為1，底面直徑，則一螞蟻從點A沿著側面爬到點B，爬行距離的最小值是__________．12．函數(shù)滿足，，，且，則__________．13．直線與雙曲線的交點個數(shù)是__________．14．已知，，，則y的取值范圍是__________．二、解答題（本題共1小題，共16分）15．已知斐波那契數(shù)列滿足，，求的個位數(shù)字．數(shù)學筆試試題解析一、填空題（本題共14小題，每小題6分，共84分）1．解：整理得．當時，，只可能是，，；當時，，解得，其中，2，3，4，共4組；當時，，解得，無正整數(shù)解．顯然當時亦無正整數(shù)解，則共有5組正整數(shù)解．2．解：設其二重零點為m，另一實根為n，則由韋達定理可知，解得．3．解：，類似的有，且，由集合的容斥原理有，等號可在時取得．4．解：整理得，因此，因此，進而，，因此．5．解：變形可得，設，，則表示動點P到點Q和y軸的距離之和，由幾何意義顯然有．6．解：由于，即．另一方面有，因此，即．令可得，因此．一方面，，即，因此所求下界是，在，，時可取等；另一方面，我們只需求的最小值即可，由幾何意義可知其等價于點到單位圓面內(nèi)點的距離再減去2，因此當，時取得最小值．即所求上界是，因此取值范圍是．7．解：設．則由特征方程可知其遞推式為．但注意到，都是整數(shù)，由數(shù)學歸納法可知是整數(shù)，但顯然有，因此所求小數(shù)點后第100位數(shù)字是9．8．解：注意到無論此前投擲情況如何，下一次投擲均有的幾率使得所求數(shù)字之和為6的整數(shù)倍，因此可轉換為的幾何分布，其數(shù)學期望．9．解：其否定是“，，”．10．解：同時取e為底的對數(shù)，轉換為比較和的大?。O，則，即在上單調遞減，因此，代回可知．11．解：考察其側面展開圖，半徑，弧長，解得．因此爬行距離的最小值是．12．解：令可得，從而；另一方面有，因此，即．令可得，因此．13．解：0，1，2個交點．14．解：．二、解答題（本題共1小題，共16分）15．解：來吧happy起來吧直接開始枚舉吧！為什么可以枚舉呢，注意到連續(xù)兩項的個位數(shù)字組成的二元數(shù)組最多僅有100種不同的情況，在1958項的前提下必然