2.2.3-直線的一般式方程

2.2.3直線的一般式方程課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的一般式.2.會(huì)進(jìn)行直線方程的五種形式間的轉(zhuǎn)化.通過學(xué)習(xí)直線的一般式方程，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式方程，可以發(fā)現(xiàn)它們都是二元一次方程.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考一下，在平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線是否都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示呢？問題任何直線方程都能表示為一般式嗎？提示能.因?yàn)槠矫嫔先我庖粭l直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示.1.直線的一般式方程我們把關(guān)于x，y的二元一次方程________________(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式.2.二元一次方程與直線的關(guān)系

在平面直角坐標(biāo)系中，任意一個(gè)二元一次方程是直角坐標(biāo)平面上一條確定的直線；反之，直角坐標(biāo)平面上的任意一條直線可以用一個(gè)確定的二元一次方程表示.Ax＋By＋C＝0拓展深化[微判斷] (1)直線x－y－3＝0的斜率為k＝1.(

) (2)當(dāng)A，B同時(shí)為零時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0也可表示為一條直線.(

)

提示當(dāng)A，B都同時(shí)為零時(shí)，若C＝0，則方程對(duì)任意的x，y都成立，故方程表示整個(gè)坐標(biāo)平面；若C≠0，則方程無解，故方程Ax＋By＋C＝0不表示任何圖形. (3)直線的一般式方程可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一條直線.(

)√×√[微訓(xùn)練]1.與x軸平行且過點(diǎn)(0，6)的直線的一般式方程為(

) A.x－6＝0 B.y－6＝0 C.x＋y＝6 D.x－y＝6答案B2.已知直線的方程為2x－y＋4＝0，則該直線的斜率為________.答案23.直線2x＋y＋3＝0在y軸上的截距是________.解析令x＝0，得y＝－3.答案－3[微思考]

直線方程的一般式化成另外四種形式需要哪些要求？

提示直線方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)化成點(diǎn)斜式和斜截式需滿足條件B≠0，化成兩點(diǎn)式需滿足條件AB≠0，化成截距式需滿足條件ABC≠0.題型一求直線的一般式方程【例1】根據(jù)下列條件求直線的一般式方程. (1)直線的斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)；解(1)因?yàn)閗＝2，且經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直線的一般式方程為2x－y＋1＝0.A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0答案(1)B

(2)D所以只有B項(xiàng)滿足要求.題型二利用一般式解決直線的平行與垂直問題【例2】已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程： (1)過點(diǎn)(－1，3)，且與l平行； (2)過點(diǎn)(－1，3)，且與l垂直.又∵l′過點(diǎn)(－1，3)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′與l垂直，即4x－3y＋13＝0.法二(1)由l′與l平行，可設(shè)l′的方程為3x＋4y＋m＝0.將點(diǎn)(－1，3)代入上式得m＝－9.∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.(2)由l′與l垂直，可設(shè)l′的方程為4x－3y＋n＝0.將(－1，3)代入上式得n＝13.∴所求直線的方程為4x－3y＋13＝0.規(guī)律方法1.利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0).(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2.過一點(diǎn)與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫方程.(2)可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點(diǎn)確定C1；與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點(diǎn)確定C2.【訓(xùn)練2】判斷下列各對(duì)直線是平行還是垂直，并說明理由.(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；(3)l1：x＝2，l2：x＝4；(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.解(1)法一將兩直線方程各化為斜截式：∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l(xiāng)1∥l2.法二

∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l(xiāng)1∥l2.(2)法一將兩直線方程各化為斜截式：∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2.法二

∵3×2＋(－6)×1＝0，∴l(xiāng)1⊥l2.(3)因?yàn)閘1：x＝2，l2：x＝4，且兩直線在x軸上的截距不相等，則l1∥l2.(4)由方程知l1⊥y軸，l2⊥x軸，則l1⊥l2.題型三直線一般式方程的應(yīng)用【例3】設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根據(jù)下列條件分別確定m的值： (1)l在x軸上的截距是－3； (2)l的斜率是－1.規(guī)律方法已知含參的直線的一般式方程求參數(shù)的值或范圍的步驟【訓(xùn)練3】直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值； (2)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)①當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的方程為y＋3＝0，顯然不符合題意；②當(dāng)a≠－1時(shí)，令x＝0，則y＝a－2，∵l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，解得a＝2或a＝0.綜上，a的值為2或0.∴a的取值范圍為(－∞，－1].一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).2.二元一次方程與直線的關(guān)系

二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，這個(gè)方程的全體解組成的集合，就是坐標(biāo)滿足二元一次方程的全體點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)就組成了一條直線，二元一次方程與平面直角坐標(biāo)系中的直線是一一對(duì)應(yīng)的，因此直線的一般式方程可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一條直線.3.直線的一般式方程的結(jié)構(gòu)特征(1)方程是關(guān)于x，y的二元一次方程.(2)方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列.(3)x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù).(4)雖然一般式直線方程有三個(gè)系數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B應(yīng)滿足的條件為(

) A.A≠0 B.B≠0 C.AB≠0 D.A2＋B2≠0解析方程Ax＋By＋C＝0表示直線的條件為A，B不能同時(shí)為0，即A2＋B2≠0.答案D2.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2，1)，且與直線2x－y＋2＝0平行，那么直線l的方程是(

) A.2x－y－3＝0 B.x＋2y－4＝0 C.2x－y－4＝0 D.x－2y－4＝0解析由題意可設(shè)所求的方程為2x－y＋c＝0(c≠2)，代入已知點(diǎn)(2，1)，可得4－1＋c＝0，即c＝－3，故所求直線的方程為2x－y－3＝0，故選A.答案A3.過點(diǎn)A(2，3)且垂直于直線2x＋y－5＝0的直線方程為(

) A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0答案A4.(多填題)設(shè)直線l1：(a＋