初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

實(shí)數(shù)

一、知識要點(diǎn)概述

iEffiR

也警

員她就有?小?詢際f費(fèi)

正分皺

負(fù)例

加作解襁不…

2、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對

應(yīng)關(guān)系.

1

3、有理數(shù)都可以表示為P的形式（p、q為整數(shù)且p、q互質(zhì)）；任何一個分?jǐn)?shù)都可以化成

有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù).

4、實(shí)數(shù)運(yùn)算：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方和開方運(yùn)算，其中除數(shù)

不能為0:開偶次方時被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)；混合運(yùn)算時，先算乘方、開方，再算乘、

除，最后算加、減，有括號時，按括號指明的運(yùn)算順序進(jìn)行.

5、實(shí)數(shù)的大小比較有三種方法：

①數(shù)軸比較法：數(shù)軸上表示的兩實(shí)數(shù)，右邊的數(shù)大于左邊的數(shù).

②差值比較法：對于實(shí)數(shù)a,b,當(dāng)a—b>0時a>b；當(dāng)a—b=0時，a=b；當(dāng)a—b

<0時a<b.

1）1f<1-?1

③商值比較法：對于兩個正數(shù)a,b,當(dāng)5時a>b；當(dāng)'時a<b；當(dāng)6時,

a=b.

6、近似數(shù)與有效數(shù)字：一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一

位，這時，從左邊第一個不是0的數(shù)字起到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的

有效數(shù)字.

7、科學(xué)記數(shù)法：把一個數(shù)記成axlO”的形式，叫做科學(xué)記數(shù)法，其中l(wèi)W|a|<10,n為整

數(shù)，科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字以a的有效數(shù)字計算.

8、非負(fù)數(shù)：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，象|a|,T,石仙才內(nèi)形式的數(shù)都是表示非負(fù)數(shù).

9、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：①最小的非負(fù)數(shù)是零；②若n個非負(fù)數(shù)的和為零，則每個非負(fù)數(shù)都

為零.

二、典例剖析

例1、實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡田+年西1.

解：

由數(shù)軸可知:a>O>b,|a|<|b|得b-a<0,a+b<0,所以：

點(diǎn)評：

數(shù)形結(jié)合的思想是本題的解題關(guān)鍵，應(yīng)學(xué)會從數(shù)軸上讀出足夠多的信息為自己所

用，同時要熟記各種法則及應(yīng)用.

THT.QX與y

Q)-.：xQ卜需)+0.5gxK-"-2]

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■24-l-2^x^^—■2+1-3-格-一￡

京評:門.3d.dLpAiEffi^MM

M(2)Sjt--yX(1<-!^)x2x(-l)xl--lx(4-4]

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21?1r33

-289

京現(xiàn)（DffjMR主知卸中宜化皿分物

….令尹制《加

訪1祥-2領(lǐng)認(rèn)為**

例3、⑴如果I尸3I+I2X-4上訴刁，求2x—y+z的值.

(2)若|x+2y+3|+x?+y2=2xy,求X，的值.

魏：刎典H診為|尸-3|)|29-4|+&-3-0

y-3-O>-3

由非姆的性質(zhì)海，2x-4-0x-2

7-3-0z,3

:2x-y+z-2x2-3+3-4

|x+2y4-3|-fr(x-y)2-0

由非順的施可再「"y+3?o；

Lx-y-0I

點(diǎn)評：

算術(shù)平方根、絕對值、平方等具有非負(fù)性，在解題時應(yīng)注意運(yùn)用，同時注意幾個非

負(fù)數(shù)的和為零時，可得絕對值內(nèi)代數(shù)式為0,算術(shù)平方根的被開方數(shù)為0,平方的底數(shù)

為0.

例4、填空題：

(1)近似數(shù)3.20x](y精確到位，有個有效數(shù)字.

(2)將908070萬保留兩個有效數(shù)字，用科學(xué)記數(shù)法表示為.

(3)光的速度約為3x10,千米/秒，太陽光射到地球上需要的時間約為5x10?秒，則地

球與太陽的距離是千米.

解：(1)十萬，3

⑵9.1x10”

(3)3X10SX5X10：=1.5X10*千米

點(diǎn)評：

科學(xué)記數(shù)法是中考中常考的題口.應(yīng)根據(jù)指定的精確度或有效數(shù)字的個數(shù)用四舍五

入法求實(shí)數(shù)的近似值，并會用科學(xué)記數(shù)法.

例5、已知a、b是有理數(shù)，且、2彳12彳，求a、b的值.

IJJ益

—04--0-2-■0

國加、傅但敬:\解得

5.4白

—<1——b-I—■0

U1220

點(diǎn)評：

把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a、b的方程組.

例6、函數(shù)y=|x+l|+|x+2|+|x+3],當(dāng)x取何值時，y有最小值且最小值是多少？

分析：

先確定三個絕值的零點(diǎn)值，把x的取值范圍分為四個部分，然后逐一討論所求代數(shù)

式的取值情況從而確定其最小值.

解:

3x>—1時，y=x+l+x+2+x+3=3x+6N3；

當(dāng)一25x<—1時，y=-x—1+x+2+x+3=x+4>2；

當(dāng)一3gx<—2時，y=-x—1—x—2+x+3=—x,此時無最小值；

當(dāng)x<—3時，y=—x—1—x—2—x—3=-3x—6,此時無最小值.

所以當(dāng)x=-2時，y的值最小，最小值是2.

點(diǎn)評：

解答此類題目的一般步驟是：①求零點(diǎn)，劃分區(qū)間；②按區(qū)間分別去掉絕對值的符

整式

2、同類項：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項.合并同類

項時，只把同類項系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變.

3、整式的運(yùn)算

(1)整式的加減——先去括號或添括號，再合并同類項.

(2)整式的乘除

a.累的運(yùn)算性質(zhì)

①a，“.a“=a"(aWO,m,n為整數(shù))

②(am)"=am(a#),m,n為整數(shù))

③(ab)n=a"b"(n為整數(shù)，a/0,b#0)

b.零指數(shù)事與負(fù)整數(shù)指數(shù)第

a?■

aY-L(3%.Q.為回《0

a，a

(3)乘法公式

a.平方差公式(a+b)(a—b)=a，一b?

b.完全平方公式：(a±by=T±2ab+b2

4、基本規(guī)律

(1)代數(shù)式的分類遵循按所給的代數(shù)式的形式分類.

如是要我但H是分或限租或

X

(2)同類項的尋找是遵循兩同兩無關(guān)法則(字母相同，相同字母的指數(shù)相同；與系數(shù)

無關(guān)，與字母的排列順序無關(guān).)

(3)整式的運(yùn)算法則與有理數(shù)運(yùn)算法則類似.

5、因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式叫多項式的因式分解.

6、因式分解的基本方法：①提取公因式法；②公式法；③分組分解法；④十字相乘法.

7、因式分解常用的公式如下：

①a?—b:=(a+b)(a—b)

②a?±2ab+b2=(a±b)-.

二、典例剖析

例1、填空題

(1)如果單項式3與一2xy-b是同類項，那么這兩個單項式的積是

(2)m,n滿足|m—2|+(n—4y=0.分解因式：(x2+y?)—(mxy+n).

io.妁*Sr3.f?-l

被這兩個單項^劇是#,與是

j1~Z*Ufw,Z

?**f**1tttt二1…

黃如玄-(?*/)-(2y*4)

一(a?2取?=(X--4

-(*-y+2X?-y-2)

例2、若3x,-x=l,求9x4+12x'-3x2-7x+2008的值.

分析:

此類代數(shù)式求值問題，一般采用整體代入法，即將要求的代數(shù)式經(jīng)過變形，使之含

有3x，一x-l的乘積的代數(shù)和的形式，再求其值.

解：由3x3—x=l得3x}—x—1=0

所以9xJ+12x'-3x2-7x+2008

=3x(3x,-x—l)+4(3x'—x—1)+2012

=2012

例3、已知多項式2x：+3xy—2y2—x+8y—6可分解為(x+2y+m)(2x—y+n)的形式，求

的值，

分析：

由題設(shè)可知，兩個一次三項式的積等于2x?+3xy—2y2—x+8y—6,根據(jù)多項式恒等

的條件可列出關(guān)于m,n的二元一次方程組，進(jìn)而求出m、n.

解：由題意得：

(x+2y+m)(2x-y+n)=2x2+3xy—2y2—x+8y-6

又因?yàn)?x+2y+m)(2x—y+n)=2x2+3xy—2y2+(2m+n)x+(2n—m)y+mn

根據(jù)多項式恒等的條件，得：

2?+“一1

■

-7■^?I7—一?8—

點(diǎn)評：解此類題的關(guān)鍵是利用多項式恒等對應(yīng)項的系數(shù)相等得到相關(guān)方程組，求待定系

數(shù).

分析:

本題若直接計算是很復(fù)雜的，因每個括號內(nèi)都是兩個數(shù)的平方差，故可利用平方差

公式使計算簡化.

掘圖式?(|一加小存心-加0+加xQ-加短)

1324320062W320072009

=-x-x-x-x-x-a-------x-------x-------x-------

223342007200720082Q08

I20092009

點(diǎn)評：涉及與乘法有關(guān)的復(fù)雜計算，要創(chuàng)造條件運(yùn)用公式簡化計算.

1+房■陋

例5、已知a、b、c,滿足3求但一打十(1)—(:)2+9—2)2的最大值.

分析：

條件等式和待求代數(shù)式都涉及數(shù)的平方關(guān)系，由此聯(lián)想到利用完全平方公式求其最

大值.

解：由耽"+#+於■陋

3

■2a2*262+2C2-lab-2bc-2ca

=3(/+加++/+2?+次+2as)

■3乂竿-6曲.)2

-2005-(tf+A+c)2<2005

(p+即c尸+(u-4㈱I大岷2Q0S

點(diǎn)評：適當(dāng)期.合理配方是解決這些同屋的關(guān)鍵

例6、若2x」kx?+3被2x+l除后余2,求k的值.

分析：

要求k的值，需找到關(guān)于k的方程，由2x」-kx2+3被2x+l除后余2,可知2x，

—kx，+l能被2x+l整除，由此可得關(guān)于k的一次方程.

二婷+崢2x+—

令2x*l?0f?”」

2

&■_；代AzJ-Cl.O*

Zxl-f-q-y+l-O

二--A*1=0

44

船我?3.

點(diǎn)評：關(guān)鍵是利用余數(shù)定理找出關(guān)于k的方程，當(dāng)f(x)能被x-a整除時，f(a)=O.

例7、分解因式

(l)a4+4；

(2)x3-3x2+4；

(3)x2+xy-6y2+x+13y—6；

(4)(x+y)(x+y+2xy)+(xy+l)(xy-1)

解：⑴a4+4=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2-(2a)2=(a2+2a+2)(a2-2a+2)

點(diǎn)評：

本題不可分組，又無法直接運(yùn)用公式，但這兩項都是完全平方數(shù)，因此可通過添項

利用公式去分解.

(2)解法一,：X3-3x2+4=x?+x2—4x2+4

=x2(x+1)—4(x+l)(x—1)

=(x+l)(x—2y

解法2：x3—3x2+4=x3+1—3x2+3

=(x+l)(x2—x+1)—3(x+l)(x—1)

=(x+1)(x2—4x+4)=(x+l)(x—2)2

解法3：x3—3x2+4=x3+x2—4x2—4x+4x+4

=x2(x+1)—4x(x+l)+4(x+1)

=(x+l)(x2-4x+4)

=(x+l)(x-2)2

點(diǎn)評：

這是一個關(guān)于x的三次式，直接運(yùn)用分組分解法是難以完成的，可以先將二次項或

常數(shù)項進(jìn)行拆項，再進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆纸M分解.

(3)設(shè)x2+xy-6y2+x+13y-6=(x+3y+m)(x—2y+n)

=x2-2xy+nx+3xy-6、2+3ny+mx-2my+my

=x2+xy-6y2+(n+m)x+(3n-2m)y+mn

比較左、右兩邊對應(yīng)項系數(shù)得：

.??x2+xy-6y2+x+13y-6=(x+3y-2)(x—2y+3)?

點(diǎn)評：

這是一個二次六項式，運(yùn)用分組分解法有困難，根據(jù)整式乘法可知，這個二次六項

式可分解為兩個一次三項式，且前三項二次式x2+xy—6y2=(x+3y)(x—2y),由此可知,

這兩個一次式的常數(shù)項待定，因此可用待定系數(shù)法分解.

(4)設(shè)x+y=a,xy=b

則原式=a(a+2b)+(b+l)(b-l)=a2+2ab+b2-1

=(a+by—l=(a+b+l)(a+b-1)

=(x+y+xy+l)(x+y+xy-1)

=(x+l)(y+l)(x+y+xy-1)

點(diǎn)評:

整體思想，換元思想是常用的數(shù)學(xué)思想方法，此題設(shè)x+y=a,xy=b進(jìn)行代換后,

再運(yùn)用公式法和提公因式法來分解.

分式

一、知識要點(diǎn)概述

1、分式的概念和性質(zhì)

A

(1)定義：若用A、B表示兩個整式，A+B可以寫成》的形式，若B中含有字母,

A

式子了叫做分式.

29裝于線的5刊田?為

說明：

1。分式的值為0的條件是：分子為零且分母不為0；2。當(dāng)分母為零時，分式無意義;

3。分式的基本性質(zhì)是分式運(yùn)算的重要依據(jù)，分式的運(yùn)算方法和順序與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算類似.

2、分式的運(yùn)算法則

-atbacadtbc

aVUtfXi-i-----4--—r-r-

cecbTdid

*acaeacadad

匕所法：

位;(于宗的

一冬日牛生a6一。aP

說明：分式的符號變化法則是指整個分子分母和分?jǐn)?shù)線前的符號，切忌只變分子或

分母中第一項符號.

3、約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式的分子和分母中的公因式約去，叫做約分.

4、通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把異分母的分式化成和原來的分式分別相等的同分母

分式，叫做通分.

二、典例剖析

x2-x-6

例1、若分式x-3的值是絕對值最小的實(shí)數(shù).則*=.

分析：

絕對值最小的實(shí)數(shù)是0,從而得出分式的值為0,則分子為零且分母不為0,故可求

出X.

」'一廠6?0解語._2

解：E1*-3-0

說明：

分式的值為0,分子為零都知道，但往往忽略分母不為0,這是此類題目的考察重

占

，、、、?

'+,+3?-10.

例2、如果n為正整數(shù)，是既約分?jǐn)?shù),那么

分析：

n2+3n—10=(n+5)(n—2),n2+6n-16=(n+8)(n—2)分式，分母有公因式n—2,

但此分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)，從而有n—2=1,易可求n,進(jìn)而求出此分式值.

￥+3*-10_g+

幄由黑心是C的分就二R-2-L二x-3

二儂?篝彩8戮

說明：

解答此題的關(guān)鍵在于：巧妙運(yùn)用既約分?jǐn)?shù)的概念確定n的取值，注意化簡分式時先

要分別將分子、分母分解因式，再約分.

(fl-ld^-ciIf-djffi-tA

分析:

先找出原式中的最簡公分母，再對原式進(jìn)行通分，然后將原式進(jìn)行因式分解，以便

約分化簡.

QM一決Y

Zo2耐-c^)

s-cw+勒g+a-北?！?/p>

gT*-ux*7

——癡-公

6x+3

例4、若x取整數(shù)，則使分式五二T的值為整數(shù)的*有（）

A.3個B.4個

C.6個D.8個

分析：

6x4-3

將分式五二T進(jìn)行分析，即將它變形為一個整數(shù)部分與一個分子為整數(shù)的分式之和

的形式，然后再討論其整數(shù)的個數(shù).

解：

.,6x+3儂―D+66

2z-l2x-l2x-L

.?.當(dāng)2x-l=±l或±3時，x為整數(shù)，0,1,2,-1；

當(dāng)2x-1=±6或±2時，x都不是整數(shù).

所以符合題意的x的取值只有4個，應(yīng)選B項.

說明：將分式進(jìn)行分拆，關(guān)鍵是在于把分子中含字母的部分湊成與分母相同的公因式.

例又已如生至二261c二I=￡93?工求。+幼+女

3ft+2e-8lc^a-b

分析：由已知可得到關(guān)于a、b、c的值，然后代入求值.

解：由3a+2b-5=2(a-b+2)得a+4b—9=0①

由2b+c-l=2(3b+2c-8)得4b+3c-17=0②

由c-3a+2=2(2c+a-b)得3c+5a-14=0③

解聯(lián)立①②③組成的方程組得a=l,b=2,c=3.

。+踹4■生-2I*-4*9-212.

二---------------------------1.5c

說明：對于含條件等式的分式求值問題，除考慮對欲求的分式化簡外，還要對條件進(jìn)行

分析適當(dāng)變形，并根據(jù)需要加以轉(zhuǎn)化.

Mg求if.b-c?一?a-b2^22

(a—<?)團(tuán)(c—6)<i-bh-cc-a

分拆從等式的左邊人堯先將三個分式的分子誓項闔神每個分式分為兩個分

武的薨修地再分組腳腳明頓E

?...b-e_0Y)《a久I_I

(tr-iXa-dg-或”-。)a-ha-c

..同理_￡二4-------!——U

5一^^-0b-cb-a

a-btI

C-dXe-c-&

說明：添項、拆項是分式計算與證明的常用方法.此題可抓住左邊分式的分子與分母的

特點(diǎn)進(jìn)行突破，如b—c=(a—c)—(a—b)就可以進(jìn)行分拆.

例7、已如…YP+備+:建3+密+的二

Cb6

分析：日連陽&期的乳照陽一付而沐連以從背將材化為

出

*獻(xiàn)6*A-，4-S*e_y+6+。_無

cba

切“…耐由等比梆濠帆?l

故此lta+b-2<:.<1+0.2^6+0.24所以此時原式.8.

-*S+e■(H,可即+5--dfifr+e--dtta+e--b,

此時廉或■(-1)5--I

點(diǎn)評;應(yīng)用等比性昵■/…?V=>等學(xué)士■I1*毗不*<其叔的

baJ9b*<f*???*Ab

條金郎……0.否*出慌

二次根式

一、知識要點(diǎn)概述

1、二次根式：式子例孑?叫做二次根式.

2、最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式叫做最簡二次根式.

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式.

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

3、同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個

二次根式就叫同類二次根式.

4、二次根式的主要性質(zhì)

a(a>0)

Hop,0(a-0)

p<d)

(Jhlab-標(biāo)跖注0aQU)

5、二次根式的運(yùn)算

(1)因式的外移和內(nèi)移

如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根

號外；如果被開方數(shù)是多項式的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到

根號外.反之，也可以將根號外的正因式平方后移到根號里面去.

(2)有理化因式與分母有理化

兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則稱這兩個代數(shù)式互

為有理化因式，將分母中的根號化去，叫做分母有理化.

(3)二次根式的加減法：

先把二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式.

（4）二次根式的乘除法

二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除）所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)，并將

運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式.

（5）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律；乘法交換律、結(jié)合律、乘法對加法的分配律，以

及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算.

二、典例剖析

分析：

因一個等式中含有兩個未知量，初看似乎條件不足，仔細(xì)觀察兩被開方數(shù)互為相反

數(shù)，不妨從二次根式定義入手.

NF。

手詼華—-2

D?l一.——

■it4-1席總+1

分新：觸項不再含根盤從開方就篆吟漸后必為完全平方式

例3、已知xy>0,化簡二次根式T的正確結(jié)果是（）

A.后B.-石C.后D.-日

分析：

解題的關(guān)鍵是首先確定被開方式中字母的符號，既可以化簡被開方式，又可把根號

外的因式移入根號內(nèi).

解：選D

因?yàn)橐幌Α穱@啦<0.

斯-加+，~--

說明：

運(yùn)用二次根式性質(zhì)解題時，既要注意每一性質(zhì)成立的條件，又要學(xué)會性質(zhì)的“正用”

與“逆用”特別地字母因式由根號內(nèi)（外）移到根號（外）內(nèi)時必須考慮字母因式隱含的符號.

?、仔

⑹揚(yáng)歷

拒_岳_亞

5犧+而+芥+同

辰-2乖+卓-。+13

《）了；2了r

分新若一開蟠忱分母有理化則使甘翼復(fù)制匕痕施題中分子與分8的數(shù)字

特點(diǎn)通過分帳分界TM&期就m<e<j的聯(lián)賽以此刈醒的突破口.

（乖：此必呼）

齷（I墀M-

第十我如版）

乖+幣加收

q硬.?.可（中.處_（中*電空-g_q.e_

（穗式5

&市+卡”書印+6"⑹力</+赤）"近+6"

心”+17”-i

施境式"扣一#》百■如心言”…:臉-力

十$"3。-9V

5*r局石-氏+訪0后-⑶*（15-石）

（M6*2百+1

.隨3星的2?m-無

一+2丁+1

例人時X網(wǎng)為回效且衣+3赤二師，私漳值

分拆因?yàn)橹挥型惗窝莶臿哈并而行+壇■師，散而萬都與廊訪

解二碑式

?：因?yàn)閹?iUX故只財以下三冷情況：

〃+3岳/+9岳地*4=7岳*=10小

=3.=，31—147

-27力?12卜?3

a+A_2^/ff-I2"T^c—3——c—5

例6、已知2,求a+b+c的值.

分析：已知條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量，一個等式怎樣才能確定未知

量的值呢？考慮從配方的角度試一試.

?wa髭雀明跋得

即2布_端歸一凡。

.o

&-2-2?D

&一3-3?Q

:d?ZC"12

故八A+c?2。.

點(diǎn)評:

應(yīng)用非負(fù)數(shù)概念和性質(zhì)是初中代數(shù)解題的常用方法之一，|a|,a七口是三種重要

的非負(fù)數(shù)表現(xiàn)形式.判斷一個數(shù)是否為非負(fù)數(shù)，最關(guān)鍵的是看它能否通過配方得到完全

平方式，如："殳

在解多變元二次根式，復(fù)合二次根式等問題時，常用到配方法，如化簡

小2萬+7*-273>4淄a*4-?￡-l)21吊1+萬-1—訪

Jn+sg+zS-如+噸五國?癡+3了-癡?病2T.￡

不等式與不等式組

一、知識要點(diǎn)概述

1、不等式的基本性質(zhì)

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式不等號的方向不變.

（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

（3）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

2、不等式（組）的解法

（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以

（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向必須改變.

（2）解不等式組一般先分別求出不等式組中各個不等式的解集，再求出它們的公共部

分，就得到不等式組的解集.

（3）設(shè)a<b,那么：

（x>a

①不等式組1"的解集是x>b（大大取大）；

（x<a

②不等式組.lx<8的解集是xVa（小小取?。?/p>

x>a

（的解集是aVx<b（大小、小大中間找）；

（x<a

④不等式組lx>?的解集是空集（大大、小小題無解）.

3、不等式（組）的應(yīng)用

會列一元?次不等式（組）解決實(shí)際問題，其步驟是：

（1）找出實(shí)際問題的不等關(guān)系，設(shè)定未知數(shù)，列出不等式（組）;

(2)解不等式(組)；

(3)從不等式(組)的解集中求出符合題意的答案.

二、典例剖析

例1、(1)已知不等式3x-a4)的正整數(shù)解恰是1,2,3,則a的取值范圍是.

X"<7>0(D

{5-2x>-l②無解，則a的取值范圍是.

分析：

對于(1),由題意知不等式的解在x<4的范圍內(nèi)；對于(2),從數(shù)軸上看，原不等式

組中兩個不等式的解集無公共部分.

解：

3<-<4

(1)由題意得3,.*.9<a<12.

(2)由(1)得x>a,由(2)得爛3,因不等式組無解，；.aW3.

說明：確定不等式(組)中參數(shù)的取值或范圍常用的方法有：(1)逆用不等式(組)解集

確定；(2)分類討論確定；(3)借助數(shù)軸確定.

例2、解下列關(guān)于x的不等式(組).

(l)|x-2|<2x-10；

(2)(2mx+3)—n<3x.

分析：

對于(1)確定"零界點(diǎn)”x=2(令x-2=0得x=2)分x>2和x<2,去掉絕對值后求出不等

式的解集；對于(2),化為axVb的形式，再就a的正負(fù)性討論.

麟碓Q曲麗忸化理[鬻日產(chǎn)Q8

x-2<0

2-x<2x-l0

WZ?X<注,短?以此熱情蔣不尋式無帆故國海式的J棘為Q8

QW壞等式CM-3）x<jf-3

9-3〉0MA飆4泰，

孫-3<小<細(xì).撕為工〉—；

22M-3

空■=電=?即>時不看<6w物所標(biāo)就

少?；曲W過廊RMSW.

說明：涉及未知系數(shù)或絕對值式子的題目，均可用零點(diǎn)分段討論法解答.

例3、已知3a+2b—6=ac+4b—8=0且a>b>0求c的取值范圍.

分析?：消去a,b得到關(guān)于c的不等式組，解不等式組得c的取值范圍.

林解關(guān)耳、諭方6盥產(chǎn)*J"■三

[8+46-$-。L12-3c

L6-c

丫。沁>OlMtllO<12-Je/?e<4.

蟀、儂杯的對f加徒5<x<22,知、冊期1艷《

I6b-3x<5a

（紀(jì)知不答直叫3》的解案物r乂求曲

分析：

已知不等式組的解集，求某些字母的值（或范圍）是不等式組解集確定方法的逆向應(yīng)

用，處理這類問題時，可先求出原不等式組含有字母的解集，然后對照已知“對號入座”,

應(yīng)取有針對性的方法.

郵(1師不等式殂何化力;

x>-(-5a+66)

螭疑3-5<?+的<x；(3a+75)

又向ttt觸該不等式組的M賓為5<x<22

1(3a+7&)-22

4

—(-5^+66)-5

(晌答理可叫;:；礴直皿>2

二。42觸窟：這里不tSf掉等號

例S、已如方領(lǐng)

分拆0*康已皿解關(guān)于蜀謝加奧.再將前臉果代入皿到一

個關(guān)于■的不等式解這個不的』可以求U9取值

x--(l+5?>

?解方程祖

「x*”Q:：Q**)+加-蚓<-l.

加的限值IXwv—l.

例6、東風(fēng)商場文具部的某種毛筆每枝售價25元，書法練習(xí)本每本售價5元，該商場為

促銷制定了兩種優(yōu)惠方法：

甲：買一支毛筆就贈送一本書法練習(xí)本；

乙：按購買金額打九折付款.

某校欲為校書法興趣小組購買這種毛筆10支，書法練習(xí)本x(x*0)本.

(1)寫出每種優(yōu)惠辦法實(shí)際付款金額y甲(元)、y乙(元)與x(本)之間的關(guān)系式；

(2)比較購買同樣多的書法練習(xí)本時，按哪種優(yōu)惠辦法付款更省錢；

(3)如果商場允許可以任意選擇一種優(yōu)惠辦法購買，也可以同時用兩種優(yōu)惠辦法購

買，請你就購買這種毛筆10支和書法練習(xí)本60本設(shè)計一種更省錢的購買方案.

分析：

(2)中比較哪種優(yōu)惠辦法更省錢與購買練習(xí)本的數(shù)量有關(guān)，因此應(yīng)分類討論；(3)中

因?yàn)榭赏瑫r用兩種優(yōu)惠辦法購買，所以需要重新建立關(guān)于毛筆枝數(shù)的關(guān)系式求解.

解：

(1)依題意,可得y.,.=25xl0+5(x-l0)=5x+200(x>10)；

y,=(25xl0+5x)x90%=4.5x+225(x>10)

(2)由⑴有y”一y『0.5x-25

當(dāng)yy4=0時，解得x=50；

當(dāng)y”,一y’>0時，解得x>50；

當(dāng)y"，一y4Vo時，解得x<50.

所以，當(dāng)購買50本書法練習(xí)本時，兩種優(yōu)惠辦法的實(shí)際付款一樣，即可任選一種

辦法付款，當(dāng)購買本數(shù)在10?50之間時，選擇優(yōu)惠辦法甲付款更省錢；當(dāng)購買本數(shù)大

于50本時，選擇優(yōu)惠辦法乙更省錢.

(3)①因?yàn)?0>50,由(2)知不考慮單獨(dú)選用優(yōu)惠辦法甲購買.

若只用優(yōu)惠辦法乙購買10支毛筆和60本書法練習(xí)本需付款(25x10+

5x60)x90%=495(元)

②若用優(yōu)惠辦法乙購買m支毛筆，則須用優(yōu)惠辦法甲購買(10—m)支毛筆，用優(yōu)惠

辦法乙購買60-(10-m尸m+50本書法練習(xí)本，設(shè)付款總金額為P,貝

P=25(10-m)+[25m+5(m+50)]x90%=2m+475(0<m<10)

所以，當(dāng)m=0即用優(yōu)惠辦法甲購買10支毛筆，再用優(yōu)惠辦法乙購買50本書法練

習(xí)本時，P取得最小值為：2x0+475=475(元)

故選用優(yōu)惠辦法甲購買10支毛筆，再用優(yōu)惠辦法乙購買50本書法練習(xí)本的方案最

省錢.

例7、我市某化工廠現(xiàn)有甲種原料290kg,乙種原料212kg,計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、

B兩種產(chǎn)品共80件，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需要甲種原料5kg,乙種原料1.5kg,生產(chǎn)成本是

120元；生產(chǎn)一?件B產(chǎn)品，需要甲種原料2.5kg,乙種原料3.5kg,生產(chǎn)成本是200元.

(1)該化工廠現(xiàn)有的原料能否保證生產(chǎn)？若能的話，有幾種生產(chǎn)方案？請你設(shè)計出

來.

(2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總成本為y元，其中一種生產(chǎn)的件數(shù)為x,試寫出y與

x之間的關(guān)系式，并利用關(guān)系式說明(1)中哪種生產(chǎn)方案總成本最低？最低生產(chǎn)總成本是

多少？

分析：

若設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，根據(jù)題意可建立關(guān)于x的不等式組，解出不等式組得

x的取值范圍.由x為整數(shù)在取值范圍內(nèi)確定x的取值，從而得出生產(chǎn)方案，然后由成

本的已知條件求出x與y之間的關(guān)系式，根據(jù)此關(guān)系式求出最低生產(chǎn)總成本.

解：

(1)設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(80—x)件，依題意，可得：

5x+2.5(80-x)<290

)l5z+35(?0-x)<212

解得：3仁xS36

因?yàn)閤為整數(shù)，所以x只能取34或35或36.

所以該工廠現(xiàn)有的原料能保證生產(chǎn)，有三種生產(chǎn)方案：

第一種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品34件，B種產(chǎn)品46件；

第二種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品35件，B種產(chǎn)品45件；

第三種：生產(chǎn)A種產(chǎn)品36件，B種產(chǎn)品44件.

(2)設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品(80—x)件，依題意，可得：

y=120x+200(80-x)HPy=-80x+16000(x取34或35或36)

由式子可知，當(dāng)x取最大值36時,y取最小值為一80x36+16000=13120元,即第

三種方案；生產(chǎn)A種產(chǎn)品36件，B種產(chǎn)品44件，總成本最低，最低生產(chǎn)成本是13120

元.

說明:

利用列不等式組然后求出不等式組的集，在其解集內(nèi)求出符合條件（一般是整數(shù)）的

值，是解方案設(shè)計型應(yīng)用題的常用方法.

方程與方程組

一、知識要點(diǎn)概述

1、等式和方程的有關(guān)概念、等式的基本性質(zhì).

2、一元一次方程的解法及最簡方程2*刈解的三種情況.

(1)解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項和將未知數(shù)的

系數(shù)化為1.

(2)最簡方程ax=b的解有以下三種情況：

b

X■■一

①當(dāng)時0時?，方程有唯一解a.

②當(dāng)a=0,b用時，方程無解.

③當(dāng)a=0,b=0時，方程有無窮多解.

3、一元二次方程的一般形式是ax!+bx+c=O(a#：O)

其解法主要有：直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法.

4、一元二次方程aW+bx+c=O(arO)的求根公式是：

-&土業(yè)-4ac

2a

注意：求根公式成立的條件為：①狎0；②b」4acK).

5、一元二次方程ax葉bx+c=O(a#O)的根的判別式是△=b」4ac.當(dāng)△>00寸，方程有兩

個不相等的實(shí)數(shù)根.

-bt-^-4ac

2a

當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即”.與?五；

當(dāng)△<()時，方程沒有實(shí)根，反之成立.

bc

6、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a，0)的兩根為K，x2,則。Q

7、以兩數(shù)a、0為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是x2-(a+0)x+aB=O.

8、解一次方程組的基本思想是消元，常用的消元方法是加減消元法和代入消元法.

9、解簡單的二元二次方程組的基本思想是“消元”與“降次”.①若方程組中有一個是一

次方程，則一般用代入消元法求解；②若方程組中有能分解成兩個一次方程的方程，則

一般用“分解降次”的方法將原方程組化為兩個或四個方程組求解.

10、簡單的分式方程組的解法，一般是用去分母或換元法將其轉(zhuǎn)化為整式方程組求解，

并要驗(yàn)解.

11、方程組的解的存在性問題，一般轉(zhuǎn)化為方程的解的存在性問題來研究.

二、典例剖析

例I、方祗-和-是

分析:按幽慨啾整焦需般狼彳涉嫌先就海砒靜限*

嘛去覦工-#張-方喘a-}

?lx-0

4

■x-0

點(diǎn)評：靈活解??元一次方程時常用到以下方法技巧.

(1)若括號內(nèi)有分?jǐn)?shù)時，則由外向內(nèi)先去括號，再去分母；

(2)若有多重括號，則去括號與合并同類項交替進(jìn)行；

(3)恰當(dāng)用整體思想.

例2、解下列關(guān)于x的方程.

(l)4x+b=ax—8(a^4)

(2)mx—l=nx

⑶34

分析：把方程化為一般形式后，再對每個方程中字母系數(shù)可能取值的情況進(jìn)行討論.

解⑴原方診為?一")X.一8一■

Tn?_8+5

方程的解為——

a—4

Q環(huán)方程化為g-切x-i

當(dāng)場.耐方程有噬Th■--.

JB-ff

當(dāng)用?血原方程無黑

(3)原方程化為(da-3)x-418Ml+6m

當(dāng)席,眈原方程有唯一柢一也注

42

當(dāng)?！r，原方程無解.

42

VI工解下升方移a

p3n7y-63

U[L7*+23/-57

■■一■Q

2x-22y-l

［豌+》-&+與■4+勺-E+<i8K-9g9-I

L+&+“+硼》+砧w?l”9

分痂的初Sfl觸點(diǎn)財法訴確』.白7

海叫M苗酬力趣j時干3從舁找禮電生苞眄.?關(guān)系入手

M：（淑西施ffifcWx十y■工進(jìn)荷料麋制力［x?2.

（懶去■圭?射則朦方耀映為：

4x-3y-6

（

例4、已知m是整數(shù)，方程組NX*蝦=式有整數(shù)解，求m的值.

分析：先求出y，運(yùn)用整除的性質(zhì)求出m的值，需注意所求的整數(shù)m要使得x也為整

數(shù).

M3+39

解：由原方程組解得’?2?+9-?3+9,

若y有整數(shù)解，貝I2m+9=±1或±2或±17或±34,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)2m+9=±1或±17時，m

為整數(shù)且x也為整數(shù)，得m=4或一4或一5或一13.

例5、已知關(guān)于x的一元二次方程（?-2?25+1?■有兩個不等的實(shí)數(shù)根.

(1)求171的取值范圍;

⑵三時求市值

?：(0?.痂給方屋EN&g的知齦

/.A-C-Z^*)2-4(2?-I)-4-4M>Q,r.M<I

又佃“吟曲弓

二.■的雙椰豳副一〈叫?今

(2):"」?11及0近期<1:.右

又???(6?+y-.+：-2-H-2-9

--yL?-3.

椒、己觥二次頓數(shù)為的一元二次方程的再個實(shí)蚓0且i齪關(guān)系式

:iiS噂?^無寇

齷砒T6n次方程為/+加+。?。

Mffp+q--b.pq-c

由已如關(guān)摹式可娣為[匕?

[Artp+q)-6

-b+c-5卡.傅pj--2pi--3

fH■機(jī)6麗“Q-31Q.2

拋--2Lq-3ff?-2K￥3-O,-/Aj-4-12<0^(^

螞?T,-2tf?-3x+2-k.&-9-8>0...符合t,

.：j-3x+2-0.

例7、解下列方程

7x-ll-0.2xSx>1

Umj----------------------------

0LO2*0L018a012

(2)3x2+x-7=0

分析：

對于(1)首先應(yīng)回避復(fù)雜的小數(shù)運(yùn)算，注意此時只運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)而未用到等式

有關(guān)性質(zhì).

對于(2)此方程用分解因式法難以行通，故考慮用求根公式.

3Sx-5_$-jr

解：⑴原方程化簡得FT~2

方程兩邊都乘以12(即去分母)得

3(35x-5)=4(5-x)-6(25x+5)

去括號得：105x-15=20-4x-150x-30

移項及合并同類項得：259x=5

**X~259

<0..?必?-=]2-4乂3??力=85〉。

?.-1+^5--1-^5

“A---6—>4■—6-

例8、如果關(guān)于x的一元二次方程kx」2(k+2)x+k+5=0沒有實(shí)根，試說明關(guān)于x的方

程(k-5)x2—2(k+2)x+k=0必有實(shí)數(shù)根.

分析：

由一元二次方程kx?—2(k+2)x+k+5=0沒有實(shí)數(shù)根，可以得出k#),b=-4ac<0,

從而求出k的取值范圍，再由k的取值范圍來說明(k-5)x2-2(k+2)x+k=0必有實(shí)數(shù)根.

解：?.?關(guān)于kx」2(k+2)x+k+5=0沒有實(shí)數(shù)根，

-4雨?卜2(2*-4*(**5)<0

解得k>4

當(dāng)k=5時，方程(k—5)x?—2(k+2)x+k=0為一元一次方程，—14x4-5=0,此時方程的根

$

-

為

當(dāng)k#5時，方程(k-5)x2-2(k+2)x+k=0為一元二次方程

.*.△=[-2(k+2)]2-4(k-5)-k=4(9k+4)

；k>4且k#5，：.A=4(9k+4)>0

.?.此時方程必有兩不等實(shí)數(shù)根，

綜上可知方程(k—5)x-2(k+2)x+k=0必有實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評：

(1)方程“有實(shí)數(shù)根”與“有兩個實(shí)數(shù)根”有著質(zhì)的區(qū)別.方程“有實(shí)數(shù)根”表示方程可能

為一元一次方程，此時方程有一實(shí)數(shù)根，方程也可能為一元二次方程，此時方程有兩個

實(shí)數(shù)根，而方程“有兩個實(shí)數(shù)根”，則表示此時方程一定為一元二次方程.

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點(diǎn)評：

構(gòu)造一元二次方程是解題的常用技巧，構(gòu)造的主要方法有：(1)當(dāng)已知等式具有相同

的結(jié)構(gòu)，就可以把兩個變元看成關(guān)于某個字母的一元二次方程；(2)對于含有多個變元的

等式，可以將等式整理為關(guān)于某個字母的一元二次方程.

分式方程

一、知識要點(diǎn)概述

1、分式方程：分母中含有未知數(shù)的有理方程叫分式方程.

2、解分式方程的基本思想方法是：

分勸握式方屋

3、解分式方程必須驗(yàn)根.

二、典型例題剖析

102,

-5--------+---------I

例1、解方程x+x-6x+3.

分析：根據(jù)解分式方程的一般步驟來解此題.

解：方程兩邊同乘以(x+3)(x—2)得：

10+2(x-2)=(x+3)(x-2)

化簡，整理得：x;-x-12=0

解之得x,=-3或X2=4

經(jīng)檢驗(yàn)可知：x,=—3是原方程的增根，x尸4是原方程的根.

二原方程的根是x=4.

也解下列方福：

(I)*2-X-----#-0

JT-K

分析：用換元法解這些分式方程.

y———4.0

解：⑴設(shè)X?—x=y,則原方程變?yōu)?/p>

解這個方程得y=-2,y