5.3.2-事件之間的關系與運算教學設計

5.3.2事件之間的關系與運算本節(jié)課是概率部分的第2節(jié)課，是5.3.1樣本空間與事件的后續(xù)部分。本節(jié)課提出了隨機事件的關系，隨機事件的運算，互斥事件、對立事件等內容。學生將通過新舊知識的對比學習來進行自主學習，同時通過共同探討來理解和掌握新知識的實際含義。本節(jié)課屬于概率論的基礎課，對后續(xù)課程的影響較大。本節(jié)課的內容，學生在高中時已經學習過，教學時將在學生已經掌握的概率知識的基礎上展開教學。盡管如此，概率的抽象性是不言而喻，教學時將大量采用“韋恩圖”幫助學生理解隨機事件的相互關系。同時，應注意強調區(qū)分隨機事件的關系，運算與集合的關系，運算的區(qū)別和關聯.考點教學目標核心素養(yǎng)事件的關系與運算理解事件之間的關系與運算，并能進行事件的混合運算數學抽象，數學運算互斥事件、對立事件理解互斥、對立事件的概念，并會區(qū)別二者，會用加法公式求事件的概率數學抽象，數學運算【教學重點】事件之間的關系與運算、事件的混合運算、互斥、對立事件、概率的加法公式【教學難點】互斥、對立事件的區(qū)別、概率加法公式的應用引入：前面我們在事件和集合之間建立了對應關系，從而可用集合的一些術語，符號去描述事件之間的關系與運算.問題1：事件的包含與相等知識點1：一般地，如果事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生，則稱“A包含于B”（或“B包含A”），記作（或），這一關系可用下圖表示.注：（1）也可用充分必要條件表示為：A發(fā)生是B發(fā)生的充分條件，B發(fā)生時A發(fā)生的必要條件.（2）如果，根據定義可知，事件A發(fā)生的可能性不比事件B發(fā)生的可能性大，直觀上我們可以得到知識點2：如果事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生；而且事件B發(fā)生時，事件A也一定發(fā)生，則稱“A與B相等”，記作注：（1）不難看出：且，也可以用充分必要條件的語言表述為：A發(fā)生是B發(fā)生的充分必要條件（2）當時，有問題2.事件的和（并）知識點3：給定事件A，B，由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和（或并），記作（或）事件A與B的和可以用如圖所示的陰影部分表示.注：（1）當事件發(fā)生時，當且僅當事件A與事件B至少有一個發(fā)生（2）由于且，因此且直觀上可知，問題3.事件的積（交）知識點4：給定事件，由A與B中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積（或交），記作（或）事件A與B的積可以用如圖所示的陰影部分表示.注：（1）按照定義可知，事件發(fā)生，當且僅當事件A與事件B都發(fā)生；（2）由于且，因此且定義表示法圖示包含關系一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B__一定發(fā)生______，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)______(或_______)事件的和給定事件A，B，由所有A中的樣本點與B中的樣本點___組成的事件_________稱為A與B的和(或并)______(或________)事件的積給定事件A，B，由A與B中的__公共______樣本點組成的事件稱為A與B的積(或交)______(或_______)【練習】拋擲一枚骰子，“向上的點數是1或2”為事件A，“向上的點數是2或3”為事件B，則A.A?BB.A＝BC.A＋B表示向上的點數是1或2或3D.AB表示向上的點數是1或2或3解析設A＝{1，2}，B＝{2，3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1，2，3}，∴A＋B表示向上的點數為1或2或3.答案C問題4.事件的互斥與對立知識點5：給定事件A，B，若事件A與B不能同時發(fā)生，則稱A與B互斥，記作（或）這一關系可用下圖表示.注：（1）任何兩個基本事件都是互斥的，與任意事件互斥；（2）當A與B互斥，即，有這稱為互斥事件的概率加法公式.（3）一般地，如果是兩兩互斥事件，則知識點6：給定樣本空間與事件A，則由與所有不屬于A的樣本點組成是事件稱為A的對立事件，記作，用集合的觀點看，是A在中的補集，如圖所示。如果，則稱A與B相互對立.注：（1）事件A與中，有一個發(fā)生，而且只有一個發(fā)生，注意到必然事件的概率為1，因此（2）如果A與B相互對立，則A與B互斥，但反之不成立，即“A與B相互對立”是“A與B互斥”的充分不必要條件.定義圖形表示符號表示互斥事件給定事件A，B，若事件A與B__不能同時_____發(fā)生，則稱A與B互斥A∩B＝__對立事件給定樣本空間Ω與事件A，則由Ω中_所有不屬于A__________的樣本點組成的事件稱為A的對立事件，記作___A∩B＝___且A∪B＝_【練習1】1.給出事件A與B的關系示意圖，如圖所示，則A.A?B B.A?BC.A與B互斥 D.A與B互為對立事件答案：C【練習2】從1，2，…，9中任取兩數，其中：①恰有一個偶數和恰有一個奇數；②至少有一個奇數和兩個數都是奇數；③至少有一個奇數和兩個數都是偶數；④至少有一個奇數和至少有一個偶數.在上述各對事件中，是對立事件的是A.①B.②④ C.③ D.①③解析從1，2，…，9中任取兩數，包括一奇一偶、兩奇、兩偶，共三種互斥事件，所以只有③中的兩個事件才是對立事件.答案C【練習3】一商店有獎促銷活動中有一等獎與二等獎兩個獎項，其中中一等獎的概率為0.1，中二等獎的概率是0.25，則不中獎的概率是________.解析中獎的概率為0.1＋0.25＝0.35，中獎與不中獎為對立事件，所以不中獎的概率為1－0.35＝0.65.答案0.65問題5.事件的混合運算前面我們給出了事件的三種運算：求兩個事件的和，求兩個事件的積，求一個事件的對立事件。因為事件運算的結果仍是事件，因此可以進行事件的混合運算。例如，這表示與的和，實際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說就是A與B中恰有一個發(fā)生.同數的加、減、乘、除一樣，事件的混合運算也有優(yōu)先級，我們規(guī)定：求積運算的優(yōu)先級高于求和運算，因此可簡寫為：.例1.設A，B為兩個事件，試用A，B表示下列各事件：（1）A，B兩個事件中至少有一個發(fā)生；（2）A事件發(fā)生且B事件不發(fā)生；（3）A,B兩個事件都不發(fā)生解：（1）按照定義有（2）因為B不發(fā)生可以表示為，因此可以寫成（3）按照定義有【變式練習】在試驗“連續(xù)拋擲一枚均勻的色子2次，觀察每次出現的點數”中，事件A表示隨機事件“第一次擲出1點”；事件Aj表示隨機事件“第一次擲出1點，第二次擲出j點”；事件B表示隨機事件“2次擲出的點數之和為6”；事件C表示隨機事件“第二次擲出的點數比第一次的大3”.(1)試用樣本點表示事件A∩B與A∪B；(2)試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件；(3)試用事件Aj表示隨機事件A.解：依照題意可知樣本空間為：(1)因為事件A表示隨機事件“第一次擲出1點”，所以A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}.因為事件B表示隨機事件“2次擲出的點數之和為6”，所以B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.(2)因為事件C表示隨機事件“第二次擲出的點數比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}.因為A∩B＝{(1，5)}≠?，A∩C＝{(1，4)}≠?，B∩C＝?，所以事件A與事件B，事件A與事件C不是互斥事件，事件B與事件C是互斥事件.(3)因為事件Aj表示隨機事件“第一次擲出1點，第二次擲出j點”，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.【解題方法】事件間運算方法(1)利用事件間運算的定義.列出同一條件下的試驗所有可能出現的結果，分析并利用這些結果進行事件間的運算.(2)利用Venn圖.借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現的結果，把這些結果在圖中列出，進行運算.2.盒子里有6個紅球，4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有一個紅球，兩個白球}，事件B＝{3個球中兩個紅球，一個白球}，事件C＝{3個球中至少有一個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}.(1)事件D與A，B是什么樣的運算關系；(2)事件C與A的交事件是什么事件.解析(1)對于事件D，可能的結果為1個紅球2個白球，或2個紅球1個白球，故D＝A∪B.(2)對于事件C，可能的結果為1個紅球2個白球，2個紅球1個白球，或3個紅球，故C∩A＝A.例2.已知數學考試中，李明成績高于90分的概率為0.3，不低于60分且不高于90分的概率為0.5，求：（1）李明成績不低于60分的概率；（2）李明成績低于60分的概率。解：記事件A：李明成績高于90分，B：李明成績不低于60分且不高于90分，則不難看出A與B互斥，且：（1）因為“李明成績不低于60分”可表示為，由A與B互斥可知（2）因為“李明成績低于60分”可表示為，因此【變式練習】某醫(yī)院要派醫(yī)生下鄉(xiāng)義診，派出醫(yī)生的人數及其概率如下表所示：人數01234大于或等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出醫(yī)生至多2人的概率；(2)求派出醫(yī)生至少2人的概率.解：設“不派出醫(yī)生”為事件A，“派出1名醫(yī)生”為事件B，“派出2名醫(yī)生”為事件C，“派出3名醫(yī)生”為事件D，“派出4名醫(yī)生”為事件E，“派出5名及5名以上醫(yī)生”為事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出醫(yī)生至多2人”的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)解法一“派出醫(yī)生至少2人”的概率為P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.解法二“派出醫(yī)生至少2人”的概率為1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.【解題方法】求復雜事件的概率的兩種方法(1)將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件.一般情況下，當一個事件包含多個基本事件時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).(2)將一個較復雜的事件轉化為幾個互斥事件的和事件時，若需要分類太多，而其對立事件的分類較少，則可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”.探索與探究：任意給定兩個事件A，B，考慮之間的等量關系，得出一般的關系式.由韋恩圖可得：小結：1.事件的混合運算同數的