2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.借助詳細(xì)實(shí)例,了解離散型隨機(jī)變量及其分布列.2.體會連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的共性與差異.1.借助教材實(shí)例,了解離散型隨機(jī)變量及其分布列.(數(shù)學(xué)抽象)2.了解離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)、兩點(diǎn)分布的概念.(數(shù)學(xué)抽象)3.會求簡潔的離散型隨機(jī)變量的分布列.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備學(xué)問·素養(yǎng)奠基1.離散型隨機(jī)變量(1)隨機(jī)變量:對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每一個樣本點(diǎn)ω,都有唯一的實(shí)數(shù)XQUOTE與之對應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量.(2)離散型隨機(jī)變量:可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量,我們稱之為離散型隨機(jī)變量.(3)表示:隨機(jī)變量用大寫英文字母表示,如X,Y,Z;隨機(jī)變量的取值用小寫英文字母表示,如x,y,z.(4)本質(zhì):通過引入一個取值依靠于樣本點(diǎn)的變量X,來刻畫樣本點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,實(shí)現(xiàn)樣本點(diǎn)的數(shù)量化.2.離散型隨機(jī)變量的分布列(1)定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個值xi的概率PQUOTE=pi,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡稱分布列.(2)表示:表格Xx1x2…xnPp1p2…pn概率分布圖(3)性質(zhì):①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1.3.兩點(diǎn)分布對于只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用A表示“勝利”,QUOTE表示“失敗”,定義X=QUOTE假如PQUOTE=p,則PQUOTE=1-p,那么X的分布列為X01P1-pp我們稱X聽從兩點(diǎn)分布或0-1分布.若隨機(jī)變量X的分布列為X12P那么X聽從兩點(diǎn)分布嗎?提示:不聽從兩點(diǎn)分布,X的取值只能是0,1.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)一只大熊貓一年內(nèi)的體重是離散型隨機(jī)變量.()(2)離散型隨機(jī)變量的取值肯定是有限個.()(3)離散型隨機(jī)變量是指某一區(qū)間內(nèi)的隨意值.()提示:(1)×.大熊貓一年內(nèi)的體重是連續(xù)型隨機(jī)變量.(2)×.離散型隨機(jī)變量的取值可能是無限個,但是能一一列出.(3)×.離散型隨機(jī)變量的取值可以是隨意的實(shí)數(shù).2.下列變量:①某機(jī)場候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量為X;②某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為X;③某水電站視察到一天中長江的水位為X;④某立交橋一天內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)為X.其中不是離散型隨機(jī)變量的是()A.①中的X B.②中的XC.③中的X D.④中的X【解析】選C.①②④中的隨機(jī)變量X可能取的值,我們都可以按肯定次序一一列出,因此它們都是離散型隨機(jī)變量;③中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,無法按肯定次序一一列出,故它不是離散型隨機(jī)變量.3.袋中有大小相同的5個鋼球,分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個號碼.在有放回地抽取條件下依次取出2個球,設(shè)兩個球號碼之和為隨機(jī)變量X,則X全部可能值的個數(shù)是()A.25 B.10 C.9 D.5【解析】選C.第一次可取1,2,3,4,5中的隨意一個,由于是有放回地抽取,其次次也可取1,2,3,4,5中的任何一個,兩次的號碼和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10.關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一離散型隨機(jī)變量的概念【典例】1.下列所述:①某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差X;②某報(bào)社一天內(nèi)收到的投稿件數(shù)X;③一天之內(nèi)的溫度X;④一位射擊手對目標(biāo)進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)得1分,未擊中目標(biāo)得0分,用X表示該射擊手在一次射擊中的得分.其中X是離散型隨機(jī)變量的是()A.②③B.②④C.③④D.③④2.(多選題)拋擲兩枚骰子一次,記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)減去其次枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為X,那么“X≤-4”表示的隨機(jī)事務(wù)的結(jié)果是()A.第一枚1點(diǎn),其次枚4點(diǎn)B.第一枚2點(diǎn),其次枚6點(diǎn)C.第一枚1點(diǎn),其次枚5點(diǎn)D.第一枚1點(diǎn),其次枚6點(diǎn)【思維·引】1.依據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義推斷;2.利用兩次擲出的點(diǎn)數(shù)驗(yàn)證.【解析】1.選B.②④中的X可以取的值可以一一列舉出來,而①③中的X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,屬于連續(xù)型的.2.選BCD.拋擲兩枚骰子,點(diǎn)數(shù)之差滿意小于等于-4的只有三種狀況,故第一枚為1點(diǎn)、其次枚為6點(diǎn),第一枚為1點(diǎn)、其次枚為5點(diǎn),第一枚為2點(diǎn)、其次枚為6點(diǎn).【內(nèi)化·悟】本例2中,假如擲出的點(diǎn)數(shù)之差的肯定值為隨機(jī)變量X,則X取值有哪些?提示:X=0,1,2,3,4,5.【類題·通】1.關(guān)于離散型隨機(jī)變量的推斷(1)把握離散型隨機(jī)變量的特點(diǎn):有限個或能一一列出;(2)依據(jù)實(shí)際狀況或條件求出隨機(jī)變量的取值進(jìn)行推斷.2.關(guān)于離散型隨機(jī)變量取值的意義關(guān)鍵是明確隨機(jī)試驗(yàn)產(chǎn)生隨機(jī)變量的方法,就可以反推隨機(jī)變量的取值對應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果.這個試驗(yàn)結(jié)果對于求隨機(jī)變量取值對應(yīng)的概率至關(guān)重要.【習(xí)練·破】在8件產(chǎn)品中,有3件次品,5件正品,從中任取一件,取到次品就停止,設(shè)抽取次數(shù)為X,則X=3表示的試驗(yàn)結(jié)果是________.

【解析】X=3表示共抽取3次,前2次均是正品,第3次是次品.答案:共抽取3次,前2次均是正品,第3次是次品【加練·固】一個袋中裝有5個白球和5個黑球,從中任取3個,其中所含白球的個數(shù)為ξ.(1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應(yīng)的ξ的值;(2)若規(guī)定抽取3個球中,每抽到一個白球加5分,抽到黑球不加分,且最終結(jié)果都加上6分,求最終得分η的可能取值,并判定η是否為離散型隨機(jī)變量.【解析】(1)ξ0123結(jié)果取得3個黑球取得1個白球,2個黑球取得2個白球,1個黑球取得3個白球(2)由題意可得:η=5ξ+6,而ξ可能的取值范圍為{0,1,2,3},所以η對應(yīng)的各值是:5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故η的可能取值為6,11,16,21.明顯,η為離散型隨機(jī)變量.類型二離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)【典例】1.離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P9C2-C3-8C則常數(shù)C的值為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.以上都不對2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求:(1)2X+1的分布列;(2)求P(1<X≤4)的值.【思維·引】1.利用分布列中概率和為1求出C值,再驗(yàn)證是否符合性質(zhì)(1);2.(1)求出2X+1的取值,再求出對應(yīng)的概率后列分布列;(2)依據(jù)分布列求出當(dāng)1<X≤4時的概率.【解析】1.選B.由離散型隨機(jī)變量X的分布列,得QUOTE解得C=QUOTE或QUOTE(舍去).2.由分布列的性質(zhì)知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.(1)由題意可知P(2X+1=1)=P(X=0)=0.2,P(2X+1=3)=P(X=1)=0.1,P(2X+1=5)=P(X=2)=0.1,P(2X+1=7)=P(X=3)=0.3,P(2X+1=9)=P(X=4)=0.3.所以2X+1的分布列為:2X+113579P0.20.10.10.30.3(2)P(1<X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+0.3+0.3=0.7.【內(nèi)化·悟】本例1中,C為什么不能取QUOTE?提示:若C=QUOTE,則3-8C=3-QUOTE=-QUOTE<0,不符合分布列的性質(zhì).【類題·通】關(guān)于離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)(1)X的各個取值表示的事務(wù)是互斥的,可以利用互斥事務(wù)和的概率公式求隨機(jī)變量在肯定范圍內(nèi)的概率;(2)兩特性質(zhì)p1+p2+…=1,且pi≥0,i=1,2,…,要逐一驗(yàn)證,特殊不能忽視pi≥0.【習(xí)練·破】1.(2024·重慶高二檢測)已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=mk(k=1,2,3,4,5),則實(shí)數(shù)m=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)殡S機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=mk(k=1,2,3,4,5),所以m+2m+3m+4m+5m=1,解得實(shí)數(shù)m=QUOTE.2.已知隨機(jī)變量X的分布列:X12345Pa(1)求a;(2)求P(X≥4),P(2≤X<5).【解析】(1)由QUOTE+QUOTE+a+QUOTE+QUOTE=1,得a=QUOTE.(2)P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,P(2≤X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.類型三求離散型隨機(jī)變量的分布列【典例】某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)須要回答三個問題,其中前兩個問題回答正確各得10分,回答不正確得0分,第三個問題回答正確得20分,回答不正確得-10分.假如一位挑戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是QUOTE,回答第三個問題正確的概率為QUOTE,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.若這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總分不低于10分就算闖關(guān)勝利.(1)求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X的分布列.(2)求這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)勝利的概率.【思維·引】(1)先確定總得分X的取值,再分別求出概率后列分布列;(2)利用分布列求X≥10的概率.【解析】(1)這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X全部可能的取值為-10,0,10,20,30,40,P(X=-10)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=0)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=10)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=20)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=30)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=40)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以X的分布列為:X-10010203040P(2)依題意總分不低于10分就算闖關(guān)勝利,所以這位挑戰(zhàn)者闖關(guān)勝利的概率P=P(X≥10)=1-P(X≤0)=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE.【類題·通】求離散型隨機(jī)變量的分布列的一般步驟:(1)確定X的全部可能取值xi(i=1,2,…)以及每個取值所表示的意義;(2)利用概率的相關(guān)學(xué)問,求出每個取值相應(yīng)的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…);(3)寫出分布列;(4)依據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).【習(xí)練·破】在射擊的試驗(yàn)中,令X=QUOTE假如射中的概率為0.75,則隨機(jī)變量X的分布列為________.

【解析】由P(X=1)=0.75,得P(X=0)=0.25.所以X的分布列為:X10P0.750.25答案:X10P0.750.25課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知隨機(jī)變量X的分布列是X123Pab則a+b=()A.QUOTEB.QUOTEC.1D.QUOTE【解析】選A.由隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)得:QUOTE+a+b=1,解得a+b=QUOTE.2.某人進(jìn)行射擊,共有10發(fā)子彈,若擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊,射擊次數(shù)為ξ,則ξ=10,表示的試驗(yàn)結(jié)果是()A.第10次擊中目標(biāo)B.第10次未擊中目標(biāo)C.前9次未擊中目標(biāo)D.第9次擊中目標(biāo)【解析】選C.擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊,射擊次數(shù)ξ=10,則說明前9次均未擊中目標(biāo),第10次擊中目標(biāo)或未擊中目標(biāo).3.設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3,…,n,若P(X<4)=0.3,則n=()A.3 B.4 C.10 D.不確定【解析】選C.因?yàn)閄等可能取1,2,3,…,n,所以X的每個值的概率均為QUOTE.由題意知P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=QUOTE=0.3,所以n=10.4.在一次競賽中,需回答三個問題,競賽規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,則選手甲回答這三個問題的總得分ξ的全部可能取值是________.

【解析】在一次競賽中,需回答三個問題,競賽規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,則選手甲回答這三個