湖南師范大學《性代數(shù)》課件 第一章

線性代數(shù)第一章：行列式湖南師范大學第一章:行列式1.二階與三階行列式2.全排列與對換3.n階行列式的定義4.行列式的性質(zhì)5.行列式按行（列）展開二階與三階行列式二階行列式的引入三階行列式小結一、二階行列式的引入由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表二階行列式的計算對角線法則二階行列式的值就是主對角線相乘減去次對角線相乘得到的數(shù)值。主對角線:左上方與右下方組成的對角線。次對角線:另一條對角線。行列式法求解方程組用消元法解二元線性方程組設有二元線性方程組(1)a11·X1+a12·X2=b1a21·X1+a22·X2=b2用加減消元法容易求出未知量x1,x2的值,當a11a22–a12a21≠0時,有(2)X1=(b1·a22-a12·b2)/(a11·a22-a12·a21)X2=(a11·b2-b1·a21)/(a11·a22-a12·a21)注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.二、三階行列式三階行列式的計算(1)沙路法(2)對角線法則紅線上三元素的乘積冠以正號,藍線上三元素的乘積冠以負號對角線法則只適用于二階與三階行列式三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負.三、小結二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.全排列與對換從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素,按照一定的順序排列起來,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。當m＝n時所有的排列情況叫全排列。在排列中,將其中任意兩個元素對調(diào),其余元素不動,就得到另一個排列,這樣一個變換叫做對換。將相鄰兩個元素對換,叫做相鄰對換。一、全排列及其逆序數(shù)把n個不同的元素排成一列,叫做這n個元素的全排列（或排列）n個不同的元素的所有排列的種數(shù),通常用 表示.我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序, n個不同的自然數(shù),規(guī)定由小到大為標準次序在一個排列 中,若數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).排列的奇偶性逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.計算排列逆序數(shù)的方法方法一:分別計算出排在1,2,3,......n-1,n前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出1,2,3,......個元素的逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).方法二:分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).小結1

n個不同的元素的所有排列種數(shù)為n!2

排列具有奇偶性3

計算排列逆序數(shù)常用的方法有2種.三階行列式三階行列式共有6項，即3!項每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積.每項的正負號都取決于位于不同行不同列的三個元素的下標排列n

階行列式的定義確定行列式某一項的符號有三種方法:將列號取標準排列,由其行號組成的排列奇偶性確定;該項行標排列的逆序數(shù)與列標排列的逆序數(shù)之和的奇偶性確定。上三角行列式下三角行列式行列式是一種特定的算式,它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的n階行列式是n!項的代數(shù)和n階行列式的每項都是位于不同行、不同列n個元素的乘積行列式是一種特定的算式,它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的n階行列式共有n!項,每項都是位于不同行、不同列的n個元素的乘積,正負號由下標排列的逆序數(shù)決定對換在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換.將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換對換與排列的奇偶性的關系一個排列中的任意兩個元素對換,排列改變奇偶性奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù),偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)n階行列式也可定義為其中t為行標排列的逆序數(shù)其中 是兩個n 級排列,t為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和小結一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.行列式的三種表示方法行列式的性質(zhì)轉置行列式行列式與它的轉置行列式相等行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立互換行列式的兩行（列）,行列式變號如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零.若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變.余子式與代數(shù)余子式一個矩陣A的余子式（又稱余因式）是指將A的某些行與列去掉之后所余下的方陣的行列式在一個n階行列式D中,把元素aij(i,j=1,2,.....n)所在的行與列劃去后,剩下的(n-1)^2個元素按原來的次序組成的一個n-1階行列式Mij,稱為元素aij的余子式,Mij帶上符號(-1)^(i+j)稱為aij的代數(shù)余子式,記作Aij=(-1)^(i+j)Mi