數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)知識(shí)框架

掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問(wèn)題。

一、典型題的技巧解法

1、求通項(xiàng)公式

（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項(xiàng)。

對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題。

(1)遞推式為a

n+1=a

n

+d及a

n+1

=qa

n

（d，q為常數(shù)）

例1、?已知{a

n}滿足a

n+1

=a

n

+2，而且a

1

=1。求a

n

。

例1、解?∵a

n+1-a

n

=2為常數(shù)∴{a

n

}是首項(xiàng)為1，公差為2

的等差數(shù)列

∴a

n

=1+2（n-1）即a

n

=2n-1

例2、已知{}

n

a滿足

1

1

2

nn

aa

+

=，而

1

2

a=，求

n

a=？

（2）遞推式為a

n+1

=a

n

+f（n）

例3、已知{}

n

a中

1

1

2

a=，

12

1

41

nn

aa

n

+

=+

-

，求

n

a.

解：由已知可知

)1

2

)(1

2(

1

1-

+

=

-

+n

n

a

a

n

n

)

1

2

1

1

2

1

(

2

1

+

-

-

=

n

n

令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）個(gè)等式累加，即（a

2

-a

1

）

+（a

3

-a

2

）+…+（a

n

-a

n-1

）

★說(shuō)明?只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，

就可以由a

n+1

=a

n

+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得

n-1個(gè)等式累加而求a

n

。

(3)遞推式為an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）例4、{}na中，11a=，對(duì)于n＞1（n∈N）有132nnaa-=+，求na.解法一：由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）

因此數(shù)列{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a1=（3×1+2）-1=4

∴an+1-an=4·3n-1∵an+1=3an+2?∴3an+2-an=4·3n-1即an=2·3n-1-1

解法二：上法得{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，

把

n-1

個(gè)

等

式

累

加

得

：∴an=2·3n-1-1

(4)遞推式為an+1=pan+qn（p，q為常數(shù)）

)(3211-+-=

-nnnnbbbb由上題的解法，得：nnb)3

2(23-=∴nnn

nnba)31(2)21(32

-==

(5)遞推式為21nnnapaqa++=+

思路：設(shè)21nnnapaqa++=+,可以變形為：

211()nnnnaaaaαβα+++-=-，

想

于是{an+1-αan}是公比為β的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的

類型。

求na。

(6)遞推式為Sn與an的關(guān)系式

關(guān)

系；（2）試用n表示an。

∴

)2121(

)(1

2

11--++-+-=-nnnnnnaaSS

∴

1

1121-+++

-=nnnnaaa

∴nnnaa2

1

211+=

+上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則{2nan}是公差為2的等差數(shù)列。

∴2nan=2+（n-1）·2=2n

數(shù)列求和的常用方法：

1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。

2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如果{}na等差，{}nb等比，那么{}nnab叫做差比數(shù)列）

即把每一項(xiàng)都乘以{}nb的公比q，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。

3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，

只余有限幾項(xiàng)，可求和。

適用于數(shù)列11nnaa+????

???和1nnaa+????+????

（其中{}na等差）

可裂項(xiàng)為：

11

1111

()nnnnaadaa++=-?，

1

d

=

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題：

1、若等差數(shù)列{}na的首項(xiàng)10

a>，公差0

d，則前n項(xiàng)和

n

S有

最小值

（?。┤粢阎?xiàng)

n

a，則

n

S最小?

1

n

n

a

a

+

≤

?

?

≥

?

；

（ⅱ）若已知2

n

Spnqn

=+，則當(dāng)n取最靠近

2

q

p

-的非零自然

數(shù)時(shí)

n

S最小；

數(shù)列通項(xiàng)的求法：

⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。

⑵已知

n

S（即

12

()

n

aaafn

+++=）求

n

a，用作差法：

{1

1

,(1)

,(2)

n

nn

Sn

aSSn

-

=

=-≥。

已知

12

()

n

aaafn

=求

n

a，用作商法：

(1),(1)

()

,(2)

(1)

n

fn

fn

an

fn

=

??

=?≥

?-

?

。

⑶已知條件中既有

n

S還有

n

a，有時(shí)先求

n

S，再求

n

a；有時(shí)也可

直接求

n

a。

⑷若

1

()

nn

aafn

+

-=求

n

a用累加法：

11221()()()nnnnnaaaaaaa---=-+-++-1a+(2)n≥。

⑸

已

知

1

()nn

afna+=求

n

a，用累乘法：

1

2

112

1

nnnnnaaaaaaaa---=

???

?(2)n≥。⑹已知遞推關(guān)系求na，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。

特別地，（1）形如1nnakab-=+、1nnnakab-=+（,kb為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求na；形如1nnnakak-=+的遞推數(shù)列都可以除以nk得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求na。

（2）形如1

1nnnaakab

--=

+的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通

項(xiàng)。

（3）形如1knnaa+=的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通

項(xiàng)。

（7）（理科）數(shù)學(xué)歸納法。

（8）當(dāng)遇到qaadaannnn==--+-+1

1

11或

時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段形式。

數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式。（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，

發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）.

（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）.

（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：①

111(1)1nnnn=-++；②1111()()nnkknnk

=-++；③

2211111

()1211

kkkk<=---+，

211111111(1)(1)1kkkkkkkkk

-=<<=-++--；④

1111

[]

(1)(2)2(1)(1)(2)

nnnnnnn=-+++++；⑤

11

(1)!!(1)!

nnnn=-++；

⑥=

<<=

二、解題方法：

求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：

1、公式法

2、nnaS求由

3、求差（商）法

解：naa==?+=11

2

2151411時(shí)，，∴

［練習(xí)］

4、疊乘法

解：

aaaaaannaan

nnn213211122311·……·……，∴-=-=5、等差型遞推公式

［練習(xí)］

6、等比型遞推公式

［練習(xí)］

7、倒數(shù)法

2．?dāng)?shù)列求和問(wèn)題的方法

（1）、應(yīng)用公式法

等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對(duì)求和來(lái)說(shuō)是有益的。

1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2

求數(shù)列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n項(xiàng)的和。

解?本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+…+n=)1

(

2

1

n

n個(gè)奇數(shù)，

∴最后一個(gè)奇數(shù)為：1+[

2

1

n(n+1)-1]×2=n2+n-1

因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為

（2）、分解轉(zhuǎn)化法

對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。求和S=1·（n2-1）+2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）解?S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）

（3）、倒序相加法

適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，然后求和。

例10、求和：12363n

nnnnSCCnC=+++

例10、解012

0363n

nnnnnSCCCnC=?++++

∴Sn=3n·2n-1

（4）、錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和．

例11、求數(shù)列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n項(xiàng)的和．

解?設(shè)Sn=1+3+5x2

+…+(2n-1)xn-1

．???①

(2)x=0時(shí)，Sn=1．

(3)當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，在式①兩邊同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②

①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．

(5)裂項(xiàng)法：

把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。

常見(jiàn)裂項(xiàng)方法：

例12、求和

111

1

153759(21)(23)

nn+++???-+

注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般

地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。

在掌握常見(jiàn)題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用。

二、常用數(shù)學(xué)思想方法

1．函數(shù)思想

運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決。

?等差數(shù)列{a

n}的首項(xiàng)a

1

＞0，前n項(xiàng)的和為S

n

，若S

l

=S

k

（l≠k）問(wèn)n為何值時(shí)S

n

最大？

此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)。∵a

1＞0?S

l

=S

k

（l≠k），

∴d＜0故此二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下∵f（l）=f（k