2025屆湖南省長(zhǎng)沙縣三中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆湖南省長(zhǎng)沙縣三中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)，Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長(zhǎng)的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.62．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3．已知，若，則（）A. B.2C. D.e4．某地為響應(yīng)總書記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對(duì)該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測(cè)量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測(cè)得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，則A，B間的直線距離約為（參考數(shù)據(jù)）（）A.60米 B.120米C.150米 D.300米5．2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶祝活動(dòng)標(biāo)識(shí)（圖1），標(biāo)識(shí)由黨徽、數(shù)字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動(dòng)展現(xiàn)中國共產(chǎn)黨團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程.其中“100”的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切（圖2）.已知，在兩大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.6．已知下列四個(gè)命題，其中正確的是（）A. B.C. D.7．已知正數(shù)x，y滿足，則取得最小值時(shí)（）A. B.C.1 D.8．已知是拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若，則（）A1011 B.2020C.2021 D.20229．過雙曲線的右焦點(diǎn)有一條弦是左焦點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)為（）A.28 B.C. D.10．若且，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A B.C. D.11．設(shè)集合或，，則（）A. B.C. D.12．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的面積為_______14．若，滿足約束條件，則的最小值為__________15．已知直線與垂直，則m的值為______16．若兩定點(diǎn)A，B的距離為3，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于、和、四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)在棱上，且平面（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值21．（12分）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）已知橢圓C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線，分別經(jīng)過點(diǎn)與C相切，切點(diǎn)分別為A，B，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為圓心與點(diǎn)的距離加上半徑即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以，圓上點(diǎn)在線段上時(shí)，，故選：A2、C【解析】先把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出即可求解【詳解】由，有，可得，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C3、B【解析】求得導(dǎo)函數(shù)，則，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】,.,解得：.故選：B4、C【解析】應(yīng)用正弦定理有，結(jié)合已知條件即可求A，B間的直線距離.【詳解】由題設(shè)，，在△中，，即，所以米.故選：C5、B【解析】求出兩圓相交公共部分兩個(gè)弓形面積，結(jié)合兩圓面積可得概率【詳解】如圖，是兩圓心，是兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形邊長(zhǎng)均為，又，所以，所以，四邊形是正方形，，弓形面積為，兩個(gè)弓形面積為，兩圓涉及部分面積為所以所求概率為故選：B6、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可求解判斷.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B.7、B【解析】根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，取等號(hào)，而，所以解得，故選：B8、C【解析】結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算以及拋物線的定義求得正確答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，所以，準(zhǔn)線為：，因此，所以，即，由拋物線的定義可得，所以故選：C9、C【解析】根據(jù)雙曲線方程得，，由雙曲線的定義，證出，結(jié)合即可算出△的周長(zhǎng)【詳解】雙曲線方程為，，根據(jù)雙曲線的定義，得，，，，相加可得，，，因此△的周長(zhǎng)，故選：C10、C【解析】對(duì)于A，作商比較，對(duì)于B，利用基本不等式的推廣式判斷，對(duì)于C，利用在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積判斷，對(duì)于D，利用放縮法判斷【詳解】，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積（必修三閱讀材料割圓術(shù)），則，故正確；，故錯(cuò)誤故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查不等式的綜合應(yīng)用，考查基本不等式的推廣式的應(yīng)用，考查放縮法的應(yīng)用，對(duì)于C項(xiàng)解題的關(guān)鍵是利用了在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于難題11、B【解析】根據(jù)交集的概念和運(yùn)算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，.故選：B.12、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)橢圓定義得出，進(jìn)而對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式得出的最小值，并求出的值，進(jìn)而求出面積.【詳解】由橢圓定義可知，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”.又，所以.所以，由勾股定理可知：，所以.故答案為：.14、【解析】作出線性約束條件的可行域，再利用截距的幾何意義求最小值；【詳解】約束條件的可行域，如圖所示：目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得最小值，即.故答案為：15、0或-9##-9或0【解析】根據(jù)給定條件利用兩直線互相垂直的性質(zhì)列式計(jì)算即得.【詳解】因直線與垂直，則有，解得或，所以m的值為0或-9.故答案為：0或-916、【解析】建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意和兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式可得，結(jié)合圓的面積公式計(jì)算即可.【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)點(diǎn)，則，由，化簡(jiǎn)并整理得：，于是得點(diǎn)M軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出，即可得到拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式表示出，同理可得，則四邊形的面積，最后利用基本不等式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：由已知知：，解得，故拋物線的方程為：.【小問2詳解】解：由（1）知：，設(shè)直線方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立得，則，所以，，∴，同理可得，∴四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴四邊形面積的最小值為2.18、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）利用平面與平面垂直的性質(zhì)得出直線與平面垂直，進(jìn)而得出平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系即可求解.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為且平面中，所以平面又平面所以又，且所以平面【小問2詳解】解：由（1）知，平面且所以、、兩兩垂直因此以原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因?yàn)椋?，，設(shè)所以，，，，由（1）知，平面所以為平面的法向量且因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為所以解得：所以，又，，所以，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為：，所以，令，則令，則，，即設(shè)平面與平面夾角為則所以平面與平面夾角的余弦值為.19、（1）（2）【解析】（1）先求導(dǎo)，由到數(shù)值求出斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求出方程即可；（2）采用分離常數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】時(shí)，，，則，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即【小問2詳解】對(duì)任意的，恒成立，即，對(duì)任意的，令，即，則，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以20、（1）答案見解析；（2）.【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，（1）設(shè)，由平面，可得，從而數(shù)量積為零，可求出的值，進(jìn)而可求得的值；（2）利用空間向量求二面角的余弦值【詳解】解：（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則點(diǎn)，，，則，因?yàn)槠矫?，所以，所以，解得或?dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，（2）因?yàn)?，由?）知，平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以令，則所以，由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為21、（1）的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為；（2）.【解析】（1）用基本量表示題干中的量，聯(lián)立求解即可；（2）由，，用乘公比錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由已知，得，而，所以，解得，所以.由得.①，由得.②，聯(lián)立①②解得，所以.故的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由，得.，，上述兩式相減，得，所