北師版八年級數(shù)學(xué)上冊 第二章 實數(shù) 知識歸納與題型突破（二十一類題型清單）

第二章實數(shù)知識歸納與題型突破（二十一類題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、平方根和立方根類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論二、無理數(shù)與實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類實數(shù)要點：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).4.實數(shù)的運算數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進(jìn)行，有括號先算括號里.5.實數(shù)的大小的比較

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小；法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）.3.最簡二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.要點：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.四、二次根式的運算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：要點：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如. 2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.0303題型歸納題型一實數(shù)的概念與分類例題1．在下列各數(shù)：3.1415926、、0.2、、、、中，無理數(shù)的個數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5鞏固訓(xùn)練2．在實數(shù)，（每隔一個1增加一個0）中，無理數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．下列說法正確的是（

）A．兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù)C．實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示 D．分?jǐn)?shù)可能是無理數(shù)4．把下列各數(shù)填人相應(yīng)的集合內(nèi)：（相鄰兩個8之間0的個數(shù)逐步甲1），整數(shù)集合｛

…

｝負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛

…｝有理數(shù)集合｛

…｝無理數(shù)集合｛

…｝題型二平方根與算術(shù)平方根例題5．下列說法正確的是（

）A．的立方根是 B．的算術(shù)平方根是C．的平方根是 D．0的平方根與算術(shù)平方根都是0鞏固訓(xùn)練6．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．7．一個正數(shù)的兩個平方根分別為與，則這個正數(shù)為（

）A．1 B．2 C． D．48．下列說法中錯誤的是（）A．是0.25的一個平方根 B．正數(shù)的兩個平方根的和為0C．的平方根是 D．當(dāng)時，有平方根9．的算術(shù)平方根等于（

）A．4 B． C．2 D．題型三平方根、立方根的解方程問題例題10．解方程：(1)(2)7鞏固訓(xùn)練11．求出下列的值．(1)；(2)．題型四算術(shù)平方根的非負(fù)性例題12．已知a、b為實數(shù)，且，則的值為（

）A． B． C． D．13鞏固訓(xùn)練13．已知為實數(shù)，且，則的值為（

）A． B． C． D．14．已知與互為相反數(shù)．(1)求、的值．(2)求的平方根．15．已知一個正方形的邊長為，面積為，則（

）A． B．的平方根是C．是的算術(shù)平方根 D．題型五立方根例題16．對于說法錯誤的是（

）A．表示的立方根B．結(jié)果等于 C．與的結(jié)果相等 D．沒有意義鞏固訓(xùn)練17．下列說法正確的是（

）A．任意實數(shù)都有平方根 B．任意實數(shù)都有立方根C．任意實數(shù)都有平方根和立方根 D．正數(shù)的平方根和立方根都只有一個18．．19．，．20．已知，則的值是（）A． B．2 C． D．3題型六立方根的性質(zhì)及應(yīng)用例題21．若，則x和y的關(guān)系是（）A．x=y=0 B．x和y互為相反數(shù) C．不能確定 D．x和y相等鞏固訓(xùn)練22．已知與互為相反數(shù)，則．23．的平方根為，的立方根為2，則的值為（

）A． B．3 C． D．不確定題型七平方根與立方根綜合問題例題24．若一個數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根相同，則這個數(shù)是（）A．1 B．0或1 C．0 D．非負(fù)數(shù)鞏固訓(xùn)練25．已知的平方根是，的立方根是2，則，，的算術(shù)平方根是．26．如果為的算術(shù)平方根，為的立方根，則的平方根為．題型八算術(shù)平方根、立方根的實際應(yīng)用例題27．依次連結(jié)方格四條邊的中點得到一個陰影正方形，設(shè)每一方格的邊長為1，陰影正方形的邊長是（

）

A．2 B． C． D．2.5鞏固訓(xùn)練28．如圖在長方形內(nèi)，兩個小正方形的面積分別為1和2，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B．1 C． D．29．已知一個正方體的體積是，現(xiàn)在要在它的8個角上分別截去1個大小相同的小正方體，截去后余下部分的體積為，則截去的每個小正方體的棱長是．題型九算術(shù)平方根、立方根小數(shù)點移動問題例題如果，，那么．鞏固訓(xùn)練31．已知，則的值是（

）A． B． C． D．32．已知聰明的同學(xué)你能不用計算器得出（1）．（2）．題型十用計算器開方例題33．利用教材中的計算器依次按鍵如下：則計算器顯示的結(jié)果與下列各數(shù)中最接近的一個是（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9鞏固訓(xùn)練34．在使用DY-570型號的計算器時，小明輸入一個數(shù)據(jù)后，按照以下步驟操作，依次按照從第一步到第三步循環(huán)按鍵：若一開始輸入的數(shù)據(jù)為5，那么第2022步之后，顯示的結(jié)果是（

）A．5 B． C． D．2535．若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器進(jìn)行計算，其按鍵順序為：

則輸出結(jié)果為（

）A．8 B．4 C． D．題型十一整數(shù)部分、小數(shù)部分問題例題36．若的整數(shù)部分為，則的算術(shù)平方根的值最接近整數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5鞏固訓(xùn)練37．已知的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，則．38．已知正數(shù)x的兩個不等的平方根分別是和，的立方根為；c是的整數(shù)部分，若，其中m為整數(shù)，，則．39．在學(xué)習(xí)《實數(shù)》內(nèi)容時，我們通過“逐步逼近”的方法可以計算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，請回答問題：(1)介于連續(xù)的兩個整數(shù)和，且，那么，；(2)如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；(3)已知：，其中是整數(shù)，且，求的值．題型十二實數(shù)的大小比較例題40．在實數(shù)1，0，，中，最小的是．鞏固訓(xùn)練41．比較大?。海ㄌ顚憽埃尽被颉埃肌被颉埃健保?2．比較大?。海ㄟx填“”，“”或“”）題型十三實數(shù)與數(shù)軸例題43．如圖，實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點可能是（

）

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點鞏固訓(xùn)練44．下列說法正確的是（

）A．有理數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)B．是一個近似值，不是準(zhǔn)確值C．兩個整數(shù)相除，如果永遠(yuǎn)都除不盡，那么結(jié)果一定是一個無理數(shù)D．任意一個無理數(shù)的絕對值都是正數(shù)45．觀察下圖，每個小正方形的邊長均為1．

(1)圖中陰影部分（正方形）的面積是___________，邊長是___________；(2)作圖：在數(shù)軸上作出邊長的對應(yīng)點P（要求保留作圖痕跡）；

(3)在（2）題的數(shù)軸上表示1的點記為M，點N也在這條數(shù)軸上且，直接寫出點N表示的數(shù)．題型十四無理數(shù)的估算例題46．估計的值應(yīng)在（

）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間鞏固訓(xùn)練47．已知，，是連續(xù)的正整數(shù)，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．748．是連續(xù)的兩個整數(shù)，若，則的值為．49．下面是小李同學(xué)探索的近似數(shù)的過程：∵面積為107的正方形邊長是，且，∴設(shè)，其中，畫出如圖示意圖，∵圖中，．∴，當(dāng)較小時，省略，得，得到，即．

(1)的整數(shù)部分是______；(2)仿照上述方法，探究的近似值．（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程，精確到0.1）(3)結(jié)合上述具體實例，已知非負(fù)整數(shù)a、b、m，若，且，請估算______．（用a、b的代數(shù)式表示）題型十五程序框圖例題50．在信息技術(shù)課上，好學(xué)的小明制作了一個關(guān)于實數(shù)的運算程序如圖所示，若輸出的y值為時，則輸入的實數(shù)x可取的負(fù)整數(shù)值是．鞏固訓(xùn)練51．如圖，有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下圖所示，當(dāng)輸入x的值為64時，則輸出y的值是．52．如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器示意圖：(1)當(dāng)輸入的x為36時，輸出的y的值是_______；(2)若輸入x值后，始終輸不出y的值，則滿足題意的x值是_______；(3)若輸出的，則x的最小整數(shù)值是_______.題型十六材料信息題例題53．觀察上表中的數(shù)據(jù)信息：則下列結(jié)論：①；②；③只有3個正整數(shù)滿足；④．其中正確的是．（填寫序號）a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…鞏固訓(xùn)練54．對于任何實數(shù)a，我們規(guī)定：用符號表示不超過a的最大整數(shù)，例如：，，．現(xiàn)對進(jìn)行如下操作：，這樣對只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．類似地，只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是．題型十七二次根式的概念、有意義的條件、求值例題55．下列式子屬于二次根式的是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練56．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．57．已知，則的取值范圍是.58．已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值為．59．已知x、y為實數(shù)，且，則x、y的值分別為（）A．9、4 B．2、3 C．4、9 D．3、4題型十八二次根式的化簡例題60．化簡：鞏固訓(xùn)練61．若，則化簡后的結(jié)果是（

）A． B． C． D．62．實數(shù)對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C．5 D．63．如果，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十九最簡二次根式等有關(guān)概念例題64．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練65．下列根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．66．下列各組二次根式中，能合并的是(

)A．和 B．和 C．和 D．和67．若最簡二次根式與是同類二次根式，則．68．如果最簡二次根式和能合并，則x的值為（

）A． B． C．2 D．5題型二十二次根式的運算例題69．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練70．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．71．計算：(1)；(2)；(3)．72．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．73．計算：．題型二十一二次根式的應(yīng)用例題74．李老師家裝修，長方形電視背景墻的長為，寬為，中間要鑲一個長為，寬為的長方形大理石圖案（圖中陰影部分）．

(1)背景墻的周長是多少？（結(jié)果化為最簡二次根式）(2)除去大理石圖案部分，其它部分貼壁紙，若壁紙造價為2元/，大理石造價為元/，則整個電視背景墻需要花費多少元？（結(jié)果化為最簡二次根式）鞏固訓(xùn)練75．快遞公司為顧客的快遞提供紙箱包裝服務(wù)，現(xiàn)有三款長方體包裝紙箱的高相同，底面規(guī)格如表：型號長寬小號中號大號已知甲、乙兩件長方體禮品底面都是正方形，底面積分別為，，兩件禮品的高都小于包裝紙箱的高．若要將它們合在一個包裝箱中寄出，底面擺放方式如圖，從節(jié)約材料的角度考慮，應(yīng)選擇哪種底面型號的紙箱?76．我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶，古希臘的幾何學(xué)家海倫都給出了三角形面積計算公式，這兩個公式實質(zhì)相同，我們稱之為“海倫—秦九韶公式”．即如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記，那么三角形的面積為．根據(jù)上述知識，解決下列問題．(1)如圖，中，，，，請利用上述公式求的面積；(2)在（1）的條件下，作于點D，求，的長．

第二章實數(shù)知識歸納與題型突破（二十一類題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、平方根和立方根類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論二、無理數(shù)與實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類實數(shù)要點：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).4.實數(shù)的運算數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進(jìn)行，有括號先算括號里.5.實數(shù)的大小的比較

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而??；法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）.3.最簡二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.要點：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.四、二次根式的運算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：要點：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如. 2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.0303題型歸納題型一實數(shù)的概念與分類例題1．在下列各數(shù)：3.1415926、、0.2、、、、中，無理數(shù)的個數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【解析】解：3.1415926、0.2都是有限小數(shù)，是有理數(shù)，、都是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，是整數(shù)，是有理數(shù)，、是無理數(shù)，共2個，故選：A．【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有∶π、2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0．01010010001?，等有這樣規(guī)律的數(shù)．鞏固訓(xùn)練2．在實數(shù)，（每隔一個1增加一個0）中，無理數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)無理數(shù)的三種形式求解即可．【解析】解：在這8個數(shù)中，無理數(shù)有、、、（每各一個1增加一個這4個，故選：C．【點睛】本題考查了無理數(shù)的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有的數(shù)．3．下列說法正確的是（

）A．兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù)C．實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示 D．分?jǐn)?shù)可能是無理數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)實數(shù)的有關(guān)概念、實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系對各項逐一分析判斷即可．【解析】A.兩個無理數(shù)的和可能是無理數(shù)，也可能是有理數(shù)，如互為相反數(shù)的一對無理數(shù)和，它們的和是0，是有理數(shù)，故本選項說法錯誤，不符合題意；B.無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，故本選項說法錯誤，不符合題意；C.實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，說法正確，符合題意；D.分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，故本選項說法錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的有關(guān)概念和實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，熟練掌握實數(shù)的基本概念是解題的關(guān)鍵．4．把下列各數(shù)填人相應(yīng)的集合內(nèi)：（相鄰兩個8之間0的個數(shù)逐步甲1），整數(shù)集合｛

…

｝負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛

…｝有理數(shù)集合｛

…｝無理數(shù)集合｛

…｝【答案】見解析【分析】根據(jù)有理數(shù)、無理數(shù)、整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)的定義分別判斷即可得出答案．【解析】解：整數(shù)集合｛；…

｝負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛；…｝有理數(shù)集合｛；…｝無理數(shù)集合｛（相鄰兩個8之間依次多1個0），

…｝【點睛】此題主要考查了有理數(shù)、無理數(shù)、整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)的定義注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，1（每兩個8之間依次多1個0）等形式．題型二平方根與算術(shù)平方根例題5．下列說法正確的是（

）A．的立方根是 B．的算術(shù)平方根是C．的平方根是 D．0的平方根與算術(shù)平方根都是0【答案】D【分析】利用平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義逐項進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A．的立方根是，故此選項不符合題意；B．的算術(shù)平方根是4，故此選項不符合題意；C．的平方根是，故此選項不符合題意；D．0的平方根與算術(shù)平方根都是0，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查平方根、算術(shù)平方根、立方根，理解平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義是正確解答的前提．鞏固訓(xùn)練6．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的法則分別計算，進(jìn)而判斷得出答案．【解析】解：A．，故此選項正確，符合題意；B．，故此選項錯誤，不合題意；C．，故此選項錯誤，不合題意；D．，故此選項錯誤，不合題意．故選：A．【點睛】此題主要考查了平方根和算術(shù)平方根，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．7．一個正數(shù)的兩個平方根分別為與，則這個正數(shù)為（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【分析】本題考查平方根，解一元一次方程，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平方根的定義可知，解方程即可．【解析】解：由題意得：，解得：，∴這個正數(shù)為，故選：D．8．下列說法中錯誤的是（）A．是0.25的一個平方根 B．正數(shù)的兩個平方根的和為0C．的平方根是 D．當(dāng)時，有平方根【答案】D【分析】根據(jù)各個選項中的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題．【解析】解：是的一個平方根，故選項A正確，不符合題意；因為正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，故它們的和為0，故選項B正確，不符合題意；的平方根是，故選項C正確，不符合題意；因為負(fù)數(shù)沒有平方根，故當(dāng)時，沒有平方根，故選項D錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查平方根，解答本題的關(guān)鍵是明確什么是平方根，可以判斷各個選項是否正確．9．的算術(shù)平方根等于（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】計算，由此解答即可．【解析】解：∵，∴的算術(shù)平方根是2，故選：C．【點睛】此題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，正確掌握算術(shù)平方根的定義：一個正數(shù)的平方等于a，則這個數(shù)是a的算術(shù)平方根，熟記定義是解題的關(guān)鍵．題型三平方根、立方根的解方程問題例題10．解方程：(1)(2)7【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)求平方根的方法解方程即可；（2）根據(jù)求立方根的方法解方程即可．【解析】（1）解：∵，∴或，∴或；（2）解：∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求立方根和求平方根的方法是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練11．求出下列的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先移項，再根據(jù)平方根的定義解答；（2）兩邊同時除以后開立方即可求得的值．【解析】（1）解：，∴，解得：；（2），∴，∴，解得：．【點睛】本題考查了根據(jù)平方根、立方根解方程，熟練掌握平方根與立方根的定義是解題的關(guān)鍵．題型四算術(shù)平方根的非負(fù)性例題12．已知a、b為實數(shù)，且，則的值為（

）A． B． C． D．13【答案】A【分析】應(yīng)用算術(shù)平方根及絕對值的非負(fù)性，非負(fù)數(shù)之和等于0時，各項都等于0，利用此性質(zhì)列方程解決求值問題，進(jìn)行計算即可得出答案．【解析】解：，，故選A．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根及絕對值的非負(fù)性，熟練掌握算術(shù)平方根及絕對值的非負(fù)性進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練13．已知為實數(shù)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性和平方的非負(fù)性即可解答．【解析】解：∵，∴，，∴，，∴，故選．【點睛】本題考查了二次根式的非負(fù)性，平方的非負(fù)性，一元一次方程的實際應(yīng)用，掌握二次根式的非負(fù)性及平方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．14．已知與互為相反數(shù)．(1)求、的值．(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由相反數(shù)的性質(zhì)可得，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)建立方程求解即可.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求得代數(shù)式的值，進(jìn)而求平方根即可求解．【解析】（1）解：由題意得：，∴，，解得：，，（2）解：∵，，∵，∴的平方根為.【點睛】本題考查的是相反數(shù)的含義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平方根的含義，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)建立方程求解是解本題的關(guān)鍵.15．已知一個正方形的邊長為，面積為，則（

）A． B．的平方根是C．是的算術(shù)平方根 D．【答案】C【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義，即可解答．【解析】解：根據(jù)題意得：，是的算術(shù)平方根，的平方根是，故選：C．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根和平方根，解決本題的關(guān)鍵是對算術(shù)平方根和平方根的定義的理解．題型五立方根例題16．對于說法錯誤的是（

）A．表示的立方根 B．結(jié)果等于 C．與的結(jié)果相等 D．沒有意義【答案】D【分析】根據(jù)立方根的定義，對各選項分析判斷后進(jìn)行求解.【解析】解：A、表示的立方根，說法正確，不符合題意；B、，說法正確，不符合題意；C、與的結(jié)果相等，說法正確，不符合題意；D、有意義，說法錯誤，符合題意；故選：D.【點睛】本題考查了立方根的定義，是基礎(chǔ)題，比較簡單.鞏固訓(xùn)練17．下列說法正確的是（

）A．任意實數(shù)都有平方根 B．任意實數(shù)都有立方根C．任意實數(shù)都有平方根和立方根 D．正數(shù)的平方根和立方根都只有一個【答案】B【分析】根據(jù)平方根和立方根的性質(zhì)逐項判斷即可得．【解析】解：A、因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以此項錯誤，不符合題意；B、任意實數(shù)都有立方根，則此項正確，符合題意；C、因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以此項錯誤，不符合題意；D、因為正數(shù)的平方根有兩個，所以此項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了平方根和立方根，熟練掌握平方根和立方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．．【答案】【分析】根據(jù)立方與開立方為互逆運算即可解答．【解析】，故答案為：．【點睛】本題考查了立方與立方根，解題的關(guān)鍵是熟知立方與開立方為互逆運算．19．，．【答案】3；．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，立方根的定義解答即可．【解析】解：，，故答案為：3；．【點睛】本題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根和立方根；正確的計算是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫a的平方根，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．立方根：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根．20．已知，則的值是（）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】先根據(jù)立方根的定義求出的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義計算求解即可．【解析】解：，，解得，∴，故選：D．【點睛】本題考查了立方根與算術(shù)平方根、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握立方根與算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．題型六立方根的性質(zhì)及應(yīng)用例題21．若，則x和y的關(guān)系是（）A．x=y=0 B．x和y互為相反數(shù) C．不能確定 D．x和y相等【答案】D【分析】先移項，再兩邊立方，即可得出，得出選項即可．【解析】∵,∴,∴，即x和y相等，故選D．【點睛】考查了立方根的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能得出．鞏固訓(xùn)練22．已知與互為相反數(shù)，則．【答案】6【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出x的值，進(jìn)而代入計算得出答案．【解析】解：由題意可知：，解得：．故答案為：6．【點睛】此題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，正確得出x的值是解題關(guān)鍵．23．的平方根為，的立方根為2，則的值為（

）A． B．3 C． D．不確定【答案】B【分析】根據(jù)平方根定義立方根定義列式求出a，b，代入求解即可得到答案；【解析】解：∵的平方根為，的立方根為2，∴，，解得：，，∴，故選B；【點睛】本題考查平方根的定義，立方根的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)定義列式求解．題型七平方根與立方根綜合問題例題24．若一個數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根相同，則這個數(shù)是（）A．1 B．0或1 C．0 D．非負(fù)數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根及立方根定義，結(jié)合四個選項中的數(shù)逐項驗證即可得到答案．【解析】解：0的算術(shù)平方根為0；0的立方根為0；1的算術(shù)平方根為1；1的立方根為1；若一個數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根相同，則這個數(shù)是0或1，故選：B．【點睛】本題考查算術(shù)平方根及立方根定義，理解題意，弄清楚一個數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根相同的含義是解決問題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練25．已知的平方根是，的立方根是2，則，，的算術(shù)平方根是．【答案】592【分析】根據(jù)平方根的定義和立方根的定義列方程，求解即可得到、的值，再代入，即可求出其算術(shù)平方根．【解析】解：的平方根是，，；的立方根是2，，；，的算術(shù)平方根為，故答案為：5；9；2．【點睛】本題考查了平方根的定義，立方根的定義，算術(shù)平方根的定義，代數(shù)式求值，掌握相關(guān)定義正確計算是解題關(guān)鍵．26．如果為的算術(shù)平方根，為的立方根，則的平方根為．【答案】【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義列出方程組，解出、，再代入、求出結(jié)果，進(jìn)而得到的平方根．【解析】解：∵為的算術(shù)平方根，為的立方根，∴，解得：，∴，，∴，∴的平方根為．故答案為：．【點睛】本題考查算術(shù)平方根、平方根和立方根的定義，解二元一次方程組．掌握平方根和立方根的定義是解題關(guān)鍵．題型八算術(shù)平方根、立方根的實際應(yīng)用例題27．依次連結(jié)方格四條邊的中點得到一個陰影正方形，設(shè)每一方格的邊長為1，陰影正方形的邊長是（

）

A．2 B． C． D．2.5【答案】B【分析】首先求出陰影正方形的面積，即可得出邊長．【解析】解：陰影正方形的面積為，∴陰影正方形的邊長是，故選B．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，關(guān)鍵是明確算術(shù)平方根的意義．鞏固訓(xùn)練28．如圖在長方形內(nèi)，兩個小正方形的面積分別為1和2，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由兩個小正方形的面積分別為1、2，得出其邊長分別為和，則陰影部分的長等于，寬等于的長方形，從而可得答案．【解析】解：面積為2的正方形的邊長為：，面積為1的正方形的邊長為：，則陰影部分面積為：，故選：D．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根在面積計算中的應(yīng)用，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大．29．已知一個正方體的體積是，現(xiàn)在要在它的8個角上分別截去1個大小相同的小正方體，截去后余下部分的體積為，則截去的每個小正方體的棱長是．【答案】2【分析】本題考查了立方根的應(yīng)用，設(shè)截去的每個小正方體的棱長是，由題意得出，整理得，再利用立方根的定義解方程即可得出答案．【解析】解：設(shè)截去的每個小正方體的棱長是，由題意得：，整理得：，解得：，截去的每個小正方體的棱長是，故答案為：．題型九算術(shù)平方根、立方根小數(shù)點移動問題例題30．如果，，那么．【答案】【分析】根據(jù)立方根的性質(zhì)，即可解答．【解析】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了立方根；解決本題的關(guān)鍵是熟記立方根的性質(zhì)．鞏固訓(xùn)練31．已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)被開方數(shù)的變化與立方根的值的變化之間的變化規(guī)律即可得到答案．【解析】∵，∴故選：D．【點睛】本題考查了被開方數(shù)的變化與立方根的值的變化之間的變化規(guī)律．當(dāng)被開方數(shù)的小數(shù)點每向右(或向左)移動3位，它的立方根的小數(shù)點就相應(yīng)的向右(或向左)移動1位．32．已知聰明的同學(xué)你能不用計算器得出（1）．（2）．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用小數(shù)點移動規(guī)律得到結(jié)果即可．【解析】解：（1）∵，∴．（2）∵，∴，故答案為：，．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根和立方根，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．題型十用計算器開方例題33．利用教材中的計算器依次按鍵如下：則計算器顯示的結(jié)果與下列各數(shù)中最接近的一個是（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9【答案】B【分析】由按鍵順序可知算式為，然后估算出的取值范圍即可．【解析】解：由按鍵順序可知算式為：，∵，∴，∴，∴計算器顯示的結(jié)果與各數(shù)中最接近的一個是0.6，故選：B．【點睛】本題考查了科學(xué)計算器的使用，無理數(shù)的估算，熟練掌握估算無理數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練34．在使用DY-570型號的計算器時，小明輸入一個數(shù)據(jù)后，按照以下步驟操作，依次按照從第一步到第三步循環(huán)按鍵：若一開始輸入的數(shù)據(jù)為5，那么第2022步之后，顯示的結(jié)果是（

）A．5 B． C． D．25【答案】A【分析】根據(jù)題目中的按鍵順序逐步計算，找到顯示的數(shù)的周期規(guī)律，即可得到答案．【解析】解：根據(jù)題意，第一步結(jié)果：52=25第二步結(jié)果：第三步結(jié)果：第四步結(jié)果：第五步結(jié)果：25第六步結(jié)果：…得數(shù)規(guī)律為：25、、、、25、5、…2022÷6=337∴第2022步之后，顯示的結(jié)果是：5故選A．【點睛】本題考查了計算器的使用方法，實數(shù)的平方與開方運算，弄清按鍵順序并找到得數(shù)周期規(guī)律是解題關(guān)鍵．35．若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器進(jìn)行計算，其按鍵順序為：

則輸出結(jié)果為（

）A．8 B．4 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的第二功能是立方根，列式計算即可．【解析】解：由題意可得：，故選D．【點睛】本題考查了計算器，掌握算術(shù)平方根的第二功能是立方根是解題的關(guān)鍵．題型十一整數(shù)部分、小數(shù)部分問題例題36．若的整數(shù)部分為，則的算術(shù)平方根的值最接近整數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先估算出的值的范圍，從而求出，然后再估算出的值的范圍，即可解答．【解析】∵，∴，∴的整數(shù)部分為7，∴，∴m的算術(shù)平方根為，∵，∴，∴的值最接近整數(shù)3，故選：B．【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練37．已知的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，則．【答案】1【分析】直接利用估算無理數(shù)的大小的方法得出的值，代入進(jìn)行計算即可得到答案．【解析】解：，，，，，的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，，，，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，正確得出的值是解題的關(guān)鍵．38．已知正數(shù)x的兩個不等的平方根分別是和，的立方根為；c是的整數(shù)部分，若，其中m為整數(shù)，，則．【答案】【分析】根據(jù)平方根的定義，求出a的值，再根據(jù)無理數(shù)的估算，求出c的值，進(jìn)而得出的整數(shù)部分和小數(shù)部分，即可得出m和n的值，帶入求解即可．【解析】解：∵正數(shù)x的兩個不等的平方根分別是和，∴，解得：，∵，∴的整數(shù)部分為2，即，∴，∵，∴，∴，∴整數(shù)部分為7，小數(shù)部分為，∵，m為整數(shù)，，∴，∴【點睛】本題主要考查了平方根的定義以及無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是掌握一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；以及掌握估算無理數(shù)的方法．39．在學(xué)習(xí)《實數(shù)》內(nèi)容時，我們通過“逐步逼近”的方法可以計算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，請回答問題：(1)介于連續(xù)的兩個整數(shù)和，且，那么，；(2)如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；(3)已知：，其中是整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)3，4(2)1(3)【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義，由，，而可得答案；（2）估算無理數(shù)、的大小，確定、的值，再代入計算即可；（3）估算的大小，進(jìn)而得出的大小，確定、的值，再代入計算即可．【解析】（1），，而，，介于連續(xù)的兩個整數(shù)和，且，，，故答案為：3，4；（2），，的小數(shù)部分，的整數(shù)部分，，答：的值為1；（3），，又，其中是整數(shù)，且，，，．【點睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提，確定無理數(shù)的整數(shù)部分、小數(shù)部分是正確解答的關(guān)鍵．題型十二實數(shù)的大小比較例題40．在實數(shù)1，0，，中，最小的是．【答案】【分析】根據(jù)實數(shù)比較大小的方法進(jìn)行求解即可．【解析】解：根據(jù)正數(shù)負(fù)數(shù)，∴最小的數(shù)在負(fù)數(shù)中，∵，∴，∴最小的數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了實數(shù)比較大小，熟知實數(shù)比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練41．比較大小：（填寫“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】＞【分析】根據(jù)，，根據(jù)不等式性質(zhì)判斷即可．【解析】∵，，∴，∴，故答案為：＞．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，二次根式的化簡，無理數(shù)的估算，不等式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的化簡，無理數(shù)的估算，不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．42．比較大?。海ㄟx填“”，“”或“”）【答案】＞【分析】可以根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【解析】故答案為＞【點睛】考查有理數(shù)的大小比較，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.題型十三實數(shù)與數(shù)軸例題43．如圖，實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點可能是（

）

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)估算方法估算的大小，即可判斷．【解析】解：∵，∴∴，∴，∴實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點可能是B點故選B．【點睛】此題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系，正確掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練44．下列說法正確的是（

）A．有理數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)B．是一個近似值，不是準(zhǔn)確值C．兩個整數(shù)相除，如果永遠(yuǎn)都除不盡，那么結(jié)果一定是一個無理數(shù)D．任意一個無理數(shù)的絕對值都是正數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸、無理數(shù)、絕對值的意義逐項判斷即可解答．【解析】解：A、實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，故A說法錯誤，不符合題意；B、是一個無理數(shù)，是無限不循環(huán)小數(shù)，不是一個近似值，故B說法錯誤，不符合題意；C、兩個整數(shù)相除，如果永遠(yuǎn)都除不盡，那么結(jié)果是一個分?jǐn)?shù)，一定是一個有理數(shù)，故C說法錯誤，不符合題意；D、任意一個無理數(shù)的絕對值都是正數(shù)，故D說法正確，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查無理數(shù)與有理數(shù)、實數(shù)與數(shù)軸、絕對值的意義，理解無理數(shù)的概念是解答的關(guān)鍵．45．觀察下圖，每個小正方形的邊長均為1．

(1)圖中陰影部分（正方形）的面積是___________，邊長是___________；(2)作圖：在數(shù)軸上作出邊長的對應(yīng)點P（要求保留作圖痕跡）；

(3)在（2）題的數(shù)軸上表示1的點記為M，點N也在這條數(shù)軸上且，直接寫出點N表示的數(shù)．【答案】(1)17，(2)見解析(3)【分析】（1）圖中陰影部分（正方形）的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積；利用勾股定理即可求出邊長；（2）先過數(shù)軸上表示4的點作垂線，再以數(shù)軸上表示4的點為圓心、1半徑畫弧，在數(shù)軸上方交垂線于點，然后設(shè)數(shù)軸上表示0的點為點，以點為圓心、長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，由此即可得；（3）設(shè)點表示的數(shù)為，利用數(shù)軸的性質(zhì)建立方程，解方程即可得．【解析】（1）解：圖中陰影部分（正方形）的面積是，邊長是，故答案為：17，．（2）解：如圖，點即為所求．

．（3）解：如圖，設(shè)點表示的數(shù)為，由題意得：，解得，所以點表示的數(shù)為．

．【點睛】本題考查了勾股定理、實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系是解題關(guān)鍵．題型十四無理數(shù)的估算例題46．估計的值應(yīng)在（

）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】B【分析】根據(jù)利用夾逼法得到取值范圍，即可得到答案；【解析】解：由題意可得，，∵，∴，∴，故選B．【點睛】本題考查根數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是將原來的根數(shù)變形．鞏固訓(xùn)練47．已知，，是連續(xù)的正整數(shù)，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】先估算出的取值范圍，得出，的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解析】解：∵，∴．∵，為兩個連續(xù)整數(shù)，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，先根據(jù)題意求出，的值是解答此題的關(guān)鍵．48．是連續(xù)的兩個整數(shù)，若，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算即求出的值，代入計算即可．【解析】解：∵，∴，∵是連續(xù)的兩個整數(shù)，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查無理數(shù)的估算，掌握無理數(shù)估算的方法是解題的關(guān)鍵．49．下面是小李同學(xué)探索的近似數(shù)的過程：∵面積為107的正方形邊長是，且，∴設(shè)，其中，畫出如圖示意圖，∵圖中，．∴，當(dāng)較小時，省略，得，得到，即．

(1)的整數(shù)部分是______；(2)仿照上述方法，探究的近似值．（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程，精確到0.1）(3)結(jié)合上述具體實例，已知非負(fù)整數(shù)a、b、m，若，且，請估算______．（用a、b的代數(shù)式表示）【答案】(1)8(2)畫圖見解析，(3)【分析】（1）先判斷，從而可得的整數(shù)部分；（2）設(shè)，其中，再畫圖，可得，當(dāng)較小時，省略，得，再解方程可得答案；（3）如圖，設(shè)，可得正方形的面積為：，而，當(dāng)較小時，省略，得，可得，從而可得答案．【解析】（1）解：∵，∴，∴的整數(shù)部分是；（2）∵面積為74的正方形邊長是，且，∴設(shè)，其中，如圖所示，

∵圖中，∴，當(dāng)較小時，省略，得，得到，即．（3）如圖，設(shè)，

正方形的面積為：，而，當(dāng)較小時，省略，得，∴，∴．【點睛】本題考查了類比推理的運用以及估算能力，分式的加減運算，關(guān)鍵在于理解題意并作出分析．題型十五程序框圖例題50．在信息技術(shù)課上，好學(xué)的小明制作了一個關(guān)于實數(shù)的運算程序如圖所示，若輸出的y值為時，則輸入的實數(shù)x可取的負(fù)整數(shù)值是．【答案】或【分析】本題考查了實數(shù)的運算，理解程序的運算步驟是解題的關(guān)鍵．按照程序的運算步驟進(jìn)行計算，即可解答．【解析】解：若1次運算輸出的值是時，，，解得：或；若2次運算輸出的值是時，，，解答：或；若3次運算輸出的值是時，，，解答：或；，且取負(fù)整數(shù)，或，故答案為：或．鞏固訓(xùn)練51．如圖，有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下圖所示，當(dāng)輸入x的值為64時，則輸出y的值是．【答案】【分析】本題主要考查的是立方根、算術(shù)平方根的定義，有理數(shù)、無理數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．依據(jù)運算程序進(jìn)行計算即可．【解析】解：根據(jù)步驟，輸入64，先有，是有理數(shù)，是有理數(shù)，返回到第一步，取2的立方根是，是無理數(shù)，最后輸出故答案為：．52．如圖是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器示意圖：(1)當(dāng)輸入的x為36時，輸出的y的值是_______；(2)若輸入x值后，始終輸不出y的值，則滿足題意的x值是_______；(3)若輸出的，則x的最小整數(shù)值是_______.【答案】(1)(2)0和1(3)5【分析】本題考查了算術(shù)平方根的計算和無理數(shù)的判斷，（1）根據(jù)運算規(guī)則即可求解；（2）根據(jù)0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1即可判斷；（3）先得出輸入的，，再根據(jù)運算法則，進(jìn)行逆運算即可求解．【解析】（1）解：當(dāng)時，取算術(shù)平方根，不是無理數(shù)，繼續(xù)取6算術(shù)平方根，是無理數(shù)，所以輸出的y值為；故答案為：；（2）解：當(dāng)，1時，始終輸不出y值．因為0的算術(shù)平方根是0，1的算術(shù)平方根是1，一定是有理數(shù)；故答案為：0，1；（3）∵輸出的，∴，∴輸入的，當(dāng)時，5的算術(shù)平方根是，是無理數(shù)，所以輸出的y值為，∴x的最小整數(shù)值是．題型十六材料信息題例題53．觀察上表中的數(shù)據(jù)信息：則下列結(jié)論：①；②；③只有3個正整數(shù)滿足；④．其中正確的是．（填寫序號）a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…【答案】①②③【分析】由表格中的信息：①利用被開方數(shù)的小數(shù)點與其算術(shù)平方根的小數(shù)點之間的變化規(guī)律解答即可；②利用被開方數(shù)的小數(shù)點與其算術(shù)平方根的小數(shù)點之間的變化規(guī)律，分別確定被減數(shù)和減數(shù)的值，再相減即可；③先確定的范圍，再判斷的范圍判斷；④先估計的值，再判斷即可．【解析】解：①∵，∴，故①正確；②∵，，∴，故②正確；③∵，∴，其中整數(shù)有：，，共3個，故③正確；④由①知：，∴，故④錯誤．綜上，正確的是：①②③，故答案為：①②③．【點睛】本題考查無理數(shù)的估計，解答時需要從表格中獲取信息，運用到無理數(shù)大小比較，有理數(shù)的運算，整數(shù)的概念等，熟練掌握被開方數(shù)的小數(shù)點與其算術(shù)平方根的小數(shù)點之間的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練54．對于任何實數(shù)a，我們規(guī)定：用符號表示不超過a的最大整數(shù)，例如：，，．現(xiàn)對進(jìn)行如下操作：，這樣對只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．類似地，只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是．【答案】255【分析】按照規(guī)律，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，進(jìn)行計算即可解答．【解析】解：，，，，，，，，，，∴對只需進(jìn)行3次操作后變成1．，，，，∴對只需進(jìn)行4次操作后變成1．∴只需進(jìn)行3次操作后變成1的所有正整數(shù)中，最大的正整數(shù)是．故答案為：．【點睛】本題考查了實數(shù)大小比較，算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的意義是解題的關(guān)鍵．題型十七二次根式的概念、有意義的條件、求值例題55．下列式子屬于二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義逐個判斷即可．【解析】解：A．的根指數(shù)是3，不是2，不是二次根式，故本選項不符合題意；B．不是二次根式，故本選項不符合題意；C．是二次根式，故本選項符合題意；D．中被開方數(shù)，不是二次根式，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的定義，能熟記二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，形如的式子叫二次根式．鞏固訓(xùn)練56．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義和分式有意義的條件得到，解不等式即可得到答案．【解析】解：∵代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得，即的取值范圍是，故答案為：【點睛】此題考查了二次根式和分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．57．已知，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，列不等式求解即可得到答案．【解析】解：，，且，解得，故答案為：．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，熟記二次根式被開方式非負(fù)是解決問題的關(guān)鍵．58．已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)當(dāng)是最小的完全平方數(shù)時，n最小，從而得出答案．【解析】解：∵，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式，掌握算術(shù)平方根與平方的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．59．已知x、y為實數(shù)，且，則x、y的值分別為（）A．9、4 B．2、3 C．4、9 D．3、4【答案】A【分析】由二次根式的定義，得不等式組，求解得字母值．【解析】解：∵與都有意義，∴，解得：，∴，故選：A．【點睛】本題考查二次根式的定義，解一元一次不等式組；根據(jù)二次根式定義構(gòu)建不等式組是解題的關(guān)鍵．題型十八二次根式的化簡例題60．化簡：【答案】/【分析】利用二次根式的性質(zhì)：即可求解．【解析】解：，故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)．掌握相關(guān)化簡法則是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練61．若，則化簡后的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)有意義可得，再結(jié)合，化簡．【解析】解：∵有意義，∴，∵∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，由得到是解題的關(guān)鍵．62．實數(shù)對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C．5 D．【答案】C【分析】根據(jù)實數(shù)對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置得m的取值范圍，即可進(jìn)行化簡求值．【解析】解：根據(jù)實數(shù)對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置得，∴，∴，故選：C【點睛】此題考查了算術(shù)平方根，熟練算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．63．如果，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．【解析】解：，得，，故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，利用了二次根式的性質(zhì)．64．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】最簡二次根式必須同時滿足以下條件：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；據(jù)此進(jìn)行逐一判斷即可．【解析】解：A.，故此項錯誤；B.，故此項錯誤；C.符合最簡二次根式的定義，故此項正確；D.，故此項錯誤；故選：C．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．題型十九最簡二次根式等有關(guān)概念例題65．下列根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項判斷即可．【解析】A、，被開方數(shù)中含有分母，不是最簡二次根式，該選項不符合題意；B、，被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，該選項不符合題意；C、是最簡二次根式，該選項符合題意；D、，被開方數(shù)中含有能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，該選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查最簡二次根式的識別，牢記最簡二次根式的定義（被開方數(shù)中不含分母，且被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式是最簡二次根式）是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練66．下列各組二次根式中，能合并的是(

)A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】首先把二次根式化簡，化簡后被開方數(shù)相同的能夠合并．【解析】、和，不是同類二次根式，不可以合并，不符合題意，排除；、，，不是同類二次根式，不可以合并，不符合題意，排除；、，