《數(shù)列》章末歸納復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《數(shù)列》章末歸納復(fù)習(xí)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)答案=1\*GB3①有窮數(shù)列=2\*GB3②無窮數(shù)列=3\*GB3③遞增數(shù)列=4\*GB3④遞減數(shù)列=5\*GB3⑤常數(shù)列=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨=10\*GB3⑩eq\o\ac(○,11)eq\o\ac(○,12)eq\o\ac(○,13)eq\o\ac(○,14)eq\o\ac(○,15)eq\o\ac(○,16)eq\o\ac(○,17)知識(shí)要點(diǎn)整合一、等差、等比數(shù)列的判定判定一個(gè)數(shù)列是等差或等比數(shù)列的方法：提示:（1）在解答題中證明一個(gè)數(shù)列是等比(或等差)數(shù)列通常用定義法或中項(xiàng)公式法,通項(xiàng)公式法和前項(xiàng)和公式法常在小題或分析題意時(shí)運(yùn)用.（2）若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差(比)數(shù)列,則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等差(比)即可.例1數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）設(shè),求證:是等比數(shù)列;（2）設(shè),求證:是等差數(shù)列.解析分別利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明.答案（1）.所以因?yàn)?所以,所以.所以數(shù)列是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.（2）由(1)知,所以.又,所以,且,所以數(shù)列是等差數(shù)列,公差為3,首項(xiàng)為2.例2已知數(shù)列滿足:為常數(shù)),且,其中.（1）若是等比數(shù)列,試求數(shù)列的前項(xiàng)和的公式;（2）當(dāng)是等比數(shù)列時(shí),甲同學(xué)說:一定是等比數(shù)列;乙同學(xué)說:一定不是等比數(shù)列.你認(rèn)為他們的說法是否正確?為什么?解析（1）是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.寫出前項(xiàng)和時(shí)要注意討論公比是否等于根搭的情況討論.答案（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列,,所以.又,又,則,即是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.所以（2）甲、乙兩個(gè)同學(xué)說法都不正確,理由如下:方法一:設(shè)的公比為,則,且.又是以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列;是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,即為：，當(dāng)時(shí),是等比數(shù)列;當(dāng)時(shí),不是等比數(shù)列.方法二:可能是等比數(shù)列,也可能不是等比數(shù)列,舉例說明如下:設(shè)的公比為,=1\*GB3①取時(shí),,此時(shí)都是等比數(shù)列.=2\*GB3②取時(shí),,此時(shí)是等比數(shù)列,而不是等比數(shù)列.二、求數(shù)列的通項(xiàng)公式1.觀察法.適用于給出數(shù)列的前項(xiàng),寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式的情況.觀察是歸納的前提,合理的轉(zhuǎn)換是完成歸納的關(guān)鍵.注意,由數(shù)列的前項(xiàng)歸納出的通項(xiàng)公式不一定唯一.2.定義法.即直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法,這種方法適用于已知數(shù)列類型的題目.3.已知求.若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系,求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解.注意,由求得時(shí)的是從2開始的自然數(shù),否則會(huì)出現(xiàn)時(shí)的情況,而與前項(xiàng)和矛盾.4.累加或累乘法.形如的遞推式,可用累加法求通項(xiàng)公式;形如的遞推式,可用累乘法求通項(xiàng)公式.累乘的目的是出現(xiàn)分子、分母相抵消的情況.注意,要對(duì)檢驗(yàn),若不符合就要寫成分段函數(shù)的形式.5.構(gòu)造法.根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)與有關(guān)的新的數(shù)列,通過新數(shù)列通項(xiàng)公式的求解求得的通項(xiàng)公式.新的數(shù)列往往是等差數(shù)列或是等比數(shù)列,例如形如.為常數(shù)的形式,往往變?yōu)?構(gòu)成等比數(shù)列,先求通項(xiàng)公式,再求.例3（1）已知數(shù)列的前項(xiàng)和,求;（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,求.解析（1）已知求時(shí),應(yīng)分與兩種情況討論.（2）在已知式中?有又有時(shí),應(yīng)轉(zhuǎn)化為僅含或的形式求解.答案（1）當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),不適合上式.所以（2）因?yàn)?所以,=1\*GB3①所以時(shí),.=2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②得,所以,所以.又，所以時(shí),,不適合.所以例4（1）數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列,且,則_____.（2）已知在數(shù)列中,,且,則數(shù)列的通項(xiàng)公式_____.解析（1）因?yàn)?,=1\*GB3①所以，=1\*GB3①=2\*GB3②,得所以.又,故,也滿足式子,故.（2）由,得,故.以上式子累乘得,.因?yàn)?所以,因?yàn)闈M足上式,所以.答案=1\*GB3①=2\*GB3②方法歸納已知形如“”的遞推公式,可考慮疊加法求.已知形如“的遞推公式,則可考慮累乘法求.三、等差（比）數(shù)列的基本運(yùn)算在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式中,共涉及五個(gè)量:或,其中和或?yàn)榛玖?“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于的方程組,利用方程的思想求出需要的量.當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會(huì)更好,這樣可以化繁為簡,減少運(yùn)算量,同時(shí)還要注意整體代的思想方法的運(yùn)用.例5等比數(shù)列中,已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若分別為等差數(shù)列的第3項(xiàng)和第5項(xiàng),試求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.解析（1）根據(jù)求出公比,寫出通項(xiàng)公式.(2)先求出的值,再通過解方程組求出的首項(xiàng)與公差,進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.答案（1）設(shè)的公比為,由已知得,解得,所以.（2）由（1）得,則.設(shè)的公差為,則有解得所以.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.例6已知等差數(shù)列的公差,前項(xiàng)和為.（1）若成等比數(shù)列,求;（2）若,求的取值范圍.解析（1）將成等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為,求解.(2)將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式,求解不等式即可.答案（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差,且,成等比數(shù)列,所以,即,解得或.（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差,且,所以,即,解得.四、數(shù)列求和數(shù)列求和問題一般轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前項(xiàng)和問題,不能轉(zhuǎn)化的再根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?一般常見的求和方法有:（1）公式法:利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前項(xiàng)和公式.（2）分組求和法:把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列.（3）裂項(xiàng)(相消)法:把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式,相加過程消去中間項(xiàng),只剩有限項(xiàng)再求和.（4）錯(cuò)位相減法:適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.（5）倒序相加法:例如,等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo).例7已知數(shù)列的前項(xiàng)和(其中為常數(shù),且.（1）求;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析（1）已知,根據(jù)與的關(guān)系確定.（2）由（1）知為等比數(shù)列,則是由等差數(shù)列和等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的新數(shù)列,可用錯(cuò)位相減法求和.答案（1）當(dāng)時(shí),,則,，所以.因?yàn)?即,解得,所以.當(dāng)時(shí),.綜上所述,.（2）由（1）知,所以.則,,兩式作差得,例8（1）已知等比數(shù)列中,,若數(shù)列滿足,則數(shù)列的前項(xiàng)和_____；（2）設(shè)數(shù)列滿足.令,則數(shù)列的前項(xiàng)和_____.解析（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,解得.所以,故,所以.則（2）由已知,當(dāng)時(shí),.而,符合上式,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.由知，=1\*GB3①從而，=2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②得，即.答案（1）（2）五、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用求解實(shí)際應(yīng)用問題時(shí),首先要弄清題意,分清條件和結(jié)論,抓住關(guān)鍵詞和量,理順數(shù)量關(guān)系,然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用主要是建立等差或等比數(shù)列模型,解決一些與數(shù)列有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題,主要體現(xiàn)在分期還款、產(chǎn)值增長及其他等方面.例9某人為了觀看2022年冬季奧運(yùn)會(huì),從2016年起,每年的1月1日到銀行存人元的定期儲(chǔ)蓄,若年利率為且保持不變,并約定每年到期,存款的本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年的定期,到2022年的1月1日將所有存款及利息全部取出,則可取出錢(元)的總數(shù)為（）A.B.C.D.解析由題意,2016年1月1日存入的元,一年后存款及利息為,二年后存款及利息為,,依次類推.由此可得,從2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息為:.答案D例10水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的生態(tài)問題.已知西部某地區(qū)有25度以上的坡耕地3000萬畝需退耕還林,國家確定2005年在西部該地區(qū)退耕還林土地面積為300萬畝,以后每年退耕還林土地面積比上一年遞增,那么從2005年起到哪一年該地區(qū)基本解決退耕還林問題（）注計(jì)算時(shí)可取.A.2010B.2006C.2007D.2008解析由題意在西部該地區(qū)每年退耕還林的面積數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,記為,則,因?yàn)?所以,整理得,所以.所以從2005年起,到2010年該地區(qū)基本解決退耕還林問題.答案六、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法,表述嚴(yán)格而且規(guī)范,兩個(gè)步驟缺一不可.第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),第二步中,歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用,在時(shí)一定要運(yùn)用它,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.第二步的關(guān)鍵是“一納假設(shè),二納結(jié)論”.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),關(guān)鍵是時(shí)命題成立的推證,此步證明要具有目標(biāo)意識(shí),注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較,以此確定和調(diào)控解題的方向,使差異逐步減小,最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題.例11設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,.數(shù)列滿足:對(duì)每個(gè),成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）記,證明:解析（1）由已知求出首項(xiàng)和公差,即可得出通項(xiàng)公式,再由題設(shè)得,即可求出通項(xiàng)公式.（2）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.答案（1）設(shè)數(shù)列的公差為,由題意得解得,所以.所以.因?yàn)閿?shù)列滿足:對(duì)每個(gè)成等比數(shù)列,所以,解得,即.（2）由（1）知,所以用數(shù)學(xué)歸納法證明:(i)當(dāng)時(shí),,不等式成立.(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即,則當(dāng)時(shí),，即時(shí),不等式也成立.由(i)(ii)得.例12觀察下列等式:，，，，按照以上式子的規(guī)律:（1）寫出第5個(gè)等式,并猜想第個(gè)等式;（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個(gè)等式成立.解析（1）確定第個(gè)等式左邊第一個(gè)數(shù)為,且為依次連續(xù)個(gè)自然數(shù)的和,右邊是的平方.（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法解題步驟書寫,關(guān)鍵是由時(shí)成立的等式證明時(shí)的等式成立.答案（1）第5個(gè)等式為.第個(gè)等式為（2）證明:(i)當(dāng)時(shí),等式左邊,等式右邊,所以等式成立.(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,即,則當(dāng)時(shí),，即時(shí)等式成立.根據(jù)(i)和(ii),可知對(duì)任意等式都成立.核心素養(yǎng)梳理本單元主要涉及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).1.數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義等知識(shí)點(diǎn)上通過生活中的實(shí)例，由具體到抽象，逐步掌握這些概念，能夠提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；同時(shí)通過等差、等比數(shù)列的比較，找到其異同，可以更好地掌握這些概念，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).2.數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)主要體現(xiàn)在等差、等比數(shù)列的基本計(jì)算利用方程思想將題目條件轉(zhuǎn)化為基本量的關(guān)系式，通過解方程（組）求出數(shù)列的通項(xiàng)或前項(xiàng)和是提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的關(guān)鍵勤加練習(xí)是提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的基本途徑，求數(shù)列的某一項(xiàng)或前項(xiàng)和離不開解方程（組），如果基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢靠，就可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此只有通過一定數(shù)量的練習(xí)，才可以提升解題的準(zhǔn)確性，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).3.邏輯推理核心素養(yǎng)反映在數(shù)列的判定、求通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和、數(shù)學(xué)歸納法證明等方面邏輯推理是從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的過程，邏輯推理有兩種形式，一種是從特殊的出發(fā)，通過歸納類比推導(dǎo)出一般性的結(jié)論，也就是歸納推理學(xué)會(huì)利用特例發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后再證明要注意的是，特例得出的結(jié)果不一定準(zhǔn)確第二種是演繹推理，從一般到特殊的過程，如在證明過中利用一般函數(shù)具有的性質(zhì)，推證特殊函數(shù)的性質(zhì)兩種推理方式，要綜合應(yīng)用.例1已知數(shù)列滿足,,則_____.解析由題意可知,,以上式子累加得,.因?yàn)?所以因?yàn)闈M足上式,所以.答案素養(yǎng)解讀題目求解的關(guān)鍵是理解)這一抽象的關(guān)系式,抓住其本質(zhì)是類等差數(shù)列,因此求通項(xiàng)公式的方法可以用累加法.只有抓住關(guān)系式的特征,才能突破數(shù)學(xué)抽象這一難點(diǎn)..突破的角度也可以首先將賦值,通過具體的表達(dá)式理解抽象的關(guān)系式,發(fā)現(xiàn)特征,找出方法,進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).例2已知數(shù)列滿足,),則_____.解析因?yàn)閿?shù)列滿足,所以,即.又,所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,所以,即.答案例3已知數(shù)列的首項(xiàng)為,前項(xiàng)和為,等比數(shù)列的前項(xiàng)和,則的最大值為_____.解析由等比數(shù)列的前項(xiàng)和,可求得.所以.又因?yàn)?所以故,所以,當(dāng)時(shí),取得最大值66.答案66素養(yǎng)解讀本例求解的突破口是等比數(shù)列的前項(xiàng)和,根據(jù)等比數(shù)列的知識(shí)可以求出的值.然后代入,根據(jù)求出,這些都需要學(xué)生具有一定的運(yùn)算能力.學(xué)生只有經(jīng)過大量的運(yùn)算,同時(shí)具有一定的函數(shù)思想,識(shí)可以有效地提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).例4若等差數(shù)列中,45,則通項(xiàng)公式______.解析因?yàn)?所以,所以.所以,且,所以是方程的兩根,解得或若,則,所以;若,則,所以.故或.答案或方法歸納在等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式中共有5個(gè)量(或),及,已知這5個(gè)量中任意3個(gè)量的值,就可以運(yùn)用方程思想,解方程（或方程組)求出另外2個(gè)量的值.例5用數(shù)學(xué)歸納法證明解析首先驗(yàn)證當(dāng)時(shí)命題成立,然后假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立,利用假設(shè)證明當(dāng)時(shí)等式成立即可.答案(i)當(dāng)時(shí),左邊,右邊.左邊右邊,所以等式成立.(ii)假設(shè)當(dāng)且時(shí)等式成立,即有則當(dāng)時(shí),.所以當(dāng)時(shí),等式也成立,由(i)(ii)可知,對(duì)于一切等式都成立.素養(yǎng)解讀利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,要求學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理核心素養(yǎng),尤其是要掌握從到的變形,以及數(shù)學(xué)歸納法的使用步?.通過數(shù)學(xué)歸納法的證明,可以有效地提升邏輯推理的核心素養(yǎng).例6數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,.求證:數(shù)列是等比數(shù)列.解析根據(jù)與的關(guān)系,將轉(zhuǎn)化為,再將變形代入,根據(jù)定義即可證明是等比數(shù)列.答案當(dāng)時(shí),.由,=1\*GB3①得,即,解得.又,=2\*GB3②=2\*GB3②—=1\*GB3①得,即,=3\*GB3③因?yàn)?所以,代人=3\*GB3③式,得,整理得,得(常數(shù)).所以數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.高考真題再現(xiàn)考點(diǎn)1等差數(shù)列的計(jì)算本考點(diǎn)在高考中屬于必考題型,選擇、填空、解答各類題型都可能考查,分值一般在分.考查的方向包括求等差數(shù)列中的某一項(xiàng)、求項(xiàng)數(shù)或公差、求前項(xiàng)和等,難度中等偏下.例（2018·全國I）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則（）A.B.C.10D.12解析通解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)樗?解得因?yàn)?所以,所以.故選B.優(yōu)解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?所以,所以,所以.因?yàn)?所以,所以答案B例2（2017·全國I）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若,則的公差為A.1B.2C.4D.8解析方法一:由,得.由,得.設(shè)公差為,即,所以.方法二:設(shè)公差為,則有解得.答案C例(2017-浙江)已知等差數(shù)列的公差為,前項(xiàng)和為,則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析因?yàn)?當(dāng)時(shí),可得;當(dāng),可得.所以“”是“”充分必要條件.答案C.例4(2016-全國I)已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為,則A.100B.99C.98D.97解析設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,且,所以.又,解得,所以,所以.答案C例5(2015-重慶)在等差數(shù)列中,若,,則（）A.B.0C.1D.6解析由等差數(shù)列的性質(zhì)得.答案B考點(diǎn)2等比數(shù)列的計(jì)算本考點(diǎn)在高考中屬于必考題型,選擇、填空、解答各類題型都可能考查,分值一般在分.考查的內(nèi)容包括求等比數(shù)列中的某一項(xiàng)、求項(xiàng)數(shù)或公比、求前項(xiàng)和等,有時(shí)還會(huì)與對(duì)數(shù)等知識(shí)結(jié)合進(jìn)行考查,難度中等偏下.例6（2017-全國III)設(shè)等比數(shù)列滿足,則_____.解析設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,所以解得則.答案例7(2017-江蘇)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前項(xiàng)的和為,已知,則解析設(shè)的公比為,由題意,由,所以,由,得,所以.答案32例8(2018-浙江)已知成等比數(shù)列,且.若,則（）A.B.C.D.解析方法一:因?yàn)?所以,所以.又,所以等比數(shù)列的公比.若,則,而,所以,與矛盾,所以.所以,所以,故選.方法二:因?yàn)?所以,則.又,所以等比數(shù)列的公比.若,則,而,所以,與矛盾,所以所以,所以.答案B考點(diǎn)3等差、等比數(shù)列綜合本考點(diǎn)在高考中屬于必考題型,選擇、填空、解答各類題型都可能考查,分值一般在分.題目背景包括等差數(shù)列中的某幾項(xiàng)成等比數(shù)列或者反過來,以及一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列中的某些項(xiàng)有數(shù)量關(guān)系等類型,常與方程思想結(jié)合進(jìn)行考查,難度中等.例9(2017-全國III)等差數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差不為0.若成等比數(shù)列,則前6項(xiàng)的和為（）A.B.C.3D.8解析設(shè)的公差為,由,得,所以答案A例10（2017·北京）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足,則_____.解析設(shè)的公差為的公比為,由題意得,所以,故.答案1考點(diǎn)4數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題本考點(diǎn)在高考中常以選擇或填空題考查,分值一般為5分.有時(shí)與生活中的實(shí)際情境結(jié)合,有時(shí)以古代的數(shù)學(xué)問題作為背景,需要學(xué)生具備較強(qiáng)的從文字中提煉出數(shù)學(xué)信息并進(jìn)行處理的能力,題目難度一般都偏大.例11（2017-全國II)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望魏魏塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共拄了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈（）A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞解析設(shè)塔頂共有燈盞,根據(jù)題意各層燈數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以,解得.選.答案例12(2017-全國I)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列,,其中第一項(xiàng)是,接下來的兩項(xiàng)是,再接下來的三項(xiàng)是,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是（）A.440B.330C.220D.110解析對(duì)數(shù)列進(jìn)行分組如圖則該數(shù)列前組的項(xiàng)數(shù)和為.由題意可知,即,解得,,即出現(xiàn)在第13組之后.又第組的和為,前組的和為設(shè)滿足條件的在第組,且第項(xiàng)為第組的第個(gè)數(shù),第組的前項(xiàng)和為,要使該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪,即與互為相反數(shù),即,所以.由,所以,則,此時(shí),對(duì)應(yīng)滿足的最小條件為.答案A考點(diǎn)5遞推公式與求和本考點(diǎn)在高考中屬于必考題型,選擇、填空、解答各類題型都可以考查,分值一般在分.常與等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式等綜合考查,亦可能與數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合進(jìn)行考查,題目整體難度偏大,需要學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理和運(yùn)算能力.例13（2018·全國1）記為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則__