高等數(shù)學(xué)上冊二章ch2 -習(xí)題課

第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、對數(shù)求導(dǎo)法三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、相關(guān)變化率隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)

相關(guān)變化率

第二章一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是

x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù)

.則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:兩邊對

x

求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)例1.求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:

方程兩邊對

x

求導(dǎo)得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)例2

求由方程y=1+xey

確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)。解兩邊對x求導(dǎo)，得:另解：直接在兩邊對x求導(dǎo)，得：注：

(1)隱函數(shù)求導(dǎo)實質(zhì)是在方程F(x，y)=0兩邊對x

求導(dǎo)時，把y看成中間變量，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。(2)隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，可直接在一階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上兩邊求導(dǎo)，不一定要解出y

。例3.求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導(dǎo)故切線方程為即二、對數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)方法：先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).--------對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍：一般地例3.求的導(dǎo)數(shù)。解:兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x

求導(dǎo)另一方法：

y=u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法求出。例4

對x

求導(dǎo)兩邊取對數(shù)例5解等式兩邊取對數(shù)得例6

已知xy=yx

確立了y是x的函數(shù)，求y的導(dǎo)數(shù)。解

法一兩邊取對數(shù)ylnx=xlny

兩邊對x求導(dǎo)三、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個

y

與

x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時,有時,有(此時看成x

是

y的函數(shù))關(guān)系,若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得?例7.設(shè),且求已知解:注意:例8.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t

的運動速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時,傾角為達(dá)到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向例9解

所求切線方程為：例10解

四、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對

t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率例7.一氣球從離開觀察員500m

處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:

設(shè)氣球上升t

分后其高度為h,仰角為

,則兩邊對t求導(dǎo)已知

h=500m時,例8解水面上升之速率4000m內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2.對數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3.參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)4.相關(guān)變化率問題列出依賴于

t的相關(guān)變量關(guān)系式對t求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式思考與練習(xí)1.

求螺線在對應(yīng)于的點處的切線方程.解:

化為參數(shù)方程當(dāng)時對應(yīng)點斜率∴切線方程為2.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊對x

求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時,故由①得再代入②得

求①求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同時對y求導(dǎo)思考題1.

設(shè),求解：2.設(shè)方程組兩邊同時對t求導(dǎo),得練習(xí)題練習(xí)題答案二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用四、微分在估計誤差中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念函數(shù)的微分

第二章一、微分的概念引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時,變到邊長由其的微分,定義:若函數(shù)在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點可微,則故在點的可導(dǎo),且在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點的可導(dǎo),則說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)微分的幾何意義當(dāng)很小時,則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P116表)又如,再如,二、微分運算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變性5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)例1.求解:例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.

在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.三、微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)很小時,使用原則:得近似等式:特別當(dāng)很小時,常用近似公式:很小)證明:令得的近似值.解:

設(shè)取則例4.求的近似值.解:例5.計算例6.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,四、微分在估計誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量

A

的絕對誤差限稱為測量

A

的相對誤差限誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算

y

值時的誤差故y

的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,例7.設(shè)測得圓鋼截面的直徑

測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解:計算A

的絕對誤差限約為

A

的相對誤差限約為試估計面積的誤差.計算(mm)五、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:★★導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:★思考題思考題解答說法不對.

從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.補充題1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點處的及并說明其正負(fù).2.5.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時由上式得求6.設(shè)且則7.已知求解：因為所以方程兩邊求微分,得已知求解：8.練習(xí)題練習(xí)題答案習(xí)題課一、導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用二、導(dǎo)數(shù)和微分的求法導(dǎo)數(shù)與微分

第二章求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)聯(lián)系高階導(dǎo)數(shù)一、主要內(nèi)容微分例1.設(shè)存在,求解:

原式=例2.若且存在,求解:原式=且聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式例3.設(shè)在處連續(xù),且求解:例4.設(shè)試確定常數(shù)a,b

使f(x)

處處可導(dǎo),并求解:得即是否為連續(xù)函數(shù)?判別:設(shè)例5.解:(1)由于因此當(dāng)a>0有(2)欲使存在，只要a-1>0，即a>1，且此時(3)當(dāng)a>1時，由（1）知：只須從而知a>2。例6.設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對t

求導(dǎo),