2025屆江蘇省沭陽縣修遠中學數(shù)學高二上期末檢測試題含解析

2025屆江蘇省沭陽縣修遠中學數(shù)學高二上期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個精美的青花瓷花瓶，它的頸部（圖2）外形上下對稱，基本可看作是離心率為的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉所形成的曲面，若該頸部中最細處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為（）A.10 B.20C.30 D.402．已知直線為拋物線的準線，直線經(jīng)過拋物線的焦點，與拋物線交于點，則的最小值為（）A. B.C.4 D.83．已知曲線，則“”是“C為雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．“”是“函數(shù)在上無極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知點，點關于原點對稱點為，則（）A. B.C. D.6．一道數(shù)學試題，甲、乙兩位同學獨立完成，設命題是“甲同學解出試題”，命題是“乙同學解出試題”，則命題“至少一位同學解出試題”可表示為（）A. B.C. D.7．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.8．七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機地取一點，則該點恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.9．動點到兩定點，的距離和是，則動點的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定10．已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝（）A2 B.－2C. D.11．已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)的部分圖象與軸交于點，與軸的一個交點為，如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A. B.的最小正周期為6C.圖象關于直線對稱 D.在上單調(diào)遞減二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線C的方程為，，，雙曲線C上存在一點P，使得，則實數(shù)a的最大值為___________.14．某商場對華為手機近28天的日銷售情況進行統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)，t36811ym357利用最小二乘法得到日銷售量y（百部）與時間t（天）的線性回歸方程為，則表格中的數(shù)據(jù)___________.15．過點,的直線方程（一般式）為___________.16．已知數(shù)列中，.若為等差數(shù)列，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的長軸在軸上，長軸長為4，離心率為，（1）求橢圓的標準方程，并指出它的短軸長和焦距.（2）直線與橢圓交于兩點，求兩點的距離.18．（12分）已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，，前4項和.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求和：.19．（12分）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E是AD的中點，將沿BF折起至的位置，使得二面角的大小為120°（如圖2），M，N分別是，的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.20．（12分）如圖是一拋物線型機械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，已知頂點深度4cm，口徑長為12cm（1）以頂點為坐標原點建立平面直角坐標系（如圖），求該拋物線的標準方程；（2）為滿足生產(chǎn)的要求，需將磨具的頂點深度減少1cm，求此時該磨具的口徑長21．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點和點都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M（1）求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）；（2）設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N，問：y軸上是否存在點Q（不與O重合），使得？若存在，求點Q的坐標，若不存在，說明理由22．（10分）（1）求過點，且與直線垂直的直線方程；（2）甲，乙，丙等7名同學站成一排，若甲和乙相鄰，但甲乙二人都不和丙相鄰，則共有多少種不同排法？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設雙曲線方程為，根據(jù)已知條件可得的值，由可得雙曲線的方程，再將代入方程可得的值，即可求解.【詳解】因為雙曲線焦點在軸上，設雙曲線方程為由雙曲線的性質可知：該頸部中最細處直徑為實軸長，所以，可得，因為離心率為，即，可得，所以，所以雙曲線的方程為：，因瓶口直徑為20厘米，根據(jù)對稱性可知頸部最右點橫坐標為，將代入雙曲線可得，解得：，所以頸部高為，故選：B2、D【解析】先求拋物線的方程，再聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由弦長公式可求的最小值.【詳解】因為直線為拋物線的準線，故即，故拋物線方程為：.設直線，則，，而，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ实淖钚≈禐?，故選：D.3、A【解析】根據(jù)充分必要條件的定義，以及雙曲線的標準方程進行判斷可得選項【詳解】解：當時，表示雙曲線，當表示雙曲線時，則，所以“”是“C為雙曲線”的充分不必要條件.故選A4、B【解析】根據(jù)極值的概念，可知函數(shù)在上無極值，則方程的，再根據(jù)充分、必要條件判斷，即可得到結果.【詳解】由題意，可得，若函數(shù)在上無極值，所以對于方程，,解得.所以“”是“函數(shù)在上無極值”的必要不充分條件.故選：B.5、C【解析】根據(jù)空間兩點間距離公式，結合對稱性進行求解即可.【詳解】因為點關于原點的對稱點為，所以,因此，故選：C6、D【解析】根據(jù)“或命題”的定義即可求得答案.【詳解】“至少一位同學解出試題”的意思是“甲同學解出試題，或乙同學解出試題”.故選：D.7、C【解析】利用垂直的坐標表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.8、A【解析】設七巧板正方形邊長為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計算作答.【詳解】設七巧板正方形邊長為4，則大陰影等腰三角形底邊長為4，底邊上的高為2，可得小正方形對角線長為2，小正方形邊長為，小陰影等腰直角三角形腰長為，小白色等腰直角三角形底邊長為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機地取一點，則該點恰好取自白色部分的概率為.故選：A9、A【解析】根據(jù)橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據(jù)橢圓定義可得，P點的軌跡為橢圓，故選：A10、B【解析】直接利用直線垂直公式計算得到答案.【詳解】因為l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故選：【點睛】本題考查了根據(jù)直線垂直計算參數(shù)，屬于簡單題.11、B【解析】根據(jù)圓心在軸上，設出圓的方程，把點，的坐標代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.12、D【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出，再利用函數(shù)的性質結合周期公式逆推即可求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象與軸交于點，所以，又，所以，A正確；因為的圖象與軸的一個交點為，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期為，B正確；，所以是的一條對稱軸，C正確；令，解得，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，D錯誤故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】設出，根據(jù)條件推出在圓上運動，根據(jù)題意要使雙曲線和圓有交點，則得答案.【詳解】設點，由得：，所以，化簡得：，即滿足條件的點在圓上運動，又點存在于上，故雙曲線與圓有交點，則,即實數(shù)a的最大值為2，故答案為：214、1【解析】根據(jù)已知條件，求出，的平均值，再結合線性回歸方程過樣本中心，即可求解【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可得，，，線性回歸方程為，，解得故答案為：115、【解析】利用兩點式方程可求直線方程.【詳解】∵直線過點,，∴，∴，化簡得.故答案為：.16、【解析】利用等差中項求解即可【詳解】由為等差數(shù)列，則，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），短軸長為，焦距為；（2）.【解析】（1）由長軸得，再由離心率求得，從而可得后可得橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得交點坐標后可得距離【詳解】（1）由已知：，，故，，則橢圓的方程為：，所以橢圓的短軸長為，焦距為.（2）聯(lián)立，解得，，所以，，故18、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結合等差數(shù)列的基本量，即可容易求得數(shù)列，的通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，構造數(shù)列，證明其為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項和即可求得結果.【小問1詳解】因為數(shù)列滿足，故可得數(shù)列為等比數(shù)列，且公比，則；數(shù)列為等差數(shù)列，，前4項和，設其公差為，故可得，解得，則；綜上所述，，.【小問2詳解】由（1）可知：，，故，又，又，則是首項1，公比為的等比數(shù)列；則.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）構造中位線，利用面面平行，可以證明;（2）建立空間直角坐標系，用空間向量的方法即可.【小問1詳解】證明：如圖，取ED的中點P，連接MP，NP.在平行四邊形ABCD中，因為E是AD的中點，，所以，又，所以四邊形BCDE是平行四邊形；因為M，N分別是，BC的中點，所以，.又平面，平面，所以平面，平面.因為，所以平面平面.又平面，所以平面【小問2詳解】取BE的中點O，連接，CO，CE.在圖1中，因為，所以是等邊三角形，，又四邊形ABCD等腰梯形，所以，即是等邊三角形；所以如圖，，，所以.以為原點，射線OB為x軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，則，，，，則，設平面的法向量為，，得令，則，，即，由題可知，平面BCD的一個法向量為，.由圖可知，平面與平面BDC夾角余弦值為；20、（1）（2）cm【解析】（1）設拋物線的標準方程為，由題意可得拋物線過點，將此點代入方程中可求出的值，從而可得拋物線方程，（2）設此時的口徑長為，則拋物線過點，代入拋物線方程可求出的值，從而可求得答案【小問1詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的標準方程為，因為頂點深度4，口徑長為12，所以該拋物線過點，所以，得，所以拋物線方程為；【小問2詳解】若將磨具的頂點深度減少，設此時的口徑長為，則可得，得，所以此時該磨具的口徑長21、（1），；（2）存在或，使得，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)離心率，及求出，，進而得到橢圓方程及用m，n表示點M的坐標；（2）假設存在，根據(jù)得到，表達出點坐標，得到，結合得到，從而求出答案.【小問1詳解】由離心率可知：，又，，解得：，，故橢圓C：，直線PA為：，令得：，所以；【小問2詳解】存在或，使得，理由如下：假設，使得，則，其中，直線：，令得：，則，，解得：，其