華師大新版七年級下學期《10.3.2旋轉(zhuǎn)的特征》同步練習卷

華師大新版七年級下學期《10.3.2旋轉(zhuǎn)的特征》

同步練習卷

一.解答題（共50小題）

1.探索新知：

如圖1,射線OC在NAOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：ZAOB,NAOC和NBOC,

若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是/AOB的"巧

分線

（1）一個角的平分線這個角的“巧分線"；（填"是"或"不是"）

（2）如圖2,若NMPN=a,且射線PQ是NMPN的"巧分線"，則NMPQ=；

（用含a的代數(shù)式表示出所有可能的結果）

深入研究：

如圖2,若NMPN=60。，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10。的速度逆

時針旋轉(zhuǎn)，當PQ與PN成180。時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒.

（3）當t為何值時,射線PM是NQPN的"巧分線"；

（4）若射線PM同時繞點P以每秒5。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止，

請直接寫出當射線PQ是NMPN的"巧分線"時t的值.

0c=5,將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到ABCD,連接0D.求：

①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

②線段0D的長；

③NBDC的度數(shù).

（2）如圖2所示，。是等腰直角aABC（ZABC=90°）內(nèi)一點，連接OA、0B、

oc,將ABA。繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到ABCD,連接OD.當OA、OB、oc滿

足什么條件時，ZODC=90°?請給出證明.

3.已知，△ABC中，AB=AC,點E是邊AC上一點，過點E作EF〃BC交AB于點

F.

(1)如圖①,求證:AE=AF；

(2)如圖②，將aAEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a(0。＜。＜144。)得到^AEF.連接

CEBF.

①若BF=6,求CE'的長;

②若NEBC=NBAC=36。，在圖②的旋轉(zhuǎn)過程中，當CE，〃AB時，直接寫出旋轉(zhuǎn)角

4.在aABC中，ZB+ZACB=30°,AB=4,Z\ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與aADE

重合，且點C恰好成為AD中點，如圖

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

5.如圖，4ABC是直角三角形，延長AB到點E,使BE=BC,在BC上取一點F,

使BF=AB,連接EF,4ABC旋轉(zhuǎn)后能與4FBE重合，請回答:

(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點？

(2)旋轉(zhuǎn)了多少度？

(3)AC與EF的關系如何?

(1)如圖①等邊4ABC內(nèi)有一點P,若點P到頂點A、B、C的距離分別為3,4,

5,求NAPB的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將4ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到AACP，處，此時△ACPN^ABP,

這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從

而求出NAPB=；

(2)基本運用

已知如圖②，△AB”,ZCAB=90°,AB=AC,E、F為BC上的點且NEAF=45。，

求證：EF2=BE2+FC2；

(3)能力提升

如圖③，在RtZ^ABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,點。為RtaABC內(nèi)一點，

連接AO,BO,CO,KZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,求OA+OB+OC的值.

7.將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中NAiCBi=NACB=90。，ZAi=ZA=30°.

(1)將圖①中的^AiBiC順時針旋轉(zhuǎn)45。得圖②，點Pi是AiC與AB的交點，點

Q是AiBi與BC的交點，求證：CPi=CQ；

（2）在圖②中，若APi=2,則CQ等于多少？

8.如圖1,點。為直線AB上一點，過點。作射線0C,使NAOC：ZB0C=2：1,

將一直角三角板的直角頂點放在點。處，一邊ON在射線0A上，另一邊0M

在直線AB的下方.

（1）將圖1中的三角板繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得0M落在

射線0A上，此時ON旋轉(zhuǎn)的角度為°；

（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點0按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得0M

在NBOC的內(nèi)部，則NBON-ZCOM=°；

（3）在上述直角三角板從圖1旋轉(zhuǎn)到圖3的位置的過程中，若三角板繞點。按

每秒鐘15。的速度旋轉(zhuǎn)，當0M恰為NBOC的平分線時，此時，三角板繞點0

的運動時間為秒，簡要說明理由.

9.如圖1,將一副三角板的直角重合放置，其中NA=30。，ZCDE=45°.

（1）如圖1,求NEFB的度數(shù)；

（2）若三角板ACB的位置保持不動，將三角板CDE繞其直角頂點C順時針方向

旋轉(zhuǎn).

①當旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置時，恰好CD〃AB,則NECB的度數(shù)為°；

②若將三角板CDE繼續(xù)繞點C旋轉(zhuǎn)，直至回到圖1位置.在這一過程中，是否

還會存在4CDE其中一邊與AB平行？如果存在，請你畫出示意圖，并直接寫

出相應的NECB的大小；如果不存在，請說明理由.

10.取一副三角板按如圖所示拼接，固定三角板ADC,將三角板ABC繞點A順

時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為a(0。＜。忘45。)，得到△ABU.

①當a為多少度時，AB〃DC?

②當旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時，a為多少度？

③連接BD,當(TVaW45。時，探求NDBC+NCAU+NBDC值的大小變化情況,

并給出你的證明.

11.如圖,4ABD繞著點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。到△EBC,且NABD=90。，

(1)Z\ABD和AEBC是否全等？如果全等，請指出對應邊與對應角.

(2)若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的長嗎？

(3)直線AD和直線CE有怎樣的位置關系？請說明理由.

12.如圖，4ABC中，ZB=10°,ZACB=20°,AB=4cm,三角形ABC按逆時針方

向旋轉(zhuǎn)一定角度后與三角形ADE重合，且點C恰好成為AD的中點.

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

(2)求出NBAE的度數(shù)和AE的長.

13.如圖所示，點P是等邊△ABC內(nèi)一點，PB=2,PC=1,ZBPC=150°,求PA的

長.

(2)如圖，將^ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)40。得到ADEC,若AC_LDE,求/

BAC的度數(shù).

15.證明題

在等腰^ABC與等腰4ADE中，ZBAC=ZDAE,AB=AC,AD=AE.

(1)如圖1,當點E,D,B三點在同一直線上時，且BELAC,ZBAC=50°,求

ZEBC的度數(shù)；

(2)如圖2,將aADE繞A點旋轉(zhuǎn)，當ED延長線交于BC的中點M時，連接BD,

CE,求證：ZBDM=ZMEC.

16.(1)如圖①所示，4ACB和4ECD都是等腰三角形，A、C、D三點在同一直

線上，連接BD、AE,并延長AE交BD于F,試判斷AE與BD的數(shù)量和位置關

系，并證明你的結論.

(2)若4ECD繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度后得到圖②，圖①中的結論是否仍

然成立？請說明理由.

B

17.如圖，點P是等邊AABC內(nèi)的一點，連接PA、PB、PC,以BP為一邊作NPBQ=60。,

且BQ=BP,連接CQ.試觀察并猜想AP與CQ的大小關系；并說明理由.

18.如圖，將^ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)a得到ADBE,DE的延長線與AC相交于

點F,連接DA、BF,ZABC=a=60°,BF=AF.

(1)求證：DA〃BC；

(2)猜想線段DF、AF的數(shù)量關系，并證明你的猜想.

19.在aABC中，AC=BC,將aABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到^ADE,旋轉(zhuǎn)

角為a((TVaV180。)，點B的對應點為點D,點C的對應點為點E,連接BD

(1)如圖，當a=60。時，4ABD是等邊三角形嗎？請說明理由；

（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，過點D作DG垂直于直線AB,垂足為點G,連接CE.當N

DAG=NACB,ZC<90°,且線段DG與線段AE無公共點時，判斷CE與AB的

關系，并說明理（請在備用圖中將圖形補充完整）

20.如圖，在△ABC中，NACB=90。，AOBC,點D在AB邊繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)

角a到達4ECF的位置，點E在AC邊上.

（1）直接填空：a的最小度數(shù)是；

（2）若EF〃CD,試判斷aBCD的形狀，并說明理由.

21.在等邊^(qū)AOB中，將扇形COD按圖1擺放，使扇形的半徑OC、OD分別與

OA、OB重合，OA=OB=4,OC=OD=2,固定等邊AAOB不動，讓扇形COD繞

點。逆時針旋轉(zhuǎn)，線段AC、BD也隨之變化，設旋轉(zhuǎn)角為a.（0<aW360。）

（1）當OC〃AB時，旋轉(zhuǎn)角a=度，OCLAB時旋轉(zhuǎn)角a=度.

發(fā)現(xiàn)：（2）線段AC與BD有何數(shù)量關系，請僅就圖2給出證明.

應用：（3）當A、C、D三點共線時，求BD的長.

拓展：（4）P是線段AB上任意一點，在扇形COD的旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出線

段PC的最大值與最小值.

A

0DB\L-------------

B

圖1圖2

22.(1)如圖1,E為等邊aABC內(nèi)一,點，CE平分NACB,D為BC邊上一點，且

DE=CD,連接BE,取BE中點P,必E接AP,PD,AD,直接寫出AP與PD的位

置關系，并直接用等式表示AP與PD的數(shù)量關系；

(2)如圖2,把圖1中的4CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a(60°<a<90°),其它條件

不變，連接BE,點P為BE中點，連接AP,PD,AD,試問(1)中的結論還

成立嗎？若成立，請證明；若不成，立，請說明理由.

3

二圖1DB工圖2°

23.已知，在等邊aABC中，點E在BA的延長線上，點D在BC上，且ED=EC

(1)如圖1,求證：AE=DB；

(2)如圖2,將4BCE繞點C順時針J旋轉(zhuǎn)60。至4ACF(點B、E的對應點分別為

點A、F),連接EF.在不添加任小「J輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線

段，使每對線段長度之差等于ABf的長.

7

BDCBDC

(圖1)(圖2)

24.如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點,將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得

到線段AE,連接CD,BE.

（1）求證：ZAEB=ZADC；

（2）連接DE,若NADC=105。，求NBED的度數(shù).

25.如圖，在ZkABC中，ZB=90°,BC=6,AC=10,將ZkABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)

90。得到△口￡（：,并連接AE,求AE的長.

26.如圖，將^ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△AEC,使點A，落在BC的延長

線上.已知NA=27。，ZB=40°,求則NACB，的度數(shù).

27.如圖所示,△ABD旋轉(zhuǎn)后與4ACE重合，^ABC是直角三角形，BC是斜邊,

如果AD=4,求DE的長度.

AC=4,BC=%/^，將線段AC繞點A按逆時

針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到線段AD,連接DC,DB.

（1）直接寫出線段DC=

（2）求線段DB的長度;

(3)直接寫出點B到直線AD的距離為

29.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,點D,F分別在AB,AC上，CF=CB,連

接CD,連接CD,將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。后得CE,連接EF.

求證：△BCDgZ\FCE.

30.已知，點P是等邊aABC內(nèi)一點，PA=4,PB=3,PC=5,線段AP繞點A逆時

針旋轉(zhuǎn)60。到AQ,連接PQ.

(1)求PQ的長.

(2)求NAPB的度數(shù).

31.RtZ\ABC中，ZABC=30°,將aABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至△A'B'C,使得點A

恰好落在AB上，AB交BC于點D,連接BB,

(1)求證：AA'B'C^AA'B'B.

(2)直接寫出圖中以點B為頂點的所有直角三角形.

B'

32.如圖，將aABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)40。得△ABC,若ACJ_AB,求NBAC

的度數(shù).

33.已知，如圖，點C是AB上一點，分別以AC,BC為邊，在AB的同側(cè)作等邊

三角形aACD和ABCE.

(1)指出4ACE以點C為旋轉(zhuǎn)中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到的三角形；

(2)若AE與BD交于點0,求NAOD的度數(shù).

34.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,點D、F分別在AB、AC上，CF=CB,連

接CD,將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°(即NDCE=90。)后得CE,連

接EF.

(1)求證：△BCD且ZSFCE；

(2)若EF〃CD,求NBDC的度數(shù).

35.在學習了第四章《基本的平面圖形》的知識后，小明將自己手中的一副三角

板的兩個直角頂點疊放在一起拼成如下的圖形1和圖形2.

(1)在圖1中，當AD平分NBAC時，小明認為此時AB也應該平分NFAD,請

你通過計算判斷小明的結論是否正確.

(2)小明還發(fā)現(xiàn)：只要AD在NBAC的內(nèi)部，當aABC繞直角頂點A旋轉(zhuǎn)時，總

有NFAB=NDAC(見圖2),請你判斷小明的發(fā)現(xiàn)是否正確，并簡述理由.

(3)在圖2中，當NFAC=x,ZBAD=y,請你探究x與y的關系.

36.如圖，4BAD是由ABEC在平面內(nèi)繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到，且ABLBC,

連接DE.

(1)ZDBE的度數(shù).

37.如圖1,點0為直線AB上的一點，過。點作直線OC,使NBOC=120。，將

一塊含30。、60。的直角三角板的直角頂點放在點0處，一邊OM在射線OB

上，另一邊ON在直線AB的下方.

(1)將圖1中的三角板繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊0M在NBOC的內(nèi)部,

且恰好平分NBOC.

問：此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為

(2)將圖1中的三角板繞點。以每秒6。的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn).

①若旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線ON恰好平分NAOC時，求旋轉(zhuǎn)的時間t值.

②若旋轉(zhuǎn)過程中，直線MN〃直線0C,求旋轉(zhuǎn)的時間t的值.

38.(1)如圖(1),AB〃CD,點P在AB,CD外部，若NB=50。，ZD=25°,則/

BPD=°

(2)如圖(2),AB〃CD,點P在AB,CD內(nèi)部，則NB,ND,NBPD之間有何

數(shù)量關系？證明你的結論.

(3)在圖(2)中，將直線AB繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于

點M,如圖(3),若NBPD=90°,ZBMD=40",求NB+/D的度數(shù).

39.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結PA,PB,PC,以BP為邊作NPBQ=60。,

且BP=BQ,連結CQ.

(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并說明理由.

(2)若PA=3,PB=4,PC=5,連結PQ,判斷△PQC的形狀并證明.

40.ZXABC是等邊三角形，P為其內(nèi)的一點，并且滿足PA=25,PB=7,PC=24,試

求NCPB的度數(shù)？

41.如圖：點P為等邊4ABC內(nèi)一點，且PA=2,PB=1,PC=C，求NAPB的度數(shù).

42.如圖，在等邊AABC內(nèi)有一點P,且PA=2,PB=?,PC=1,求NBPC的度數(shù)

和等邊4ABC的邊長.

43.如圖所示，P為等邊AABC的中心，請用旋轉(zhuǎn)的方法將^ABC分成面積相等

的三部分，設計出分割方案，并畫出示意圖.（至少三種）

44.如圖，在aABC中，ZACB=90°,AC=1,將aABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。至^

ABC,點A的對應點A"恰好落在AB上，求BB，的長.

45.如圖，^ABC為等邊三角形，P為三角形內(nèi)一點，將4ABP繞A點逆時針旋

轉(zhuǎn)60。，得到△ACP，.

（1）求證：△APP，為等邊三角形.

（2）連接PC,若PP'=2,NP'CP=90°,NP'PC=30。，求AABC的面積.

46.如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=5,PB=12,PC=13,若將aPAC

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P，AB,求點P與點，之間的距離及NAPB的度

數(shù).

47.在AABC中，AB=AC,點D在直線BC上（不與點B、C重合），線段AD繞A

點逆時針方向旋轉(zhuǎn)NBAC的大小，得線段AE,連接DE、CE.探索NBCE與/

BAC的大小關系，并加以證明.

48.已知，P為等邊三角形內(nèi)一點，且BP=3,PC=4,將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。

至BP'的位置.

（1）試判斷△BPP，的形狀，并說明理由；

49.在aABC中，AC=BC,將aABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到aADE,旋

轉(zhuǎn)角為a(CTVaV180。)，點B的對應點為點D,點C的對應點為點E,連接

BD,BE,如圖，當a=60°時，延長BE交AD于點F.

(1)求證：4ABD是等邊三角形；

(2)求證：BF1AD,AF=DF.

50.如圖，已知ACLBC,垂足為C,AC=4,BC=3?,將線段AC繞點A按逆時

針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到線段AD,連接DC,DB.

(1)求線段CD的長；

(2)求線段DB的長度.

D

CB

華師大新版七年級下學期《103.2旋轉(zhuǎn)的特征》

同步練習卷

參考答案與試題解析

—.解答題（共50小題）

1.探索新知：

如圖1,射線OC在NAOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：ZAOB,NAOC和NBOC,

若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是NAOB的"巧

分線

（1）一個角的平分線是這個角的“巧分線";（填"是"或"不是"）

（2）如圖2,若NMPN=a,且射線PQ是NMPN的"巧分線"，則NMPQ=la

一2一

或La或2a；（用含a的代數(shù)式表示出所有可能的結果）

33

深入研究：

如圖2,若NMPN=60。，且射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒10。的速度逆

時針旋轉(zhuǎn)，當PQ與PN成180。時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒.

（3）當t為何值時，射線PM是NQPN的“巧分線";

（4）若射線PM同時繞點P以每秒5。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止，

請直接寫出當射線PQ是NMPN的"巧分線"時t的值.

（2）分3種情況，根據(jù)巧分線定義即可求解；

（3）分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可；

（4）分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可.

【解答】解：（1）一個角的平分線是這個角的“巧分線"；（填"是"或"不是"）

故答案為：是

(2)VZMPN=a,

二NMPQ=La或La或2a；

233

故答案為La或La或2a；

233

深入研究：

(3)依題意有

①10t=60+Lx60,

2

解得t=9；

②10t=2X60,

解得t=12；

③10t=60+2X60,

解得t=18.

故當t為9或12或18時，射線PM是NQPN的"巧分線"；

(4)依題意有

①10t=L(5t+60),

3

解得t=2.4；

②10t=L(5t+60),

2

解得t=4；

③10t=2(5t+60),

3

解得t=6.

故當t為2.4或4或6時，射線PQ是NMPN的"巧分線”.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，巧分線定義，學生的閱讀理解能力及知識的遷

移能力.理解"巧分線".的定義是解題的關鍵.

2.(1)如圖1,0是等邊AABC內(nèi)一點，連接OA、OB、0C,且0A=3,0B=4,

0c=5,將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到ABCD,連接0D.求:

①旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

②線段0D的長；

③NBDC的度數(shù).

(2)如圖2所示，0是等腰直角^ABC(ZABC=90°)內(nèi)一點，連接OA、0B、

0C,將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到ABCD,連接0D.當OA、OB、0C滿

足什么條件時，ZODC=900?請給出證明.

【分析】(1)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BA=BC,ZABC=60°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)得NOBD=NABC=60。，于是可確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；

②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BD,加上NOBD=60。，則可判斷aOBD為等邊三角形，所

以OD=OB=4；

③由△BOD為等邊三角形得到NBDO=60。，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=AO=3,然后

根據(jù)勾股定理的逆定理可證明4OCD為直角三角形，NODC=90。，所以NBDC=

ZBDO+ZODC=150°；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NOBD=NABC=90。，BO=BD,CD=AO,則可判斷AOBD

為等腰直角三角形，則OD=&OB,然后根據(jù)勾股定理的逆定理，當

CD2+OD2=OC2時，△OCD為直角三角形，ZODC=90°.

【解答】解：(1)①..'△ABC為等邊三角形，

，BA=BC,ZABC=60°,

?.'△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到^BCD,

/.ZOBD=ZABC=60o,

...旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；

②?..△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到aBCD,

JBO=BD,

而/OBD=60°,

.?.△OBD為等邊三角形；

.*.OD=OB=4；

③?.'△BOD為等邊三角形，

/.ZBDO=60°,

VABAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到aBCD,

，CD=AO=3,

在△OCD中，CD=3,0D=4,0C=5,

32+42=52,

.,.CD2+OD2=OC2,

.,.△OCD為直角三角形,ZODC=90°,

AZBDC=ZBDO+ZODC=60o+90°=150°；

(2)OA2+2OB2=OC2時，ZODC=90°.理由如下：

VABAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)后得到aBCD,

/.ZOBD=ZABC=90°,BO=BD,CD=AO,

.?.△OBD為等腰直角三角形，

.*.OD=V2OB,

?.?當CD2+OD2=OC2時，△OCD為直角三角形，ZODC=90°,

AOA2+2OB2=OC2,

.?.當OA、OB、OC滿足OA2+2OB2=OC2時，ZODC=90°.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)

中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三

角形的判斷與性質(zhì)和勾股定理的逆定理.

3.已知，^ABC中，AB=AC,點E是邊AC上一點，過點E作EF〃BC交AB于點

F.

(1)如圖①,求證:AE=AF；

(2)如圖②，將4AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a((TVaV144。)得到^AEF.連接

CEBF.

①若BF，=6,求CE，的長；

②若NEBC=NBAC=36。，在圖②的旋轉(zhuǎn)過程中，當CE，〃AB時，直接寫出旋轉(zhuǎn)角

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形兩底角相等NABC=NACB,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得

出，ZAFE=ZABC,NAEF=NACB,得出NAFE=NAEF,進一步得出結論；

(2)求出AE=AF,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NE，AC=NFAB,AE，=AF,然后利用“邊

角邊”證明^CAE，和aBAF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可；

(3)把4AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)AE，與過點C與AB平行的直線相交于M、N,

然后分兩種情況，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)分別求解即可.

【解答】(1)證明：???AB=AC,

/.ZABC=ZACB,

?.?EF〃BC,

/.ZAFE=ZABC,ZAEF=ZACB,

/.ZAFE=ZAEF,

，AE=AF.

(2)解：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，NE'AC=NF'AB,AE>AF',

在aCAE，和中，

'AE'=AF'

<NE'AC=NF'AB-

AB=AC

.,.△CAE,^ABAF,(SAS),

.?.CE'=BF'=6；

②由(1)可知AE=AF,

所以，在4AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，點E經(jīng)過的路徑(圓弧)與過點C且

與AB平行的直線I相交于點M、N,如圖,

①當點E的像E，與點M重合時，四邊形ABCM是等腰梯形，

所以，ZBAM=ZABC=72°,

XVZBAC=36°,

，a=ZCAM=36°；

②當點E的像E，與點N重合時，

VCE^AB,

，ZAMN=ZBAM=72°,

VAM=AN,

；.NANM=NAMN=72°,

.,.ZMAN=180°-72°X2=36°,

，a=ZCAN=ZCAM+ZMAN=36°+36°=72°,

綜上所述，當旋轉(zhuǎn)角a為36?；?2。.

【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)等

知識，根據(jù)數(shù)形結合熟練掌握相關定理是解題關鍵.

4.在△ABC中，ZB+ZACB=30°,AB=4,4ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與^ADE

重合，且點C恰好成為AD中點，如圖

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

(2)求出NBAE的度數(shù)和AE的長.

E.

A~D

R

【分析】(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出NBAC=150。，然后利用旋轉(zhuǎn)的定義可判

斷旋轉(zhuǎn)中心為點A,旋轉(zhuǎn)角為150。；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NDAE=NBAC=150。，AB=AD=4,AC=AE,利用周角定

義可得到ZBAE=60。，然后利用點C為AD中點得到AC=1AD=2,于是得至I」AE=2.

2

【解答】解:(1)在△ABC中，VZB+ZACB=30°,

AZBAC=150°,

當4ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與aADE重合，

二旋轉(zhuǎn)中心為點A,NBAD等于旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角為150。；

(2):△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)150。后與4ADE重合，

/.ZDAE=ZBAC=150°,AB=AD=4,AC=AE,

.,.ZBAE=360°-150°-150°=60°,

?.?點C為AD中點，

.?.AC=1AD=2,

2

，AE=2.

【點評】本題考查了轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中

心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

5.如圖，△ABC是直角三角形，延長AB到點E,使BE=BC,在BC上取一點F,

使BF=AB,連接EF,4ABC旋轉(zhuǎn)后能與4FBE重合，請回答：

(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點？

(2)旋轉(zhuǎn)了多少度？

(3)AC與EF的關系如何?

c

【分析】(1)由條件易得BC和BE,BA和BF為對應邊，而4ABC旋轉(zhuǎn)后能與△

FBE重合，于是可判斷旋轉(zhuǎn)中心為點B；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NABF等于旋轉(zhuǎn)角，從而得到旋轉(zhuǎn)角度；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可判斷AC=EF,AC±EF.

【解答】解:(1)VBC=BE,BA=BF,

BC和BE,BA和BF為對應邊，

,/AABC旋轉(zhuǎn)后能與AFBE重合，

...旋轉(zhuǎn)中心為點B；

(2)VZABC=90°,

而AABC旋轉(zhuǎn)后能與^FBE重合，

/.ZABF等于旋轉(zhuǎn)角，

旋轉(zhuǎn)了90度；

(3)AC=EF,AC±EF.理由如下：

?.'△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。后能與4FBE重合，

，EF=AC,EF與AC成90。的角，即AC_LEF.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)

中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

6.閱讀下面材料，并解決問題：

(1)如圖①等邊AABC內(nèi)有一點P,若點P到頂點A、B、C的距離分別為3,4,

5,求NAPB的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將4ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到AACP，處，此時aACP/Z\ABP,

這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從

而求出NAPB=150°；

(2)基本運用

請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題

已知如圖②，Z\ABC中,ZCAB=90°,AB=AC,E、F為BC上的點且NEAF=45。，

求證：EF2=BE2+FC2；

（3）能力提升

如圖③，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,點0為RtZXABC內(nèi)一點,

連接AO,BO,CO,且NAOC=NCOB=NBOA=120。，求OA+OB+OC的值.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，全

等三角形對應角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

（2）把4ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ACE，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE，=AE,

CE，=CE,NCAE'=NBAE,NACE'=NB,NEAE'=90°,再求出NE'AF=45°,從而得

到NEAF=NE，AF,然后利用“邊角邊"證明^EAF和△E,AF全等，根據(jù)全等三角

形對應邊相等可得ET=EF,再利用勾股定理列式即可得證.

（3）將AAOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。至△A9B處，連接00，，根據(jù)直角三角形

30。角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC,即A，B的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)求出△B00,是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得B0=00\

等邊三角形三個角都是60。求出NBOO，=NBO9=60。，然后求出C、0、A\O'

四點共線，再利用勾股定理列式求出At,從而得到OA+OB+OC=A'C.

【解答】解：⑴VAACP^AABP,

，AP'=AP=3、CP'=BP=4、NAP'C=NAPB,

由題意知旋轉(zhuǎn)角NPAPz=60°,

.,.△APP，為等邊三角形，

PP'=AP=3,NAP'P=60°,

易證4PPt為直角三角形，且NPP，C=90。，

ZAPB=ZAP,C=ZAP'P+NPP'C=60°+90°=150°；

故答案為:150。；

(2)如圖2,把aABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ACE，，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE'=AE,CE'=BE,NCAE'=NBAE,NACE'=NB,NEAE'=90°,

VZEAF=45°,

，NE'AF=/CAE'+NCAF=/BAE+NCAF=NBAC-ZEAF=90°-45°=45°,

/.ZEAF=ZEZAF,

在aEAF和△E,AF中，

AE=AEZ

<ZEAF=ZE?AF

,AF=AF

...△EAF/Z\E'AF(SAS),

.,.E'F=EF,

VZCAB=90°,AB=AC,

.?.ZB=ZACB=45°,

NE'CF=45°+45°=90°,

由勾股定理得，ET2=CE/2+FC2,

即EF2=BE2+FC2.

(3)如圖3,WAAOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。至△ACTB處，連接00，,

AC=1,ZABC=30°,

BC=VAB2-AC2=V3,

VAAOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,

...△A，O，B如圖所示；

NA'BC=NABC+60°=30°+60°=90°,

VZC=90°,AC=1,ZABC=30°,

，AB=2AC=2,

,/AAOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△A9B

.?.A'B=AB=2,BO=B。'，A'O'=A。，

△BOO,是等邊三角形，

BO=OO\ZBOO，=ZBO,O=60°,

,/ZAOC=ZCOB=ZBOA=120°,

ZCOB+ZBOOZ=ZBO7V+ZB0,0=120°+60o=180°,

AC,0、A\0,四點共線，

在RgA'BC中，A，CWBC2+A'B2T的）2+22=77,

，0A+0B+0C=A'0'+00'+0C=A'C=V7.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的

性質(zhì)，勾股定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構造出全等三角形和等邊三

角形以及直角三角形是解題的關鍵.

7.將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中NA1CB1=NACB=9O。，NAi=NA=30。.

(1)將圖①中的aAiBiC順時針旋轉(zhuǎn)45。得圖②，點Pi是AiC與AB的交點，點

Q是AiBi與BC的交點，求證：CPi=CQ；

(2)在圖②中，若APi=2,則CQ等于多少？

【分析】（1）利用△AiCBigZXACB得到CAi=CA,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NB】CB=

ZAiCA=45°,則NBCAi=45。，于是根據(jù)"ASA”判斷△CQA1之4CPiA,所以CP】=CQ；

（2）過點Pi作P￡_LAC于點P,如圖②，先在RtaAPiP中根據(jù)含30度的直角

三角形三邊的關系得到P1P=1AP1=1X2=1,然后在RtACPxP中利用等腰直角

22

三角形的性質(zhì)得CP=PiP=l,CPi=?PPi=正，由（1）得CQ=CPI=M.

【解答】（1）證明：???△AiCBig/\ACB,

,CAi=CA,

,/圖①中的aAiBiC順時針旋轉(zhuǎn)45。得圖②，

/.ZB1CB=ZA1CA=45",

/.ZBCAi=45°

在△CQAi和ACPiA中，

'/QCA/NPiCA

<CA]=CA,

ZAj=ZA

/.△CQAI^ACPIA,

，CPi=CQ；

(2)解：過點Pi作PiPLAC于點P,如圖②,

在RtZ\APiP中，VZA=30°,

.*.P1P=1API=—X2=l,

22

在Rt^CPiP中，?.?NPiCP=45°,

，CP=PiP=l,

，CPi=&PPi=&,

.,.CQ=CPi=V2.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)

中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.旋轉(zhuǎn)有三要素：

旋轉(zhuǎn)中心；旋轉(zhuǎn)方向；旋轉(zhuǎn)角度.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì).

8.如圖1,點0為直線AB上一點，過點0作射線0C,使NAOC：ZB0C=2：1,

將一直角三角板的直角頂點放在點0處，一邊ON在射線0A上，另一邊0M

在直線AB的下方.

（1）將圖1中的三角板繞點0按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得0M落在

射線0A上，此時ON旋轉(zhuǎn)的角度為90。；

（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點0按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得0M

在NBOC的內(nèi)部，則NBON-ZCOM=30°；

（3）在上述直角三角板從圖1旋轉(zhuǎn)到圖3的位置的過程中，若三角板繞點。按

每秒鐘15。的速度旋轉(zhuǎn)，當0M恰為NBOC的平分線時，此時，三角板繞點0

的運動時間為16秒,簡要說明理由.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，旋轉(zhuǎn)角NMON=90。；

（2）分別求出NBON=90°-ZBOM,ZCOM=60°-NBOM,則NBON-ZCOM=90°

-ZBOM-60°+ZBOM=30°；

（3）易求NAOM+NAOC+NCOM，=240。，則三角板繞點。的運動時間為儂-16

15

（秒）.

【解答】解：（1）如圖2,依題意知，旋轉(zhuǎn)角是NMON,且NMON=90。.

故填：90；

(2)如圖3,ZAOC：ZBOC=2：1,

.,.ZAOC=120°,ZBOC=60°,

VZBON=90°-ZBOM,ZCOM=600-ZBOM,

，ZBON-ZCOM=90°-ZBOM-60°+ZBOM=30°,

故填：30；

(3)16秒.理由如下：

如圖4.?.?點0為直線AB上一點，ZAOC：ZB0C=2：1,

.?.ZAOC=120°,ZBOC=60°.

VOM恰為NBOC的平分線，

,NCOM'=30°.

NAOM+NAOC+NCOM'=240°.

???三角板繞點。按每秒鐘15。的速度旋轉(zhuǎn)，

二三角板繞點。的運動時間為儂=16（秒）.

15

故填：16.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關鍵是應該認真審題并仔細觀察圖形，找到各

個量之間的關系，并求出角的度數(shù)是解題的關鍵.

9.如圖1,將一副三角板的直角重合放置，其中NA=30。，ZCDE=45°.

（1）如圖1,求NEFB的度數(shù)；

（2）若三角板ACB的位置保持不動，將三角板CDE繞其直角頂點C順時針方向

旋轉(zhuǎn).

①當旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置時，恰好CD〃AB,則NECB的度數(shù)為30。；

②若將三角板CDE繼續(xù)繞點C旋轉(zhuǎn)，直至回到圖1位置.在這一過程中，是否

還會存在4CDE其中一邊與AB平行？如果存在，請你畫出示意圖，并直接寫

出相應的/ECB的大小；如果不存在，請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即

可得解；

（2）①根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NACD=NA,再根據(jù)同角的余角相等

可得NECB=NACD；

②分CE、DE、CD與AB平行分別作出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【解答】解:（1）VZA=30°,ZCDE=45°,

ZABC=90°-30°=60°,ZE=90°-45°=45°,

，ZEFB=ZABC-ZE=60°-45°=15°；

（2）?VCD//AB,

/.ZACD=ZA=30o,

*/ZACD+ZACE=ZDCE=90°,

ZECB+ZACE=ZACB=90°,

.,.ZECB=ZACD=30°；

②如圖1,CE〃AB,ZACE=ZA=30°,

ZECB=ZACB+ZACE=90o+30°=120°；

如圖2,DE〃AB時，延長CD交AB于F,

貝l」NBFC=ND=45。，

在ABCF中,ZBCF=180°-ZB-ZBFC,

=180°-60°-45°=75°,

ECB=ZBCF+ZECF=75°+90o=165°；

如圖3,CD〃AB時，ZBCD=ZB=60°,

ZECB=ZBCD+ZEDC=60°+90°=150°；

如圖4,CE〃AB時，ZECB=ZB=60°,

如圖5,DE〃AB時，ZECB=60°-45°=15°.

AA

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角板的知識，平行線的判定與性質(zhì)，難點在

于（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的逐漸增大分別作出圖形.

10.取一副三角板按如圖所示拼接，固定三角板ADC,將三角板ABC繞點A順

時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為a（CT<aW45。），得到△ABU.

①當a為多少度時，AB〃DC?

②當旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時，a為多少度？

③連接BD,當（T<aW45。時，探求NDBC+NCAU+NBDC值的大小變化情況,

并給出你的證明.

【分析】(1)若AB〃DC,則/BAC=NC=30°,得至【Ja=ZBAC,-ZBAC=45°-30°=15°；

(2)當旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時，a=45。，

(3)連接CC,CD與BC相交于0點，在aBD。和△OCC中，利用三角形內(nèi)角

和定理得至UZBDO+ZDBO=ZOCC+ZOCC,即可求得/DBU+ZCAU+Z

BDC=105°,即得至Ij/DBU+NCAC+NBDC值的大小不變.

【解答】解：(1)如圖②，

?.?AB〃DC,

AZBAC=ZC=30°,

，a=NBAC'-ZBAC=45°-30°=15°,

所以當a=15。時，AB//DC；

(2)當旋轉(zhuǎn)到圖③所示位置時，a=45°,

(3)當CTVaW45。時，NDBU+NCAC+NBDC值的大小不變.

證明：連接CU,CD與BU相交于。點，

在ABD。和△OCU中，ZBOD=ZCOC,

，ZBDO+ZDBO=ZOCC,+ZOC,C,

，ZDBC'+ZCAC'+ZBDC=ZBDO+Za+ZDBO=ZOCC+ZOUC+Za

=180°-ZACD-NAC'B,

=180°-45°-30°=105°,

.?.當(TVaW45。時，NDBC+NCAU+/BDC值的大小不變.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心

的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了三角

形的內(nèi)角和定理.

11.如圖,4ABD繞著點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。到△EBC,且NABD=90。,

（1）4ABD和AEBC是否全等？如果全等，請指出對應邊與對應角.

（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的長嗎？

（3）直線AD和直線CE有怎樣的位置關系？請說明理由.

D

ARC

【分析】（1）由aABD繞著點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△EBC,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)得到aABD之△EBC,再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得到對應邊與對應角.

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BD=BC,AB=EB,而AB=3cm,BC=5cm,得到BD=5cm,

BE=3cm,即可求出DE.

（3）由aABD繞著點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。到△EBC,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得

到直線AD和直線CE成90度的角，即它們垂直.

【解答】解：（1）?.'△ABD繞著點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△EBC,

.'.△ABD四△EBC,

...NBAD的對應角為NBEC,ND的對應角為NC,NABD的對應角為NEBC；AB

的對應邊為EB,BD的對應邊為BC,AD的對應邊為EC.

(2)可求出DE=2cm.過程如下:

VAABD^AEBC,

；.BD=BC,AB=EB,

而AB=3cm,BC=5cm,

/.BD=5cm,BE=3cm,

DE=BD-BE=5-3=2(cm).

（3）VAABD繞著點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。到△EBC,

AAD也繞著點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到CE,

即直線AD和直線CE垂直.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心

的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

12.如圖，△ABC中，ZB=10°,ZACB=20°,AB=4cm,三角形ABC按逆時針方

向旋轉(zhuǎn)一定角度后與三角形ADE重合，且點C恰好成為AD的中點.

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

(2)求出NBAE的度數(shù)和AE的長.

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應

點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構成的旋轉(zhuǎn)角相等，所以可求出：ZCAE=BAD=180°-ZB

-ZACB=150°,從而確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度；

(2)利用周角的定義可求出/BAE=360。-15(TX2=60。，全等的性質(zhì)可知AE=1

2

AB=2cm.

【解答】解：(1)??.△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與4ADE重合，A為頂點，

二旋轉(zhuǎn)中心是點A；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：ZCAE=ZBAD=180°-ZB-ZACB=150°,

，旋轉(zhuǎn)角度是150°；

(2)由(1)可知:ZBAE=360°-150°X2=60°,

由旋轉(zhuǎn)可知：△ABC^^ADE,

，AB=AD,AC=AE,又C為AD中點，

AC=AE」AB=LX4=2cm.

22

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).旋轉(zhuǎn)變化前后，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以

及每一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構成的旋轉(zhuǎn)角相等.要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：

①定點-旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度.

13.如圖所示，點P是等邊^(qū)ABC內(nèi)一點，PB=2,PC=1,ZBPC=150°,求PA的

長.

【分析