人教版九年級數(shù)學 第二十一章 一元二次方程 單元測試卷

第二十一章一元二次方程（單元測試卷人教版）考試時間：120分鐘，滿分：120分選擇題：共10題，每題3分，共30分。1．下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．用配方法解方程，變形正確的是（

）A． B． C． D．3．將方程化為一元二次方程的一般形式，其中二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（

）A．、 B．、10 C．8、 D．8、104．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的值是（

）A．4 B． C．16 D．5．如果關(guān)于的一元二次方程的一個根是，那么（

）A．或 B．或 C． D．6．某廠家2024年1—5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計如圖所示，設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程（

）A． B．C． D．7．等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則這個三角形的周長為（）A．或 B．或 C． D．8．已知，是方程的兩根，則的值是（

）A．0 B． C． D．69．我國古代數(shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑．內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊正方形水池，測量出除水池外圖內(nèi)可耕地的面積恰好是72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠．如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長是步，則列出的方程是（

）A． B．C． D．10．設(shè)一元二次方程的兩個根分別為，，則方程可寫成，即．容易發(fā)現(xiàn)：，．設(shè)一元三次方程的三個非零實根分別為，，，則以下正確命題的序號是（

）①；②；③；④．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空題：共8題，每題3分，共24分。11．若是方程的一個根，則的值是．12．隨著經(jīng)濟的逐漸復(fù)蘇，某市今年六月份提供就業(yè)崗位個，并按計劃逐月增長，預(yù)計八月份將提供崗位個．設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為．13．一元二次方程的兩個根分別為，，則．14．如圖，為美化環(huán)境，某地準備將一片面積為的矩形空地建為一個花圃，花圃中間共設(shè)有條等寬的水渠，將花圃分為了個形狀相同的矩形區(qū)域，在每個區(qū)域內(nèi)種植花草，花草的總面積為，若測得空地的寬為，則水渠的寬度為．15．已知是一元二次方程的一個根，則的值為．16．若，是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為．17．若，則M的最小值為．18．如圖，中，，，，點從點出發(fā)向終點以1個單位長度移動，點從點出發(fā)向終點A以2個單位長度移動，、兩點同時出發(fā)，一點先到達終點時、兩點同時停止，則秒后，的面積等于4．三、解答題：共10題，共66分，其中第19~20題每小題5分，第21~24題每小題6分，第25~26題每小題7分，第27題8分，第28題10分。19．（5分）用合適的方法解下列方程：(1)；(2)．20．（5分）閱讀下面的例題：解方程解：當，原方程化為，解得（不合題意，舍去）當時，原方程化為，解得（不合題意，舍去），，∴原方程的根是，請參照例題解方程：21．（6分）某商店銷售某種商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)托現(xiàn)銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出2件．(1)若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為件；(2)當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為2100元？22．（6分）已知關(guān)于的方程．(1)求證：無論取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根．(2)方程的解都為正整數(shù)，求滿足條件的所有正整數(shù)的值．23．（6分）已知：，是關(guān)于的一元二次方程的兩個根．(1)若，求的值；(2)在（1）的條件下，求的值．24．（6分）強強為了激勵自己學好數(shù)學，在白色宣紙上寫了兩幅書法作品，準備裝裱后掛在書房．其中一幅長方形書法作品長80cm，寬20cm，正方形書法作品邊長為40cm，現(xiàn)在給兩幅作品四周裝裱上寬度相等的彩紙（如圖1，圖2），設(shè)彩紙的寬為．（粘貼連接處忽略不計）(1)裝裱后長方形書法作品的長為______cm；正方形書法作品的面積為______．（用含x的代數(shù)式表示）(2)若裝裱長方形書法作品所用彩紙的面積為，求裝裱正方形書法作品所用彩紙的面積．25．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程，其中m為常數(shù)．(1)若是方程的一個根，求m的值；(2)當時，求該方程的根；(3)若方程有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．26．（7分）小明設(shè)計了點做圓周運動的一個動畫游戲，如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A、B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程與時間滿足關(guān)系：，乙以的速度勻速運動，半圓的長度為．(1)甲運動后的路程是多少？(2)甲、乙從開始運動到第三次相遇時，它們運動了多少時間？27．（8分）閱讀材料：在一元二次方程中，我們定義方程的判別式為，當時，方程有兩不同的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．并且當方程有實數(shù)根時，兩根之和為，兩根之積為．已知關(guān)于x的方程：(1)若方程有兩個實數(shù)根，求m的取值范圍．(2)若方程的一個根為1，另一個根為n，求m和n的值．(3)若方程的兩個實數(shù)根為，且，求m的值．28．（10分）若關(guān)于的一元二次方程的根均為整數(shù)，則稱方程為“快樂方程”．通過計算發(fā)現(xiàn)，任何一個“快樂方程”的判別式一定為完全平方數(shù)．現(xiàn)規(guī)定為該“快樂方程”的“快樂數(shù)”．例如“快樂方程”，的兩根均為整數(shù)，其“快樂數(shù)”，若有另一個“快樂方程”的“快樂數(shù)”，且滿足，則稱與互為“開心數(shù)”．(1)“快樂方程”的“快樂數(shù)”為________；(2)若關(guān)于的一元二次方程（為整數(shù)，且）是“快樂方程”，求的值，并求該方程的“快樂數(shù)”；(3)若關(guān)于的一元二次方程與（、均為整數(shù)）都是“快樂方程”，且其“快樂數(shù)”互為“開心數(shù)”，求的值．

第二十一章一元二次方程（單元測試卷人教版）考試時間：120分鐘，滿分：120分選擇題：共10題，每題3分，共30分。1．下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：A、是一元二次方程，符合題意；B、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；D、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；故選：A．2．用配方法解方程，變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，，，，故選：A．3．將方程化為一元二次方程的一般形式，其中二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（

）A．、 B．、10 C．8、 D．8、10【答案】D【詳解】解：化為一元二次方程的一般形式，其中二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是8，10，故選：D．4．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的值是（

）A．4 B． C．16 D．【答案】A【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，，，，．故選：A．5．如果關(guān)于的一元二次方程的一個根是，那么（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【詳解】解：根據(jù)題意得：，，解得：或，，，綜上，，故選：D．6．某廠家2024年1—5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計如圖所示，設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程：，故選：B．7．等腰三角形的兩邊長分別是方程的兩個根，則這個三角形的周長為（）A．或 B．或 C． D．【答案】C【詳解】解：由方程得，，，∵，∴等腰三角形的底邊長為，腰長為，∴這個三角形的周長為，故選：．8．已知，是方程的兩根，則的值是（

）A．0 B． C． D．6【答案】A【詳解】解∶∵，是方程的兩根，∴，，∴，故選∶A．9．我國古代數(shù)學著作《增減算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑．內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊正方形水池，測量出除水池外圖內(nèi)可耕地的面積恰好是72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠．如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長是步，則列出的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)正方形的邊長是步，則列出的方程是，，故選：B．10．設(shè)一元二次方程的兩個根分別為，，則方程可寫成，即．容易發(fā)現(xiàn)：，．設(shè)一元三次方程的三個非零實根分別為，，，則以下正確命題的序號是（

）①；②；③；④．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【詳解】解：設(shè)一元三次方程的三個非零實根分別為，，，則方程可寫成，即．對比可得，，，，可得，，，，綜上可知，①②④正確，③錯誤，故選B．二、填空題：共8題，每題3分，共24分。11．若是方程的一個根，則的值是．【答案】【詳解】解：∵是方程的一個根，∴，解得：．故答案為：12．隨著經(jīng)濟的逐漸復(fù)蘇，某市今年六月份提供就業(yè)崗位個，并按計劃逐月增長，預(yù)計八月份將提供崗位個．設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為．【答案】【詳解】根據(jù)題意得：，故答案為：．13．一元二次方程的兩個根分別為，，則．【答案】【詳解】解：∵一元二次方程中，，．故答案為：．14．如圖，為美化環(huán)境，某地準備將一片面積為的矩形空地建為一個花圃，花圃中間共設(shè)有條等寬的水渠，將花圃分為了個形狀相同的矩形區(qū)域，在每個區(qū)域內(nèi)種植花草，花草的總面積為，若測得空地的寬為，則水渠的寬度為．【答案】【詳解】解：設(shè)水渠的寬度為，空地的長為：，根據(jù)題意得：，整理得：，即，解得：，（不合題意，舍去），則水渠的寬度為，故答案為：．15．已知是一元二次方程的一個根，則的值為．【答案】【詳解】解：將代入方程，得，，．故答案為1.16．若，是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為．【答案】2023【詳解】解：∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，，．故答案為：2023．17．若，則M的最小值為．【答案】2【詳解】解：，，，當時，原式取最小值2，故答案為：2．18．如圖，中，，，，點從點出發(fā)向終點以1個單位長度移動，點從點出發(fā)向終點A以2個單位長度移動，、兩點同時出發(fā)，一點先到達終點時、兩點同時停止，則秒后，的面積等于4．【答案】1【詳解】解：設(shè)t秒后的面積等于4，由題意得：，則，∵，∴，整理得：，解得：，，∵點從點C到點A的時間為，∴，不合題意，舍去，∴1秒后，的面積等于4．故答案為：1．三、解答題：共10題，共66分，其中第19~20題每小題5分，第21~24題每小題6分，第25~26題每小題7分，第27題8分，第28題10分。19．（5分）用合適的方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【詳解】（1）解：；整理得：，，或，，；（2）解：，，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，．20．（5分）閱讀下面的例題：解方程解：當，原方程化為，解得（不合題意，舍去）當時，原方程化為，解得（不合題意，舍去），，∴原方程的根是，請參照例題解方程：【答案】【詳解】本題是一道解含有絕對值的一元二次方程的題目，熟練運用分類討論去絕對值，求一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．解：當，原方程化為，解得（不合題意，舍去）當時，原方程化為，解得（不合題意，舍去），．∴原方程的根是．21．（6分）某商店銷售某種商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)托現(xiàn)銷售單價每降低0.5元，平均每天可多售出2件．(1)若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為件；(2)當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為2100元？【答案】(1)42(2)10元【詳解】（1）（件）．故答案為：42；（2）解：設(shè)每件商品降價x元時，該商店每天的銷售利潤為2100，根據(jù)題意，得，解得，，∵，，∴，即當每件商品降價10元時，該商店每天銷售利潤2100元．22．（6分）已知關(guān)于的方程．(1)求證：無論取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根．(2)方程的解都為正整數(shù)，求滿足條件的所有正整數(shù)的值．【答案】(1)見解析(2)滿足條件的正整數(shù)有1和2．【詳解】（1）解：∵，∴；∴無論取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根；（2）解：∵，∴，∴，，∵方程的解都是正整數(shù)，∴，解得，∴滿足條件的正整數(shù)有1和2．23．（6分）已知：，是關(guān)于的一元二次方程的兩個根．(1)若，求的值；(2)在（1）的條件下，求的值．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）解：由題意得，，．解，得，∴∴．（2）由（1）得方程為把代入方程得．24．（6分）強強為了激勵自己學好數(shù)學，在白色宣紙上寫了兩幅書法作品，準備裝裱后掛在書房．其中一幅長方形書法作品長80cm，寬20cm，正方形書法作品邊長為40cm，現(xiàn)在給兩幅作品四周裝裱上寬度相等的彩紙（如圖1，圖2），設(shè)彩紙的寬為．（粘貼連接處忽略不計）(1)裝裱后長方形書法作品的長為______cm；正方形書法作品的面積為______．（用含x的代數(shù)式表示）(2)若裝裱長方形書法作品所用彩紙的面積為，求裝裱正方形書法作品所用彩紙的面積．【答案】(1)，(2)裝裱正方形書法作品所用彩紙的面積為．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，裝裱后長方形書法作品的長為：，正方形書法作品的邊長為：，面積為：，故答案為：，；（2）解：根據(jù)題意可知，裝裱后長方形書法作品的長為：，寬為：，裝裱后長方形書法作品的面積為：，裝裱長方形書法作品所用彩紙的面積為，即，解得：或（不符合題意，舍去），根據(jù)題意可知，裝裱后正方形書法作品的面積為：，裝裱正方形書法作品所用彩紙的面積裝裱后正方形書法作品的面積未裝裱正方形書法作品的面積，即裝裱正方形書法作品所用彩紙的面積，答：裝裱正方形書法作品所用彩紙的面積為．25．（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程，其中m為常數(shù)．(1)若是方程的一個根，求m的值；(2)當時，求該方程的根；(3)若方程有實數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時方程的根．【答案】(1)(2)，；(3)；．【詳解】（1）解：是該方程的一個根，，解得：；（2）當時，原方程為，，或，，；（3）方程有實數(shù)根，，解得，為正整數(shù)，，原方程為，，．26．（7分）小明設(shè)計了點做圓周運動的一個動畫游戲，如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A、B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程與時間滿足關(guān)系：，乙以的速度勻速運動，半圓的長度為．(1)甲運動后的路程是多少？(2)甲、乙從開始運動到第三次相遇時，它們運動了多少時間？【答案】(1)(2)它們運動了秒【詳解】（1）解：當時，，答：甲運動后的路程是；（2）解：由題意知，甲、乙從開始運動到第三次相遇總路程為5個半圓，∴，整理得，，∴，解得，或（舍去）．答：它們運動了秒．27．（8分）閱讀材料：在一元二次方程中，我們定義方程的判別式為，當時，方程有兩不同的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；