數(shù)字信號處理（第2版）課件 第3章-離散傅里葉變換（DFT）

1第3章離散傅里葉變換（DFT）3.5連續(xù)信號的DFT分析3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)3.2有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）3.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）3.4用DFT實現(xiàn)線性卷積3.6用MATLAB實現(xiàn)離散信號的DFT23.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）3.1.1

四種形式的傅里葉變換

時域

頻域非周期

連續(xù)

FT

連續(xù)非周期

周期

連續(xù)

FS

離散非周期

非周期離散DTFT連續(xù)周期

周期離散DFS離散周期

33.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）非周期連續(xù)時間信號的傅里葉變換返回

43.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）2.非連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù)返回

53.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）返回

3.非周期離散時間信號的傅里葉變換63.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）4.周期離散時間信號的傅里葉變換73.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）3.1.2離散傅里葉級數(shù)與周期連續(xù)時間信號一樣，可以用傅里葉級數(shù)來表示周期序列。設(shè)具有諧波性質(zhì)的序列ek[n]，稱為第

次諧波,式中

為整數(shù)，共個獨立諧波分量。的離散傅里葉數(shù)則可展開成如下形式8式中，

是常系數(shù)，

是k次諧波的系數(shù)。在式(3.1-10)兩邊均乘以e

j(2

/N)rn，再求和，可得利用復(fù)指數(shù)的正交性：3.1.2離散傅里葉級數(shù)93.1.2離散傅里葉級數(shù)求得傅里葉級數(shù)的系數(shù)也是一個以N為周期的周期序列，即利用符號

來表示復(fù)數(shù)，離散傅里葉級數(shù)對可以表示為10例3.1-1求周期脈沖串

的離散傅里葉級數(shù)。解：上式表明對于所有的k值，

均相同，將求解出的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)代入式(3.1-18)，可得3.1.2離散傅里葉級數(shù)11例3.1-2求周期矩形脈沖序列

的DFS，

如下圖所示，由

以10為周期進(jìn)行周期延拓得到。解：該周期序列的周期是3.1.2離散傅里葉級數(shù)12例3.1-2的周期序列

的DFS：(a)幅度譜，(b)相位譜3.1.2離散傅里葉級數(shù)13求

在一個周期即

內(nèi)的序列x[n]的傅里葉變換X(ej

)將X(ej

)和

的幅度和相位疊加畫在一起，如下圖所示3.1.2離散傅里葉級數(shù)14

例3.1-2和X(ej

)的關(guān)系k

1012345678910（a）

5

2

0

10（b）k

2

5

510

2

比較X(ej

)和

，可得3.1.2離散傅里葉級數(shù)15考慮周期序列和有限長序列之間的聯(lián)系：x[n]的傅里葉變換為的離散傅里葉級數(shù)為比較兩式，可得3.1.2離散傅里葉級數(shù)16結(jié)論：

的DFS系數(shù)

，可以看成是對上的一個周期部分序列x[n]，0

n

N

1，的傅里葉變換進(jìn)行等間隔采樣，頻率采樣間隔為

。3.1.2離散傅里葉級數(shù)173.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）3.1.3

離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)都是周期為N的周期序列，它們的DFS分別為線性式中，

和為任意常數(shù)，線性組合得到的離散傅里葉級數(shù)也是周期為N的序列。183.1.3離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)2.

序列的移位證：因為

和都是以N為周期的周期函數(shù)，則從而同理193.1.3離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)3.共軛對稱性復(fù)序列

，其共軛序列

的DFS滿足證：同理203.1.3離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)依據(jù)線性性質(zhì)，可得，稱為

的共軛對稱分量；同理，稱為

的共軛反對稱分量。213.1.3離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)4.周期卷積若則證：223.1.3離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)例3.1-3求下圖所示兩周期序列的周期卷積。解：和都是以

為周期的周期序列，根據(jù)周期卷積和公式，首先將兩個序列的自變量n改為m，然后四步驟1、反褶2、時移由于周期性，n取值3、相乘4、求和

對乘積項中的

求和，得到。23243.2有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）同樣3.2有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）3.2.1

離散傅里葉變換的定義設(shè)為有限長序列，長度為N，可以看成是周期為N的周期序列在一個周期

上的取值，這個周期

稱為主值區(qū)間。253.2.1

離散傅里葉變換的定義和關(guān)系還可以描述為式中，<n>N是模運算關(guān)系，表示如果n=mN+n1，其中m和n1都是整數(shù)，且0

n1

N

1，則有下式成立，而n1稱為<n>N模運算的余。例3.2-1設(shè)是周期N=5的周期序列，求n=-14和n=26時對N的余數(shù)解，即序列的值。解：，因而

，所以263.2.1

離散傅里葉變換的定義故和可以表示為與此類似，離散傅里葉級數(shù)

也是周期為N的周期序列，定義主值區(qū)間0

k

N

1，

為其主值序列。273.2.1

離散傅里葉變換的定義離散傅里葉級數(shù)（DFS）變換對：

這兩個公式的求和都只限于主值區(qū)間，即0到N-1，因而變換關(guān)系也適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可得到一個新的定義——有限長序列離散傅里葉變換定義。(3.2-7)(3.2-8)283.2.1

離散傅里葉變換的定義(3.2-7)(3.2-8)式(3.2-7)稱為序列x[n]的N點離散傅里葉變換，式(3.2-8)稱為離散傅里葉逆變換。x[n]和X[k]構(gòu)成離散傅里葉變換對，記著

對DFT來說，x[n]和X[k]都是有限長序列，但式(3.2-7)和式(3.2-8)是對DFS的改寫得到的，有限長序列都是以周期序列的一個周期來考慮的，因此x[n]和X[k]隱含著周期性。293.2.2

DFT和離散時間傅里葉變換的關(guān)系長度為N的序列x[n]，其DFT和

分別為比較兩式，N點離散傅里葉變換X[k]是以

為采樣間隔，對該序列的離散時間傅里葉變換

在一個周期內(nèi)（）的等頻率間隔采樣，即3.2有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）303.2.2

DFT和離散時間傅里葉變換的關(guān)系例3.2-2設(shè)有限長序列x[n]=R5[n]，如圖所示，n

1012345678910x[n]1求:（1）當(dāng)N=5和N=10

時的離散傅里葉變換；

（2）離散時間傅里葉變換

。解：（1）當(dāng)N=5時，利用離散傅里葉變換定義求解，313.2.2

DFT和離散時間傅里葉變換的關(guān)系當(dāng)N=10時，在x[n]的后面補5個零值，

構(gòu)成10點序列，其10點DFT為此結(jié)果可參照例3.1-2，與表達(dá)式完全一致，只不過這里的X[k]是的一個周期。32k

1012345678910X[k]5（b）5點DFTX[k]

10k

10012345678910（c）10點DFT的幅度|X[k]||X[k]|53.241.2411.243.24k

表示不確定的相位值（幅值=0）

0.4

0.2

0.2

0.4

10

10（d）10點DFT的相位333.2.2

DFT和離散時間傅里葉變換的關(guān)系（2）有限長序列x[n]=R5[n]，其

同例3.1-2完全一致，如下圖0（e）DTFTX(ej

)

5

2

-

-2

343.2.3

頻域采樣其N點的IDFT為由于故

x[n]絕對可和，其DTFT為

，以進(jìn)行頻域采樣，在得到N個頻率樣本

，可為序列Y[k]，其N點IDFT為y[n]，

，下面推導(dǎo)x[n]和y[n]的關(guān)系。353.2.3

頻域采樣

頻域采樣后，由Y[k]得到的有限長序列y[n]是原序列x[n]以頻域采樣點數(shù)N為周期進(jìn)行周期延拓后的主值序列。x[n]的長度大于Nx[n]長度小于

或等于N363.2.3

頻域采樣頻域采樣定理：如果序列x[n]長度為M，若對其

在

進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為

，采樣點頻率為

，得到N點的Y[k]，僅當(dāng)采樣點數(shù)時，才能由Y[k]恢復(fù)x[n]，即x[n]=IDFT

[Y[k]]，否則將產(chǎn)生時域的混疊失真，不能由Y[k]無失真的恢復(fù)原序列。373.2.3

頻域采樣DTFT采樣可恢復(fù)原信號周期延拓M<N0

n

M–10

k

N–1y[n]x[n]383.2.3

頻域采樣DTFT采樣發(fā)生混疊周期延拓M

N0

n

M–10

k

N–1y[n]x[n]393.2.4

頻域插值頻域插值就是由頻域采樣X[k]經(jīng)過插值來表示

的過程。右邊求和部分記403.2.4

頻域插值即由N個加權(quán)系數(shù)為X[k]的函數(shù)疊加得到，在每個采樣點上，都有

。0

1

2

2

N=52

/N4

/N

4

/N

2

/N（a）插值函數(shù)的幅度

（c）恢復(fù)得到的DTFTX(ej

)X(ej

)0X(ej

)413.3離散傅里葉變換的性質(zhì)3.3.1線性若則序列x3[n]的長度也為N，其N點DFT為若x1[n]的長度為N1，x2[n]的長度為N2，則序列x3[n]的最大長度為N3=max[N1,N2]。則DFT的長度

，即將x1[n]和x2[n]尾部補零值，使得其長度為N。423.3離散傅里葉變換的性質(zhì)3.3.2循環(huán)移位定義又稱：圓周移位，這種移位可以看成是將有限長序列x

[n]以N為周期進(jìn)行周期延拓，得到周期序列

，再對周期序列

做線性移位后，取主值區(qū)間得到。步驟1:周期延拓，周期為N步驟2:時移步驟3:取主值區(qū)間例：433.3.2

循環(huán)移位可見，序列x[n]從右邊移出m位，則從左邊就移入m位相同的序列值，所以稱之為圓周移位，也即序列值永遠(yuǎn)在一個圓周上移位。44453.3離散傅里葉變換的性質(zhì)序列x[n],其N點的離散傅里葉變換為X[k]若將X[k]中的k換成n，即求N點的時域序列X[n]的DFT，則上式與連續(xù)時間傅里葉變換中的對偶關(guān)系類似3.3.3對偶性463.3離散傅里葉變換的性質(zhì)3.3.4圓周共軛對稱性N點的有限長序列x

[n]，DFT[x[n]]=X[k]，有X[k]為有限長序列，可分解為兩個長度為N的有限長序列，這兩個分量稱為圓周共軛對稱分量

和圓周共軛反對稱分量

。3.3.4

圓周共軛對稱性對于

，

，通常認(rèn)為X[N]=X[0]，所以上式也表示為圓周共軛對稱分量具有圓周共軛對稱性，即圓周共軛反對稱分量具有圓周共軛反對稱性，即同樣的，可將序列x[n]分解為

和

。473.3.4

圓周共軛對稱性N點復(fù)序列N點DFT48483.3.4

圓周共軛對稱性

若x[n]為實序列，則分解的和稱為圓周偶對稱分量和圓周奇對稱分量。因x[n]為實序列，，其離散傅里葉變換具有圓周共軛稱對性，即。即49503.3離散傅里葉變換的性質(zhì)3.3.5循環(huán)卷積（1）定義設(shè)兩個有限長序列x1[n]和x2[n]的N

點DFT分別為X1[k]

、X2[k]，若則Y

[k]的N

點IDFTy

[n]可利用DFT和DFS之間的關(guān)系得簡寫為稱為N點循環(huán)卷積或N點圓周卷積，記Ny

[n]=x1[n]

x2[n]

3.3.5

循環(huán)卷積Ny

[n]=x1[n]

x2[n]

循環(huán)卷積運算似于線性卷積運算，但略有不同。首先將兩個序列的自變量n改為m，然后按以下五步驟計算步驟1:

x2[m]周期延拓，周期為N

步驟2:反褶步驟3:移位

，

n取值步驟4:相乘

步驟5:求和

對乘積項中的

求和，得到y(tǒng)

[n]。513.3.5

循環(huán)卷積循環(huán)卷積具有交換律Nx1[n]

x2[n]

=x2[n]x1[n]

N即Ny

[n]=x2[n]x1[n]

例3.3-1設(shè)x1[n]={1,2,3,4}，x2[n]={2,1,3}

，求循環(huán)卷積4y

[n]=x1[n]

x2[n]。解：循環(huán)卷積公式為4y

[n]=x1[n]

x2[n]52533.3.5

循環(huán)卷積（2）循環(huán)卷積定理Nx1[n]

x2[n]

證：循環(huán)卷積定理說明，兩個序列的N點循環(huán)卷積，可以通過頻域方法求解。具體實現(xiàn)步驟為：1、分別求

x1[n]、x2[n]的N

點DFT：X1[k]

、X2[k]；2、將求得的DFT相乘；3、對乘積求IDFT。543.3.5

循環(huán)卷積例3.3-2設(shè)x1[n]長度為5的序列，

，求5y

[n]=x1[n]x2[n]。解：可以認(rèn)為x2[n]是長度為5的有限長序列x2[n]的5點DFT為x1[n]的5點DFT為，則利用循環(huán)移位定理，可知55563.3離散傅里葉變換的性質(zhì)3.3.6帕斯瓦爾定理x

[n]和y

[n]的N

點DFT分別為X

[k]

、Y

[k]，

則有當(dāng)x

[n]=y

[n]時，有同樣，若則y[n]的N點離散傅里葉變換為N573.4用DFT實現(xiàn)線性卷積3.4.1兩個有限長序列的線性卷積已知一個長度N1點的序列x1[n]，，另一個長度N2點的序列x2[n]，

，則兩序列的線性卷積為線性卷積

是長度為N1+N2-1點的序列。3.4.2循環(huán)卷積和線性卷積的關(guān)系考慮上述有限長序列x1[n]和x2[n]的N點循環(huán)卷積，其中

，兩個序列均補到N點，再進(jìn)行循環(huán)卷積運算。58比較和，可得循環(huán)卷積和線性卷積的關(guān)系：兩個有限長序列的N點循環(huán)卷積，是這兩個有限長序列的線性卷積以N為周期進(jìn)行周期延拓后的主值序列。3.4.2

循環(huán)卷積和線性卷積的關(guān)系3.4.2

循環(huán)卷積和線性卷積的關(guān)系例3.4-1若兩個有限長序列x1[n]=x2[n]=R6[n],求（2）y2[n]=x1[n]x2[n]。126（1）y1[n]=x1[n]x2[n]；解：59y2[n]=x1[n]x2[n]12y1[n]=x1[n]x2[n]6603.4.2

循環(huán)卷積和線性卷積的關(guān)系線性卷積

是長度為N1+N2-1點的序列,如果延拓的周期N,各延拓的周期沒有交疊，

；結(jié)論：兩個有限長序列的循環(huán)卷積和線性卷積相等的

前提條件是：,延拓周期小于線性卷積非零值得長度，故而延拓過程中發(fā)生混疊，

，且只有和對循環(huán)卷積的結(jié)果有貢獻(xiàn)。611、令

，對x

[n]、h[n]補零，至N點，即623.4用DFT實現(xiàn)線性卷積3.4.3用DFT實現(xiàn)線性時不變系統(tǒng)設(shè)一個線性時不變系統(tǒng)，輸入為x

[n]，，單位樣值響應(yīng)為h[n]，

,系統(tǒng)的響應(yīng)

,長度為N1+N2-1?，F(xiàn)利用循環(huán)卷積來實現(xiàn)該類系統(tǒng)，過程如下：2、分別求x

[n]、h[n]的N點DFT，5、4、求

的N點IDFT，得到：3、求乘積：633.5連續(xù)信號的DFT分析3.5.1非周期連續(xù)時間信號的頻譜分析圖3.5-1利用DFT計算連續(xù)信號頻譜的分析框圖(3.5-2)(3.5-1)(3.5-3)3.5.1非周期連續(xù)時間信號的頻譜分析圖3.5-2利用DFT對DTFT近似的頻域分析過程64

連續(xù)時間信號進(jìn)行采樣，其采樣序列的頻譜是被采信號頻譜的周期延拓。當(dāng)采樣頻率不能滿足奈奎斯特采樣定理時，即fT<2fm，會發(fā)生頻譜混疊。

在實際應(yīng)用中，解決混疊的方法通常是:用預(yù)濾波的方法濾除信號高頻分量，即在采樣前用模擬抗混疊濾波器，該濾波器的截止頻率為fc=fT/2。653.5連續(xù)信號的DFT分析3.5.2利用DFT對連續(xù)信號譜分析時應(yīng)注意的幾個問題1.混疊662.頻譜泄漏

對信號截短xN[n]=x[n]RN[n]，相當(dāng)于將信號乘以一個寬度為N的矩形窗函數(shù)，矩形窗譜的DTFT為圖3.5-3矩形窗及其頻譜3.5.2利用DFT對連續(xù)信號譜分析時應(yīng)注意的幾個問題3.5.2利用DFT對連續(xù)信號譜分析時應(yīng)注意的幾個問題

截短后的信號頻譜是原信號頻譜與矩形窗譜卷積的結(jié)果，在卷積過程中使得信號的譜峰展寬，這種信號頻譜的擴(kuò)展現(xiàn)象，稱為頻譜泄漏。例：余弦信號（a）采樣序列是無限長時，頻譜在主值區(qū)間內(nèi)為沖激函數(shù)；（b）信號截短后，其頻譜與矩形窗的頻譜幅度卷積，譜線展寬，產(chǎn)生了頻譜泄漏。67683.5.2利用DFT對連續(xù)信號譜分析時應(yīng)注意的幾個問題3.柵欄效應(yīng)

減小柵欄效應(yīng)，可以采用在原序列的末端補一些零值，使整個數(shù)據(jù)長度增加，從而增加了DFT的點數(shù)。相當(dāng)于每一根“柵欄”變細(xì)，使得被漏掉的某些頻譜分量被檢測出來。

對xN[n]進(jìn)行DFT，得到的X[k]，是傅里葉變換

在頻率軸上等間隔的采樣。我們只能知道這N點的采樣值，這就好像是通過一個柵欄的縫隙觀看景象一樣，只能在相隔一定間距的離散點上看到真實的頻譜，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。

但要注意的是，這時，時域信號xN[n]的有效數(shù)據(jù)沒有變化，因此頻率分辨率也沒有增加。693.5.2利用DFT對連續(xù)信號譜分析時應(yīng)注意的幾個問題4.頻率分辨率注：這里的N指的是信號xN[n]的有效長度，而不是補零后的長度。

頻率分辨率指長度為N的信號所對應(yīng)的連續(xù)頻譜

中能分辨的兩個頻率分量峰值的最小頻率間距F，F(xiàn)與數(shù)據(jù)有效長度T0成反比，即F=1/T0。由于，因此可得

F越小，頻率分辨率就越高，若想提高分辨率，只能增加有效數(shù)據(jù)長度T0，若采樣頻率

fT

不變，則采樣點數(shù)要增加，即增加信號x

[n]的截取長度N。703.5.2利用DFT對連續(xù)信號譜分析時應(yīng)注意的幾個問題例3.5-1設(shè)模擬信號xa(t)的最高頻率fm=5Hz

，確定最低采樣頻率fT

，在這一采樣頻率下采樣得到256點數(shù)據(jù)，對其做DFT，求得到的最大頻率分辨率F。解：由采樣定理可知最低采樣頻率為10Hz，頻率分辨率為713.5.2利用DFT對連續(xù)信號譜分析時應(yīng)注意的幾個問題用DFT進(jìn)行頻譜分析時參數(shù)選擇一般原則：2、根據(jù)需要，選定頻率分辨率F，選定好后即可確定所需DFT的長度3、fT和N確定后，可以確定相應(yīng)模擬信號的有效時間長度1、若已知信號的最高頻率fm，為防止混疊，選擇采樣頻率723.6用MATLAB實現(xiàn)離散信號的DFT

函數(shù)dftmtx(N)可以產(chǎn)生N

N的DFT矩陣DN；產(chǎn)生N

N的IDFT矩陣DN-1可用函數(shù)conj(dftmtx(N))/N來確定。有4個常用函數(shù)：fft(x)，fft(x,N)，ifft(X)，ifft(X,N)。例3.6-1一個周期矩形序列定義如下當(dāng)L=6,N=10;L=6,N=20;L=6,N=40和L=8,N=40，畫出。解：由周期矩形序列

通過求DFS可以得到

，先編寫DFS函數(shù)，便于程序調(diào)用。function[Xk]=dfs(xn,N)%computesDiscreteFourierseriesCoefficientn=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];WN=exp(-1j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk;end733.6用MATLAB實現(xiàn)離散信號的DFTL=6;N=10;k=[-N/2:N/2];xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];Xk=dfs(xn,N);magXk=abs([Xk(N/2+1:N)Xk(1:N/2+1)]);subplot(1,4,1);stem(k,magXk);ylabel('幅度');xlabel('k');title('DFS變換：L=6，N=10');N=20;k=[-N/2:N/2];xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];Xk=dfs(xn,N);magXk=abs([Xk(N/2+1:N)Xk(1:N/2+1)]);subplot(1,4,2);stem(k,magXk);xlabel('k');title('DFS變換：L=6，N=20');N=40;k=[-N/2:N/2];xn=[ones(1,L),zeros