河南省許平汝名校2024-2025學年高三上學期10月期中考試數(shù)學試題

高三數(shù)學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)，導數(shù)，三角函數(shù)，三角恒等變換，解三角形，平面向量。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.52.已知，，向量，滿足，則“，不共線”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知，，，則（）A. B. C. D.4.若曲線與軸，直線的交點分別為A，B，O為坐標原點，則向量與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.5.已知，是以AB為直徑的圓上一點，，為BC的中點，則（）A. B. C. D.6.已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊過點，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（）A.6 B.4 C.3 D.28.在中，角A，B為銳角，的面積為4，且，則周長的最小值為（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞誠 D.在上有4個零點10.若實數(shù)x，y滿足，則（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于點對稱 B.為奇函數(shù)C.是的極小值點 D.在上有極值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則曲線在點處的切線方程為______.13.若定義在上的函數(shù)滿足：，且，則______.14.如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線，組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）（1）已知是第三象限角，且是方程的一個實根，求的值；（2）已知，且，求的值.16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)，且圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為.（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），再向上平移個單位長度，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點，求的取值范圍.17.（本小題滿分15分）在中，角A，B，C的對邊分別為，，，.（1）求；（2）已知，為的平分線，交AC于點，且，為線段AC上一點，且，求的周長.18.（本小題滿分17分）如圖，我們把由平面內(nèi)夾角成的兩條數(shù)軸Ox，Oy構成的坐標系，稱為“完美坐標系”.設，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“完美坐標”.（1）若向量的“完美坐標”為，求；（2）已知，分別為向量，的“完美坐標”，證明：；（3）若向量，的“完美坐標”分別為，，設函數(shù)，，求的值域.19.（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）證明：當時，只有1個零點；（2）當時，討論的單調(diào)性；（3）若，設，證明：，.高三數(shù)學參考答案、提示及評分細則1.B由和，得，所以的真子集個數(shù)為.故選B.2.A若，不共線，由及平面向量基本定理，得；若，無論，共線與否，都有.綜上，“，不共線”是“”的充分不必要條件.故選A.3.D因為，，，所以.故選D.4.C由，得，由，得，解得，則；由，得，解得，則.，，所以.故選C.5.B取AB的中點，因為為BC的中點，所以，所以.故選B.6.D由三角函數(shù)的定義，得，，所以，，.故選D.7.D令，則，且原函數(shù)變?yōu)?，令，易知，所以為上的奇函?shù)，則，，所以，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以，所以.故選D.8.A由，可得，即，因為，，所以當時，，，則，不符合題意；當時，，，，不符合題意，所以，從而，由，得，所以的周長，當且僅當時取等號.故選A.9.AB.顯然為偶函數(shù)，故A正確；對于B，最小正周期，故B正確；對于C，當時，，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，由，得，所以在上的零點有，，，共3個，故D錯誤.故選AB.10.AC設，則，代人，整理得，由，解得，即，則A正確；，即，則C正確；取，滿足，此時，，則B和D錯誤.綜上，故選AC.11.ABC，所以的圖象關于點對稱，故A正確；為奇函數(shù)，故B正確；，則，當時，，，；當時，，，，所以是的極小值點，故C正確；由，得，又在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故在上無極值，故D錯誤.故選ABC.12.由題意得，所以切線斜率，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.13.3因為，所以，所以，4為的一個周期，則，又，取，得，所以，故.14.如圖，設，，連接AB交曲線于點.根據(jù)曲線的性質(zhì)，則A，B關于對稱，曲線關于點對稱，所以可將曲線與軸、軸圍成的區(qū)域割補為直角的區(qū)域，于是曲線與軸、軸圍成的區(qū)域的面積就是直角的面積，即；根據(jù)對稱性，可得曲線與x，y軸圍成的區(qū)域的面積也為，又半圓，半圓的面積都為，故曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積為.15.解：（1）由，得，或.因為是方程的一個實根，且是第三象限角，所以，所以.（2）因為，所以，則，因為，所以，，故，.16.解：（1），因為的圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為，所以，所以.所以，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意可知，所以，由題意，關于的方程在上有解，因為，所以，所以的值域為，令，，則的值域為，所以，解得，所以的取值范圍為.17.解：（1），，，，，，，又，.（2）因為BD為的平分線，，所以，又，，所以，即，①由余弦定理，得，即，②由①②可得（舍去負值），，所以a，c是關于的方程的兩個實根，解得.又因為BD為的平分線，所以，又，，所以，，所以的周長為.18.（1）解：因為的“完美坐標”為，則，又因為，分別為Ox，Oy正方向上的單位向量，且夾角為，所以，所以.（2）證明：由（1）知，所以，即.（3）解：因為向量，的“完美坐標”分別為，，由（2）得.令，則，因為，所以，即，令，因為的圖象是對稱軸為，開口向上的拋物線的一部分，所以當時，取得最小值，當時，取得最大值，所以的值域為.19.（1）證明：時，，定義域為，，因為，所以，又，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以只有1個零點.（2）解：的定義域為，，令，則，由于，當，