2025屆北京西城44中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆北京西城44中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線與曲線相切于點(diǎn),則()A. B.C. D.2．五行學(xué)說是中華民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.古代先民認(rèn)為，天下萬物皆由五種元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關(guān)系.若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關(guān)系的概率是（）A. B.C. D.3．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，過作軸的平行線交橢圓于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的虛軸長為，且以、為頂點(diǎn)，以直線、為漸近線，則橢圓的短軸長為（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)在處有極小值，則c的值為（）A.2 B.4C.6 D.2或65．函數(shù)在區(qū)間上平均變化率等于（）A. B.C. D.6．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離7．?dāng)?shù)列，，，，，中，有序?qū)崝?shù)對(duì)是（）A. B.C. D.8．已知為偶函數(shù)，且，則___________.9．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．離心率為，長軸長為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A. B.或C. D.或11．某研究所為了研究近幾年中國留學(xué)生回國人數(shù)的情況，對(duì)2014至2018年留學(xué)生回國人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表：年份20142015201620172018年份代碼12345留學(xué)生回國人數(shù)/萬36.540.943.348.151.9根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求得留學(xué)生回國人數(shù)（單位：萬）與年份代碼滿足的線性回歸方程為，利用回歸方程預(yù)測(cè)年留學(xué)生回國人數(shù)為（）A.63.14萬 B.64.72萬C.66.81萬 D.66.94萬12．函數(shù)圖象如圖所示,則的解析式可以為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是____________14．如圖，棱長為1的正方體，點(diǎn)沿正方形按的方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿正方形按的方向以同樣的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)分別從點(diǎn)A與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積大小是________.15．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的方程是______.16．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前5項(xiàng)為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面.18．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）一款小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需拋擲骰子三次，出現(xiàn)一次或兩次“6點(diǎn)”獲得15分，出現(xiàn)三次“6點(diǎn)”獲得120分，沒有出現(xiàn)“6點(diǎn)”則扣除12分(即獲得－12分)（Ⅰ）設(shè)每盤游戲中出現(xiàn)“6點(diǎn)”的次數(shù)為X，求X的分布列；（Ⅱ）玩兩盤游戲，求兩盤中至少有一盤獲得15分概率；（Ⅲ）玩過這款游戲的許多人發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了．請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析解釋上述現(xiàn)象20．（12分）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)P，若橢圓C上有兩個(gè)點(diǎn)A，B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸，且點(diǎn)B與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為，求直線AP的方程.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為角梯形，，，，O為的中點(diǎn)，，.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.22．（10分）已知圓，直線（1）求證：對(duì)，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】直線與曲線相切于點(diǎn),可得求得的導(dǎo)數(shù),可得,即可求得答案.【詳解】直線與曲線相切于點(diǎn)將代入可得:解得:由,解得:.可得,根據(jù)在上,解得:故故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)切點(diǎn)求參數(shù)問題,解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)切線的定義和導(dǎo)數(shù)的求法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.2、C【解析】先計(jì)算從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種的所有基本事件數(shù)，再計(jì)算其中兩種元素恰是相生關(guān)系的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式，即得解【詳解】由題意，從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個(gè)基本事件，其中兩種元素恰是相生關(guān)系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個(gè)基本事件，所以所求概率.故選：C3、C【解析】不妨取點(diǎn)在第一象限，根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，以及它們之間的聯(lián)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再將其代入橢圓的方程中，解之即可【詳解】解：由題意知，在橢圓中，有，在雙曲線中，有，，即，雙曲線的漸近線方程為，不妨取點(diǎn)在第一象限，則的坐標(biāo)為，即，將其代入橢圓的方程中，有，，解得，橢圓的短軸長為故選：4、A【解析】根據(jù)求出c，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.【詳解】由題意，，則，所以或.若c=2，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值，滿足題意；若c=6，則，函數(shù)R上單調(diào)遞增，不合題意.綜上：c=2.故選：A.5、C【解析】根據(jù)平均變化率的定義算出答案即可.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于故選：C6、B【解析】求出兩圓的圓心距與半徑之和、半徑之差比較大小即可得出正確答案.【詳解】由可得圓心為，半徑，由可得圓心為，半徑，所以圓心距為，所以兩圓相外切，故選：B.7、A【解析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序?qū)崝?shù)對(duì)是，故選：8、8【解析】由已知條件中的偶函數(shù)即可計(jì)算出結(jié)果，【詳解】為偶函數(shù)，且，.故答案為：89、D【解析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率即可求解.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.10、B【解析】試題解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上：當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上：考點(diǎn)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是焦點(diǎn)位置不同方程不同11、D【解析】先求出樣本點(diǎn)的中心，代入線性回歸方程即可求出，再將代入線性回歸方程即可得到結(jié)果【詳解】由題意知：，，所以樣本點(diǎn)的中心為，所以，解得：，可得線性回歸方程為，年對(duì)應(yīng)的年份代碼為，令，則，所以預(yù)測(cè)2022年留學(xué)生回國人數(shù)為66.94萬，故選：D.12、A【解析】利用排除法：對(duì)于B,令得,,即有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對(duì)于D,的定義域?yàn)椋环项}意；本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】去絕對(duì)值分別列出每個(gè)象限解析式，數(shù)形結(jié)合利用距離求解范圍.【詳解】當(dāng)，表示橢圓第一象限部分；當(dāng)，表示雙曲線第四象限部分；當(dāng)，表示雙曲線第二象限部分；當(dāng)，不表示任何圖形；以及兩點(diǎn)，作出大致圖象如圖：曲線上的點(diǎn)到的距離為，根據(jù)雙曲線方程可得第二四象限雙曲線漸近線方程都是，與距離為2，曲線二四象限上的點(diǎn)到的距離為小于且無限接近2，考慮曲線第一象限的任意點(diǎn)設(shè)為到的距離，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，則的取值范圍是故答案為：14、##【解析】畫出符合要求的圖形，觀察得到軌跡是菱形，并進(jìn)行充分性和必要性兩方面的證明，并求解出軌跡圖形的面積.【詳解】如圖，分別是正方形ABCD，，的中心，下面進(jìn)行證明：菱形EFGC的周界即為動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)H的軌跡，首先證明：如果點(diǎn)H是動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)，那么點(diǎn)H必在菱形EFGC的周界上，分兩種情況證明：（1）P，Q分別在某一個(gè)定角的兩邊上，不失一般性，設(shè)P從B到C，而Q同時(shí)從到C，由于速度相同，所以PQ必平行于，故PQ的中點(diǎn)H必在上；（2）P，Q分別在兩條異面直線上，不失一般性，設(shè)P從A到B，同時(shí)Q從到，由于速度相同，則，由于H為PQ的中點(diǎn)，連接并延長，交底面ABCD于點(diǎn)T，連接PT，則平面與平面交線是PT，∵∥平面，∴∥PT，∴，而，∥BC，∴是等腰直角三角形，，從而T在AC上，可以證明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行線的唯一性，顯然H在DG上，綜合（1）（2）可證明，線段PQ的中點(diǎn)一定在菱形EFGC的周界上；下面證明：如果點(diǎn)H在菱形EFGC的周界上，則點(diǎn)H必定是符合條件的線段的中點(diǎn).也分兩種情況進(jìn)行證明：（1）H在CG或CE上，過點(diǎn)H作PQ∥（或BD），而與BC及（或CD及BC）分別相交于P和Q，由相似的性質(zhì)可得：PH=QH，即H是PQ的中點(diǎn)，同時(shí)可證：BP=（或BQ=DP），因此P、Q符合題設(shè)條件（2）H在EF或FG上，不失一般性，設(shè)H在FG上，連接并延長，交平面AC于點(diǎn)T，顯然T在AC上，過T作TP∥CB于點(diǎn)P，則TP∥，在平面上，連接PH并延長，交于點(diǎn)Q，在三角形中，G是的中點(diǎn)，∥AC，則H是的中點(diǎn)，于是，從而有，又因?yàn)門P∥CB，，所以，從而，因此P，Q符合題設(shè)條件.由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一點(diǎn)，則H必是符合題設(shè)條件的動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)，證畢.因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，其中，所以邊長為且，為等邊三角形，，所以面積.故答案為：【點(diǎn)睛】對(duì)于立體幾何軌跡問題，要畫出圖形，并要善于觀察，利用所學(xué)的立體幾何方面的知識(shí)，大膽猜測(cè)，小心驗(yàn)證，對(duì)于多種情況的，要畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.15、【解析】求導(dǎo)，求得，，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以切線的斜率，切線方程是，即.故答案為：.16、【解析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列的前5項(xiàng)為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連結(jié)、，交于點(diǎn)，連結(jié)，通過即可證明；（2）通過，

可證平面，即得，進(jìn)而通過平面得，結(jié)合即證.詳解】證明：（1）連結(jié)、，交于點(diǎn)，連結(jié)，底面正方形，∴是中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.平面，

平面，∴平面.（2），點(diǎn)是的中點(diǎn)，.底面是正方形，側(cè)棱底面，∴，

，且

，∴平面，∴，又，∴平面，∴，，，平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行和線面垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）令，求導(dǎo)得到函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故，得到證明.（2），討論和兩種情況，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到，解得答案.【詳解】（1）令，有，令可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，故有.（2）由①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，沒有增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令可得，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，必須且，可得，此時(shí)，又由，當(dāng)時(shí)，由(1)有，取時(shí)，顯然有，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19、（Ⅰ）分布列見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】（Ⅰ）先得到可能的取值為，，，，根據(jù)每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點(diǎn)”的概率為，得到每種取值的概率，得到分布列；（Ⅱ）計(jì)算出每盤游戲沒有獲得15分的概率，從而得到兩盤中至少有一盤獲得15分的概率；（Ⅲ）設(shè)每盤游戲得分為，得到的分布列和數(shù)學(xué)期望，從而得到結(jié)論.【詳解】解：（Ⅰ）可能的取值為，，，.每次拋擲骰子，出現(xiàn)“6點(diǎn)”的概率為.，，，，所以X的分布列為：0123（Ⅱ）設(shè)每盤游戲沒有得到15分為事件，則.設(shè)“兩盤游戲中至少有一次獲得15分”為事件，則因此，玩兩盤游戲至少有一次獲得15分的概率為.（Ⅲ）設(shè)每盤游戲得分為.由（Ⅰ）知，的分布列為：Y-1215120P的數(shù)學(xué)期望為.這表明，獲得分?jǐn)?shù)的期望為負(fù)因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大【點(diǎn)睛】本題考查求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，求互斥事件的概率，屬于中檔題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點(diǎn)為，則橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點(diǎn)，設(shè)直線AP的斜率為k，由題意知，直線