山東省青島市三十九中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

山東省青島市三十九中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等差數(shù)列x，，，…的第四項(xiàng)為()A.5 B.6C.7 D.82．已知拋物線，過點(diǎn)與拋物線C有且只有一個交點(diǎn)的直線有（）條A.0 B.1C.2 D.33．加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓的蒙日圓的半徑為（）A.3 B.4C.5 D.64．?dāng)?shù)列中，，，則（）A.32 B.62C.63 D.645．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A. B.7C.6 D.6．內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則一定是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形7．已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是A. B.C. D.8．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，則（）A. B.C. D.以上都不對9．某口罩生產(chǎn)商為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，從總體編號為001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取10個樣本進(jìn)行抽檢，選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開始由左向右讀取，則選出的第3個樣本的編號為（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.32510．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A.6 B.12C.56 D.7811．直線分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形OAB的內(nèi)切圓上有動點(diǎn)P，則的最小值為（）A.16 B.18C.20 D.2212．函數(shù)在處有極值為，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則其通項(xiàng)公式________14．命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______15．已知雙曲線的漸近線上兩點(diǎn)A，B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），則直線AB的斜率是_________.16．桌面排列著100個乒乓球，兩個人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個乒乓球人為勝利者．條件是：每次拿走球的個數(shù)至少要拿1個，但最多又不能超過5個，這個游戲中，先手是有必勝策略的，請問：如果你是最先拿球的人，為了保證最后贏得這個游戲，你第一次該拿走_(dá)__個球三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面EDC所成的二面角的正弦值18．（12分）已知橢圓，直線.（1）若直線與橢圓相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線與橢圓相交于A、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）已知拋物線C：，直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，其中.（1）若，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）是否存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，若存在，請求出正數(shù)m，若不存在，請說明理由.20．（12分）數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知函數(shù)的圖像在處的切線斜率為，且時，有極值.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.22．（10分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與軸的正半軸重合，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）（1）求直線的直角坐標(biāo)方程及曲線的普通方程；（2）求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求出x，求出公差，即可求出第四項(xiàng).【詳解】由題可知，等差數(shù)列公差d＝(x＋2)－x＝2，故3x＋6＝x＋2＋2，故x＝－1，故第四項(xiàng)為－1＋(4－1)×2＝5.故選：A.2、D【解析】設(shè)出過點(diǎn)與拋物線C只有一個公共點(diǎn)且斜率存在的直線方程，再與的方程聯(lián)立借助判別式計算、判斷作答.【詳解】拋物線的對稱軸為y軸，直線過點(diǎn)P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個公共點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)與拋物線C只有一個公共點(diǎn)且斜率存在的直線方程為：，由消去y并整理得：，則，解得或，因此，過點(diǎn)與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個公共點(diǎn)的直線有一條，所以過點(diǎn)與拋物線C有且只有一個交點(diǎn)的直線有3條.故選：D3、A【解析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點(diǎn)即可求出圓的半徑.【詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓的兩條切線的交點(diǎn)在圓上，所以，故選：A4、C【解析】把化成，故可得為等比數(shù)列，從而得到的值.【詳解】數(shù)列中，，故，因?yàn)椋?，故，所以，所以為等比?shù)列，公比為，首項(xiàng)為.所以即，故，故選C.【點(diǎn)睛】給定數(shù)列的遞推關(guān)系，我們常需要對其做變形構(gòu)建新數(shù)列（新數(shù)列的通項(xiàng)容易求得），常見的遞推關(guān)系和變形方法如下：（1），取倒數(shù)變形為；（2），變形為，也可以變形為；5、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想6、C【解析】利用余弦定理角化邊整理可得.【詳解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故選：C7、C【解析】當(dāng)時，，函數(shù)有兩個零點(diǎn)和，不滿足題意，舍去；當(dāng)時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點(diǎn)，故不滿足題意，舍去；當(dāng)時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點(diǎn)，且，只需，即，則，選C考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性8、B【解析】根據(jù)極限的定義計算【詳解】由題意故選：B9、A【解析】按隨機(jī)數(shù)表法逐個讀取數(shù)字即可得到答案.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法讀取的數(shù)字分別為：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故選出的第3個樣本的編號為148.故選：A.10、D【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)直接求得.【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：由，解得：；由可得：，所以.故選：D11、B【解析】由題意，求出內(nèi)切圓的半徑和圓心坐標(biāo)，設(shè)，則，由表示內(nèi)切圓上的動點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，從而即可求解最小值.【詳解】解：因?yàn)橹本€分別交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，所以設(shè)，則，因?yàn)椋匀切蜲AB的內(nèi)切圓半徑，內(nèi)切圓圓心為，所以內(nèi)切圓的方程為，設(shè)，則，因?yàn)楸硎緝?nèi)切圓上的動點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離的平方，且在內(nèi)切圓內(nèi)，所以，所以，,即的最小值為18，故選：B.12、B【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值為，由，求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由和計算【詳解】由題意，時，，所以故答案為：14、【解析】寫出原命題的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.【詳解】因命題“，”為假命題，則命題“，”為真命題，當(dāng)時，恒成立，則，當(dāng)時，必有，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：15、##【解析】設(shè)出直線的方程，通過聯(lián)立直線的方程和漸近線的方程，結(jié)合中點(diǎn)的坐標(biāo)來求得直線的斜率.【詳解】雙曲線，，漸近線方程為，設(shè)直線的方程為，，由，由，所以，所以直線的斜率是.故答案為：16、4【解析】根據(jù)題意，由游戲規(guī)則，結(jié)合余數(shù)的性質(zhì)，分析可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，第一次該拿走4個球，以后的取球過程中，對方取個，自己取個，由于，則自己一定可以取到第100個球.故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】(1)連接，，連接，證明CE∥即可；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面EDC的法向量，利用向量法求二面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，連接，，連接，∵BC∥且BC＝，∴四邊形是平行四邊形，∴∥且，∵E是中點(diǎn)，G是中點(diǎn)，∴∥CG且，∴四邊形是平行四邊形，∴∥CE，∵平面，CE平面，∴CE∥平面；【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，??；設(shè)平面EDC的法向量為，則，取，則；設(shè)平面與平面EDC所成的二面角的平面角為α，則，∴18、（1）（2）m值為或.【解析】（1）利用判別式直接求解；（2）用“設(shè)而不求法”表示出，即可求出m.【小問1詳解】聯(lián)立,消去y可得.因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，解得：.【小問2詳解】設(shè).聯(lián)立,消去y可得.所以,，所以.又由,可得.所以.因?yàn)?所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為或.19、（1）或（2）存在，【解析】（1）確定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則根據(jù)拋物線的焦半徑公式，結(jié)合拋物線方程，求得答案;（2）假設(shè)存在正數(shù)m，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，可推得，由此可設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入到中，可得結(jié)論.【小問1詳解】依題意得為的焦點(diǎn),故，解得,故，則∴點(diǎn)的坐標(biāo)或;【小問2詳解】假設(shè)存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),∴，設(shè)直線：，，，由,得,則，,∵，,∴,解得或（舍去）所以存在正數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).20、(1)證明見解析；(2)【解析】（1）將的兩邊同除以，得到，由等差數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）有（1）求出，利用錯位相減法即可求解數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：(1)證明：由已知可得＝＋1，即－＝1.所以是以＝1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.從而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝.所以Sn＝.點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的判定與證明和數(shù)列的求和，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，本的解答中利用等差數(shù)列的定義得到數(shù)列為等差數(shù)列，求解的表達(dá)式，從而化簡得到，利用乘公比錯位相減法求和中，準(zhǔn)確計算是解答的一個難點(diǎn).21、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）由題得①，②，解方程組即得解；（2）令解得或，再列表得解.【小問1詳解】解：求導(dǎo)得，因?yàn)樵诔龅那芯€斜率為，則，即①因?yàn)闀r，有極值，則.即②由①②聯(lián)