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2025屆濟(jì)寧市數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若,,依次成公差不為0的等差數(shù)列,則()A.a,b,c依次成等差數(shù)列 B.,,依次成等差數(shù)列C.,,依次成等比數(shù)列 D.,,依次成等比數(shù)列2.觀察數(shù)列,(),,()的特點(diǎn),則括號(hào)中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為()A. B.C. D.3.已知命題,,則A., B.,C., D.,4.已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),F是拋物線的焦點(diǎn),則點(diǎn)M到F的距離等于()A.6 B.5C.4 D.25.命題P:ax2+2x﹣1=0有實(shí)數(shù)根,若¬p是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.{a|a<1} B.{a|a≤﹣1}C.{a|a≥﹣1} D.{a|a>﹣1}6.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的虛部為()A. B.C. D.7.一組樣本數(shù)據(jù):,,,,,由最小二乘法求得線性回歸方程為,若,則實(shí)數(shù)m的值為()A.5 B.6C.7 D.88.已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線過點(diǎn)與拋物線相交于兩點(diǎn),且,則直線的斜率為()A. B.C. D.9.已知函數(shù),在上隨機(jī)任取一個(gè)數(shù),則的概率為()A. B.C. D.10.已知p、q是兩個(gè)命題,若“(¬p)∨q”是假命題,則()A.p、q都是假命題 B.p、q都是真命題C.p是假命題q是真命題 D.p是真命題q是假命題11.設(shè)集合或,,則()A. B.C. D.12.等差數(shù)列中,,,則()A.1 B.2C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.__________14.已知滿足的雙曲線(a,b>0,c為半焦距)為黃金雙曲線,則黃金雙曲線的離心率為______15.函數(shù)的最小值為______.16.年月我國(guó)成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”,這顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心(地球的中心)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.已知衛(wèi)星的近地點(diǎn)(離地面最近的點(diǎn))距地面的高度約為,遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面的高度約為,且地心、近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)三點(diǎn)在同一直線上,地球半徑約為,則衛(wèi)星運(yùn)行軌道是上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為___________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,,再?gòu)臈l件①:;②:;③:這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,解答下列問題:(1)求和的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:18.(12分)已知函數(shù),.(1)若,求的最大值;(2)若,求證:有且只有一個(gè)零點(diǎn).19.(12分)如圖,在正方體中,,分別為棱,的中點(diǎn)(1)求證:直線平面;(2)求異面直線與所成角的余弦值20.(12分)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=,橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與雙曲線半實(shí)軸長(zhǎng)之差為4,離心率之比為3∶7(1)求這兩曲線方程;(2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),求△F1PF2的面積21.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn),若面積的最大值為,且離心率(1)求C的方程;(2)A,B為C的左、右頂點(diǎn),若過點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于M,N兩點(diǎn),證明:直線與的交點(diǎn)在一條定直線上22.(10分)在中,角、、C所對(duì)的邊分別為、、,,.(1)若,求的值;(2)若的面積,求,的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得,利用正弦定理、余弦定理推導(dǎo)出,從而,,依次成等差數(shù)列.【詳解】解:∵a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,,,依次成公差不為0的等差數(shù)列,∴,根據(jù)正弦定理可得,∴,∴,∴,∴,,依次成等差數(shù)列.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的判斷,考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.2、D【解析】利用觀察法可得,即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為,∴.故選:D3、A【解析】根據(jù)全稱命題與特稱命題互為否定的關(guān)系,即可求解,得到答案【詳解】由題意,根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系,可得命題,,則,,故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有一個(gè)量詞的否定,其中解答中熟記全稱命題與特稱性命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】先求出,再利用焦半徑公式即可獲解.【詳解】由題意,,解得所以故選:B.5、C【解析】根據(jù)是假命題,判斷出是真命題.對(duì)分成,和兩種情況,結(jié)合方程有實(shí)數(shù)根,求得的取值范圍.詳解】┐p是假命題,則p是真命題,∴ax2+2x﹣1=0有實(shí)數(shù)根,當(dāng)a=0時(shí),方程為2x﹣1=0,解得x=0.5,有根,符合題意;當(dāng)a≠0時(shí),方程有根,等價(jià)于△=4+4a≥0,∴a≥﹣1且,綜上所述,a的可能取值為a≥﹣1故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)命題否定的真假性求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】由題目條件可得,即,然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn).【詳解】因?yàn)?,所以,則故復(fù)數(shù)的虛部為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可,較簡(jiǎn)單.7、B【解析】求出樣本的中心點(diǎn),再利用回歸直線必過樣本的中心點(diǎn)計(jì)算作答.【詳解】依題意,,則這個(gè)樣本的中心點(diǎn)為,因此,,解得,所以實(shí)數(shù)m的值為6.故選:B8、B【解析】設(shè)直線傾斜角為,由,及,可求得,當(dāng)點(diǎn)在軸上方,又,求得,利用對(duì)稱性即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線傾斜角為,由,所以,由,,所以,當(dāng)點(diǎn)在軸上方,又,所以,所以由對(duì)稱性知,直線的斜率.故選:B.9、A【解析】先解不等式,然后由區(qū)間長(zhǎng)度比可得.【詳解】解不等式,得,所以,即的概率為.故選:A10、D【解析】由已知可得¬p,q都是假命題,從而可分析判斷各選項(xiàng)【詳解】∵“(¬p)∨q”是假命題,∴¬p,q都是假命題,∴p真,q假,故選:D.11、B【解析】根據(jù)交集的概念和運(yùn)算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知,.故選:B.12、B【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】在等差數(shù)列中,因,,而,于是得,解得,所以.故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】先由題得到,再整體代入化簡(jiǎn)即得解.【詳解】因?yàn)?,所以,則故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查差角的正切公式,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.14、##【解析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線離心率公式可得,結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)即可求離心率.【詳解】由題設(shè),,整理得:,所以,而,故.故答案為:.15、1【解析】由解析式知定義域?yàn)?,討論、、,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知:定義域?yàn)椋喈?dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,有,此時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,有,此時(shí)單調(diào)遞增;又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù),∴綜上有:時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增;∴故答案為:1.16、【解析】根據(jù)題意由a-c=439+6371,a+c=2384+6371,求得2a即可.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,半焦距為c,由題意得:a-c=439+6371,a+c=2384+6371,兩式相加得:2a=15565,因?yàn)闄E圓上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,所以衛(wèi)星運(yùn)行軌道是上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為,故答案為:15565三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)an=n,bn=(2)證明見解析【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,q>0,由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,列出方程組求解即可得答案;(2)求出,利用裂項(xiàng)相消求和法求出前項(xiàng)和為,即可證明【小問1詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,q>0,選①:,又,,可得1+5d=3q,1+4d=5d,解得d=1,q=2,則an=1+n﹣1=n,bn=;選②:,又a1=b1=1,a6=3b2,可得1+5d=3q,q4=4(q3﹣q2),解得d=1,q=2,則an=1+n﹣1=n,bn=;選③:,又a1=b1=1,a6=3b2,可得1+5d=3q,8+28d=6(3+3d),解得d=1,q=2,則an=1+n﹣1=n,bn=;小問2詳解】證明:由(1)知,,,所以18、(1)(2)證明見解析【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性,從而可求最值.(2)求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)中無參數(shù),故單調(diào)性與(1)中所求一致,然后利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合的范圍,以及函數(shù)單調(diào)性證明在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).【小問1詳解】若,則,其定義域?yàn)?,∴,由,得,∴?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴【小問2詳解】證明:,由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞誠(chéng),∵,∴當(dāng)時(shí),,故在上無零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,∵且,∴在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上,有且只有一個(gè)零點(diǎn).19、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)證明,則,可證明,由平面,可得,再由線面垂直的判定定理即可求證;(2)連結(jié),可知,所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角,在中由余弦定理計(jì)算的值即可求解.【小問1詳解】在正方形中,,分別為棱,的中點(diǎn),則,,,所以,則,所以,即,又因?yàn)槠矫妫?,所以,因?yàn)?,所以平面【小?詳解】連結(jié),,可知,所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角,令,則,,,在中,由余弦定理可得:,故異面直線與所成角的余弦值為.20、(1)橢圓方程為雙曲線方程為;(2)12【解析】(1)根據(jù)半焦距,設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a,由離心率之比求出a,進(jìn)而求出橢圓短半軸的長(zhǎng)及雙曲線的虛半軸的長(zhǎng),寫出橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由橢圓、雙曲線的定義求出與的長(zhǎng),在三角形中,利用余弦定理求出cos∠的值,進(jìn)一步求得sin∠的值,代入面積公式得答案試題解析:(1)設(shè)橢圓方程為,雙曲線方程為(a,b,m,n>0,且a>b),則解得:a=7,m=3,∴b=6,n=2,∴橢圓方程為雙曲線方程為(2)不妨設(shè)F1,F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn),P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn),則PF1+PF2=14,PF1-PF2=6,∴PF1=10,PF2=4,∴cos∠F1PF2==,∴sin∠F1PF2=.∴S△F1PF2=PF1·PF2sin∠F1PF2=·10·4·=12考點(diǎn):橢圓雙曲線方程及性質(zhì)21、(1);(2)證明見解析.【解析】(1)用待定系數(shù)法求出橢圓的方程;(2)設(shè)直線MN的方程為x=my+1,設(shè),用“設(shè)而不求法”表示出.由直線AM的方程為,直線BN的方程為,聯(lián)立,解得:,即可證明直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.【小問1詳解】由題意可得:,解得:,所以C的方程為.【小問2詳解】由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),設(shè)直線MN的方程為x=my+1.設(shè),由
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