湖北省八校聯(lián)合體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

湖北省八校聯(lián)合體2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為、，則最大時(shí)，四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積是（）A. B.C. D.2．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓E上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于E的兩個(gè)焦點(diǎn)處，則E的離心率為（）A. B.C. D.3．?dāng)?shù)列，，，，…，的通項(xiàng)公式可能是（）A. B.C. D.4．如果向量，，共面，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.C. D.5．若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.6．下圖是一個(gè)“雙曲狹縫”模型，直桿沿著與它不平行也不相交的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)形成雙曲面，雙曲面的邊緣為雙曲線(xiàn)．已知該模型左、右兩側(cè)的兩段曲線(xiàn)(曲線(xiàn)AB與曲線(xiàn)CD)所在的雙曲線(xiàn)離心率為2，曲線(xiàn)AB與曲線(xiàn)CD中間最窄處間的距離為10cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D均關(guān)于該雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)，且|AB|＝30cm，則|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm7．圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（）A. B.C. D.8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，且，則橢圓的離心率（）A. B.C. D.9．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，10．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.11．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.12．已知三棱錐，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且，用表示，則等于()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿(mǎn)足（），設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________14．在梯形中，，，.將梯形繞所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為_(kāi)_____.15．若x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)__________.16．設(shè)實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線(xiàn)，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上移動(dòng)，R是線(xiàn)段PF與y軸的交點(diǎn)，也是PF的中點(diǎn)．，（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程E；（2）過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的曲線(xiàn)E的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N．求直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)R的坐標(biāo)18．（12分）在等差數(shù)列中，已知公差，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率e為，點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓C的方程；（2）若A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線(xiàn)交橢圓于M、N兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)AM、BN的斜率分別為，求證為定值20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上，，.（1）求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離（2）求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)之和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線(xiàn)段含端點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析可知當(dāng)時(shí)，最大，計(jì)算出、，進(jìn)而可計(jì)算得出四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積.【詳解】圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接、、，則，設(shè)，則，，則，當(dāng)取最小值時(shí)，，此時(shí)，，，，故，此時(shí)，.故選：B.2、B【解析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意可知，所以.故選：B3、D【解析】利用數(shù)列前幾項(xiàng)排除A、B、C，即可得解；【詳解】解：由，排除A，C，由，排除B，分母為奇數(shù)列，分子為，故數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，故選：D4、B【解析】設(shè)，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出方程組，即可解得的值.【詳解】由于向量，，共面，設(shè)，可得，解得.故選：B.5、C【解析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：C.6、B【解析】由離心率求出雙曲線(xiàn)方程，由對(duì)稱(chēng)性設(shè)出點(diǎn)A，B，D坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，因?yàn)殡x心率，所以，，故雙曲線(xiàn)方程為，設(shè)，則，，則，所以，則，解得：，故.故選：B7、C【解析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件可得直線(xiàn)過(guò)圓心，從而可得，然后由，展開(kāi)利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，該直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：C.8、D【解析】依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，在中，由余弦定理得，再根據(jù)離心率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，在中，由余弦定理得：，，，，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓幾何性質(zhì)，在中，利用余弦定理求得是關(guān)鍵，屬于中檔題.9、B【解析】特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B10、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：B11、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性即可【詳解】令，，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，，，，，故選：A12、D【解析】連接，利用，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】連接，如下圖.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由條件求出的通項(xiàng)公式，得到，由裂項(xiàng)相消法再求出，根據(jù)不等式恒成立求出參數(shù)的范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，由①有②由①－②得：所以，當(dāng)時(shí)也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和以及數(shù)列不等式問(wèn)題，屬于中檔題.14、##【解析】畫(huà)出幾何體的直觀圖，利用已知條件，求解幾何體的體積即可【詳解】梯形ABCD：由題意可知空間幾何體的直觀圖如圖：旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1，高為2的圓柱，挖去一個(gè)相同底面高為1的圓錐，幾何體的體積為：故答案為：15、##【解析】作出可行域，進(jìn)而根據(jù)z的幾何意義求得答案.【詳解】如圖，作出可行域，由z的幾何意義可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)取得最小值.聯(lián)立，則最小值為.故答案為：.16、2【解析】畫(huà)出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，平移動(dòng)直線(xiàn)后可得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示：將初始直線(xiàn)平移至點(diǎn)時(shí)，可取最小值，由可得，故，故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由圖中的幾何關(guān)系可知,故可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，但不能和原點(diǎn)重合，即可直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)AB的方程，把點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，兩式作差后，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線(xiàn)MN的方程，最后可求出直線(xiàn)MN過(guò)哪一定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】∵直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)R是線(xiàn)段FP的中點(diǎn)且，∴RQ是線(xiàn)段FP的垂直平分線(xiàn),∵,∴是點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離,∵點(diǎn)Q在線(xiàn)段FP的垂直平分線(xiàn)，∴,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，但不能和原點(diǎn)重合，即動(dòng)點(diǎn)Q軌跡的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，由題意直線(xiàn)AB斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，同理設(shè)，，直線(xiàn)的方程為，由已知得，兩式作差可得，即，則，代入可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線(xiàn)MN的斜率為，即方程為，整理得，故直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn).18、（1）an=n（2）【解析】（1）由已知條件可得（d+2）2=2d+7，從而可求出公差，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，（2）由（1）得，然后利用錯(cuò)位相減法求【小問(wèn)1詳解】因a1，a2+1，a3+6成等比數(shù)列，所以又a1=1，所以（d+2）2=2d+7，所以d=1或d=（舍），所以an=n；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，所以所?9、（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的方程組求出a、b、c即可得橢圓方程；(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，聯(lián)立直線(xiàn)方程利用韋達(dá)定理即可求為定值【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】由橢圓方程可知，，，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，，聯(lián)立得，∴，，則，∵，，∴，把及代入可得：﹒20、（1）；（2）.【解析】（1）由直棱柱的性質(zhì)及勾股定理求出△各邊長(zhǎng)，應(yīng)用余弦定理求，進(jìn)而可得其正弦值，再求邊上的高即可.（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出兩個(gè)平面的法向量，然后可算出答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，由題設(shè)，，，，由直棱柱性質(zhì)及，在中，在中，在中，在中，所以在△中，，則，所以到直線(xiàn)的距離.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系易知：，，，則，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為21、（1）；（2）【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q，利用與關(guān)系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可求，分析{}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】由題意知在與之間插入n個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)組成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，∴，設(shè){}前n項(xiàng)和為，①①×3：②①－②：22、（1）證明見(jiàn)解析（2）點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，二面角的余弦值為【解析】（1）先利用平面幾何知識(shí)和余弦定理得到及各邊長(zhǎng)度，利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)和判定定理得到線(xiàn)面垂直，再利用線(xiàn)線(xiàn)平行得到線(xiàn)面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用平面的法向量夾角求出二面角的余