第23節(jié) 空間幾何體的表面積與體積（解析版）

第23節(jié)空間幾何體的表面積與體積基礎(chǔ)知識(shí)要夯實(shí)名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝S底h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3基本技能要落實(shí)考點(diǎn)一空間幾何體的體積【例1】(2020·天津卷)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為________.【答案】【解析】連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因?yàn)镋，H分別為AD1，CD1的中點(diǎn)，所以EH∥AC，EH＝AC.因?yàn)镕，G分別為B1A，B1C的中點(diǎn)，所以FG∥AC，F(xiàn)G＝AC.所以EH∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGF為正方形.又點(diǎn)M到平面EHGF的距離為，所以四棱錐M－EFGH的體積為××＝.【例2】如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，取AD的中點(diǎn)O，連接GO，易得GO＝，∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴多面體的體積V＝V三棱錐E－ADG＋V三棱錐F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱錐E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝×××2＋×1＝.故選A.【方法技巧】1.(直接法)規(guī)則幾何體：對(duì)于規(guī)則幾何體，直接利用公式計(jì)算即可.若已知三視圖求體積，應(yīng)注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系，進(jìn)而利用公式求解.2.(割補(bǔ)法)不規(guī)則幾何體：當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，常通過(guò)分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計(jì)算.經(jīng)?？紤]將三棱錐還原為三棱柱或長(zhǎng)方體，將三棱柱還原為平行六面體，將臺(tái)體還原為錐體.3.(等積法)三棱錐：利用三棱錐的“等積性”可以把任一個(gè)面作為三棱錐的底面.(1)求體積時(shí)，可選擇“容易計(jì)算”的方式來(lái)計(jì)算；(2)利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”，關(guān)鍵是在面中選取三個(gè)點(diǎn)，與已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐.【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(3)，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A.3 B. C.1 D.【答案】C【解析】如題圖，在正△ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有AD＝AB＝，又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD?平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A－B1DC1的底面B1DC1上的高，∴VA－B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1.2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.8π－ B.4π－C.8π－4 D.4π＋【答案】A【解析】該幾何體為一個(gè)半圓柱中間挖去一個(gè)四面體，∴體積V＝π×22×4－××2×4×4＝8π－.考點(diǎn)二多面體與球的切、接問(wèn)題【例2】在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A.4π B. C.6π D.【答案】B【解析】由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大.由2R＝3，即R＝.故球的最大體積V＝πR3＝【方法技巧】1.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題.2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問(wèn)題.【跟蹤訓(xùn)練】1.三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為()A.23π B.π C.64π D.π【答案】D【解析】如圖，設(shè)O′為正△PAC的中心，D為Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)，H為AC中點(diǎn).由平面PAC⊥平面ABC.則O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，則交點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，連接OP，又O′P＝PH＝××2＝，OO′＝DH＝AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝.故幾何體外接球的表面積S＝4πR2＝π.達(dá)標(biāo)檢測(cè)要扎實(shí)一、單選題1．由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的四棱錐），四個(gè)側(cè)面由673塊玻璃拼組而成，塔高21米，底寬34米，則該金字塔的體積為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖正四棱錐中，，，所以正四棱錐的體積為，故選：A2．已知一個(gè)圓錐的體積為，其側(cè)面積是底面積的2倍，則其底面半徑為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】設(shè)底面半徑為，高為，母線為，如圖所示：則圓錐的體積，所以，即，，則，又，所以，故．故選：C．3．已知圓錐的表面積為3π，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為l，由，得，又，所以，解得；所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為．故選：C．4．魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2，則該魯班鎖的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該幾何體的表面積為.故選：A.5．已知中，，，其頂點(diǎn)都在表面積為的球O的表面上，且球心O到平面ABC的距離為2，則的面積為（

）A．2 B．4 C．8 D．10【答案】B【解析】設(shè)球O的半徑為，外接圓的半徑為，則，所以，又因球心O到平面ABC的距離為2，則，解得，因?yàn)椋瑒t是以邊為斜邊的直角三角形，則外接圓的圓心是的中點(diǎn)，則，又，所以，所以，所以.故選：B.6．在正方體中，三棱錐的表面積為，則正方體外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，由于三棱錐的表面積為，所以所以所以正方體的外接球的半徑為，所以正方體的外接球的體積為故選：．7．四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）．A．過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G做四面體ABCD的截面，則該截面的面積為2B．四面體ABCD的體積為C．AC與BD的公垂線段的長(zhǎng)為D．過(guò)作球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4【答案】B【解析】

圖1

圖2選項(xiàng)A中，如圖（1）所示，找的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G做四面體ABCD的截面即為面，則,，所以四邊形為平行四邊形，找的中點(diǎn),連接，因?yàn)?，所以平面，所以平面，平面，所以，所以，所以四邊形為矩形，，，所以截面的面積，故A正確；選項(xiàng)B中，中，由勾股定理得：，同理，過(guò)點(diǎn)作,則，所以由勾股定理得：，所以，由選項(xiàng)A可得：平面,所以，，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，AC與BD的公垂線段即為，長(zhǎng)度為，故C正確；選項(xiàng)D中，可以將四面體放入如圖（2）所示的長(zhǎng)方體中，由題可求得，，所以外接球的半徑，截面面積的最大值為；平面截得的面積為最小面積，半徑，截面積最小為，所以截面面積的最大值與最小值的比為5：4，故D正確故選：B8．已知正三棱錐和正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，如圖將三棱錐的一個(gè)面和正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合在一起，得到一個(gè)新幾何體，則下列關(guān)于該新幾何體說(shuō)法不正確的是（

）A． B．C．新幾何體為三棱柱 D．正四棱錐的內(nèi)切球半徑為【答案】D【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連、、、，如圖：因?yàn)檎忮F和正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都為，所以，，，又，所以平面，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以平面，所以平面與平面重合，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，同理得四邊形也為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理得平面，因?yàn)?，所以平面平面，又，根?jù)棱柱的定義可得該新幾何體為三棱柱，故C正確；設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球半徑為，因?yàn)檎睦忮F的高為，由得，故D不正確.故選：D.二、多選題9．用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形且上、下兩部分的高之比為，則關(guān)于上、下兩空間圖形的說(shuō)法正確的是（

）A．側(cè)面積之比為 B．側(cè)面積之比為C．體積之比為 D．體積之比為【答案】BD【解析】依題意知，上部分為小棱錐，下部分為棱臺(tái)，所以小棱錐與原棱錐的底面邊長(zhǎng)之比為，高之比為，所以小棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比為，體積之比為，即小棱錐與棱臺(tái)的側(cè)面積之比為，體積之比為.故選：BD.10．一棱長(zhǎng)等于1且體積為1的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在同一球的球面上，則該球的體積可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】設(shè)長(zhǎng)方體未知的兩棱長(zhǎng)分別為，則，，設(shè)外接球半徑為，則，球體積為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：BCD．11．如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于A，C的動(dòng)點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐SO的側(cè)面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】ABD【解析】在中，，則圓錐的母線長(zhǎng)，半徑，對(duì)于選項(xiàng)A：圓錐的側(cè)面積為：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，則三棱錐體積的最大值為：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，達(dá)到最大值，又因?yàn)榕c不重合，則，又，可得，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由，得，又，則為等邊三角形，則，將以為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則為等邊三角形，，如圖：則，因?yàn)椋瑒t，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.12．已知圖1中，、、、是正方形各邊的中點(diǎn)，分別沿著、、、把、、、向上折起，使得每個(gè)三角形所在的平面都與平面垂直，再順次連接，得到一個(gè)如圖2所示的多面體，則（

）A．是正三角形B．平面平面C．直線與平面所成角的正切值為D．當(dāng)時(shí)，多面體的體積為【答案】AC【解析】取、的中點(diǎn)、，連接、，在圖1中，、、、是正方形各邊的中點(diǎn)，則，為的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，平面，平面，在圖1中，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，可得四邊形的邊長(zhǎng)為，在圖1中，和均為等腰直角三角形，可得，，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，、分別為、的中點(diǎn)，則且，且，所以，四邊形為矩形，所以，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、.對(duì)于A選項(xiàng)，由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得，所以，是正三角形，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，則，，則，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，則，，所以，平面與平面不垂直，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，所以，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，以為底面，以為高將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則、、、分別為、、、的中點(diǎn)，因?yàn)?，即，則，長(zhǎng)方體的體積為，，因此，多面體的體積為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13．詞語(yǔ)“塹堵”、“陽(yáng)馬”、“鱉臑”等出現(xiàn)自中國(guó)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》，是古代人對(duì)一些特殊錐體的稱呼．在《九章算術(shù)?商功》中，把四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”．現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體PABC，其中平面，，，則四面體PABC的外接球的表面積為______．【答案】【解析】由于平面，因此與底面上的直線都垂直，從而與不可能垂直，否則是銳角三角形，由于，因此有，而與是平面內(nèi)兩相交直線，則平面，平面，所以，所以的中點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)的距離相等，即為四面體PABC的外接球球心．，，所以所求表面積為．故答案為：．14．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，、、分別為線段、、的中點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①直線、、共點(diǎn)；②直線、為異面直線；③四面體的體積為；④線段上存在一點(diǎn)使得直線平面．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為___________．【答案】①②【解析】對(duì)①，如圖，由條件可知，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，由平面，平面，平面平面，故，故①正確；對(duì)②，平面，而和平面相交一點(diǎn)，且和不相交，故②正確；對(duì)③，到平面的距離為到平面的一半，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，和相交故不存在使得直線平面，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②15．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為中點(diǎn)，，則球的體積為_______.【答案】【解析】如圖，由，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，可知三棱錐為正三棱錐，則頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的中心，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于，則，又，，平面，平面，可得平面，則，，分別是，的中點(diǎn)，，又，所以即，，平面，平面，所以平面，正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，把三棱錐補(bǔ)形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，其直徑，，所以，則球的體積為．故答案為：．16．早期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派學(xué)者注意到：用等邊三角形或正方形為表面可構(gòu)成四種規(guī)則的立體圖形，即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個(gè)面和多面角都全等．如圖，正二十面體是由20個(gè)等邊三角形組成的正多面體，共有12個(gè)頂點(diǎn)，30條棱，20個(gè)面，是五個(gè)柏拉圖多面體之一．如果把按計(jì)算，則該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于___________．【答案】【解析】由圖知正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設(shè)外接球半徑為R，正五邊形的外接圓半徑為r，正二十面體的棱長(zhǎng)為，則，得，所以正五棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離是，所以，即，解得．所以該正二十面體的外接球表面積為，而該正二十面體的表面積是，所以該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于．故答案為：.四、解答題17．有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度為）六角螺帽共重，已知該種規(guī)格的螺帽底面是正六邊形，邊長(zhǎng)是，內(nèi)孔直徑為，高為，（1）求一個(gè)六角螺帽的體積；（精確到）（2）問(wèn)這堆六角螺帽大約有多少個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題得（2）這堆螺帽的個(gè)數(shù)為：（個(gè)）每個(gè)螺帽的體積為，共有261個(gè)螺帽.18．如圖，某幾何體的下部分是長(zhǎng)?寬均為8，高為3的長(zhǎng)方體，上部分是側(cè)棱長(zhǎng)都相等且高為3的四棱錐，求：（1）該幾何體的體積；（2）該幾何體的表面積.【解析】連接，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，（1）∴（2）∵，∴19．養(yǎng)路處建造圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12m，高為4m．養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉(cāng)庫(kù)，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑比原來(lái)大4m（高不變）；二是高度增加4m（底面直徑不變）．(1)分別計(jì)算按這兩種方案所建