專題23二次函數(shù)與一元二次方程不等式-原卷版

專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【基本知識梳理】知識點1：一元二次不等式的概念定義一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0知識點2：一元二次不等式的解法一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??【特別注意】(1)零點不是點，而是函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．(2)若二次項系數(shù)為正數(shù)的不等式對應(yīng)的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取兩邊，小于取中間”的方法得到不等式的解集．(3)不等式的解集必須寫成集合的形式，若不等式無解，則應(yīng)說解集為空集．知識點3：含參的一元二次不等式的解法:在解含參數(shù)的一元二次不等式時常從以下三個方面進(jìn)行考慮(1)不等式類型的討論：二次項系數(shù)a>0，a<0，a＝0.(2)不等式對應(yīng)的方程根的討論：兩不同實根(Δ>0)，兩相同實根(Δ＝0)，無根(Δ<0)．(3)不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.知識點4：解簡單的分式不等式分式不等式的解法(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元二次不等式組求解，但要注意等價變形，保證分母不為零．(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零的形式，然后再用上述方法求解．知識點5：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式間的關(guān)系及應(yīng)用已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號．(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式．(3)約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解．【題型1解不含參數(shù)的一元二次不等式】【例1】（20232024?高一上?安徽合肥?A. B. C. D.【變式11】（20232024?高一上?廣東?期中）A． B．C．xx<?2，或 D．，或x>2【變式12】（20232024?高一上?山東臨沂?階段測試）A. B.C. D.【變式13】（20232024?高一上?浙江?期中）（A.不等式的解集為或B.不等式的解集為C.不等式的解集為RD.不等式的解集為【題型2解含有參數(shù)的一元二次不等式】【例2】（20232024?高一下?甘肅?期末）若0<t<1，則關(guān)于的不等式A. B.或 C.或 D.【變式21】（20232024?高一上?山東臨沂?月考）求關(guān)于【變式22】（20232024?高一上?山東泰安?月考【變式23】（20232024?高一上?山東淄博?期中）（2）求函數(shù)的定義域．【題型3解分式、絕對值不等式】【例3】（20232024?高一上?山東日照?期末）“”是“”的（A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【變式31】（20232024?高一上?山東泰安?期中）關(guān)于的不等式A. B. C. D.【變式32】（20232024?高三上?天津河北區(qū)?期末）設(shè)，則“”是“”的（A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【變式33】（20232024?高三?甘肅?模擬）x?1<x<C．x?1<x<5?【題型4由一元二次不等式的解確定參數(shù)】【例4】（20232024?高一上?山東臨沂?期中）已知不等式的解集是或，則（A. B. C.1或 D.或【變式41】（20232024?高一上?山東淄博?期中）（多選）若關(guān)于x的不等式的解集為A．不等式的解集是B．C．不等式的解集為D．設(shè)x的不等式的解集為N，則【變式42】（20232024?高一上?山東淄博?期中）設(shè)，，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A.52≤x≤2 B.52<x【變式43】（20232024?高一上?山東菏澤?月考）若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（）A.或 B.C. D.或【題型5一元二次不等式恒成立問題】【例5】（20232024?高一上?山東淄博?期中）已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（A.1<x<3B.3<x<1 C.1<【變式51】（20232024?高一上?浙江?期中）“不等式對一切實數(shù)都成立”，則的取值范圍為【變式52】（20232024?高一上?山東臨沂?階段測試）（20232024?高一上?重慶?月考）（多選A. B.0 C.2 D.4【變式53】（20232024?高一上?山東淄博?階段測試）若命題“，”為假命題，則實數(shù)xA． B．C． D．【題型6一元二次不等式有解問題】【例6】（20232024?高一上?山東臨沂?階段測試）若不等式有解，則實數(shù)A.或 B. C. D.【變式61】（20232024?高一上?山東菏澤?階段測試）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)mA. B.或C. D.或【變式62】（20232024?高一上?山東臨沂?月考）若x的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)A． B．C．或 D．或【變式63】（20232024?高一上?山東煙臺?月考）已知關(guān)于的不等式組僅有一個整數(shù)解，則【變式64】（20232024?高一上?四川宜賓?期中）（多選）已知關(guān)于x的不等式在上有解，則實數(shù)aA. B. C.1 D.2【題型7一元二次不等式的實際應(yīng)用】【例7】（20232024?高一上?江蘇?月考）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個重要因素．在一個限速50km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離小于12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車的剎車距離s（單位：m）與車速x（單位：km/h【變式71】（20232024?高一上?河南鄭州?期中）經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度（千米/小時）之間的函數(shù)關(guān)系為：（＞（1）在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（保留分?jǐn)?shù)形式）（2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【變式72】（20232024?高一上?江蘇連云港?階段測試）某地有一座水庫，設(shè)計最大容量為128000m3．根據(jù)預(yù)測，汛期時水庫的進(jìn)水量（單位：m3）與天數(shù)的關(guān)系是，水庫原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時系統(tǒng)就會自動報警提醒，水庫水量超過最大容量時，堤壩就會發(fā)生危險；如果汛期來臨水庫不泄洪，1（1）求的值；（2）當(dāng)汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會發(fā)生危險嗎？請說明理由．【變式73】（20232024?高一上?安徽阜陽?月考）如圖，某大學(xué)將一矩形ABCD操場擴(kuò)建成一個更大矩形DEFG操場，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，設(shè)米（）．（1）要使矩形DEFG的面積大于2700平方米，求x的取值范圍；（2）當(dāng)DG的長度是多少時，矩形DEFG的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．【變式74】（20232024?高一上?湖南長沙?期末）2022年2月24日,俄烏爆發(fā)戰(zhàn)爭，至今戰(zhàn)火未熄.2023年10月7日巴以又爆發(fā)沖突.與以往戰(zhàn)爭不同的是，無人機(jī)在戰(zhàn)場中起到了偵察和情報收集，攻擊敵方目標(biāo)和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色.某無人機(jī)企業(yè)原有200名科技人員，年人均工資萬元，現(xiàn)加大對無人機(jī)研發(fā)的投入，該企業(yè)把原有科技人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名且，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資增加，技術(shù)人員的年人均工資調(diào)整為萬元.（1）若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人?（2）為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在工資方面要同時滿足以下兩個條件：①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資;②技術(shù)人員的年人均工資始終不減少.請問是否存在這樣的實數(shù)，滿足以上兩個條件，若存在，求出的范圍;若不存在,說明理由.【題型8二次函數(shù)的圖象分析與判斷】【例8】（20232024?高一上?陜西?期中）（多選）A