2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件：第7講 一元二次方程

第7講一元二次方程考點(diǎn)1一元二次方程的概念及其解法1.一元二次方程:只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程.它的一般形式是

(a,b,c為常數(shù),a≠0).

ax2+bx+c=02.一元二次方程的解法一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方溫馨提示一元二次方程解法口訣:方程沒(méi)有一次項(xiàng),直接開(kāi)方最理想.如果缺少常數(shù)項(xiàng),因式分解沒(méi)商量.b,c相等都為零,等根是零不要忘.b,c同時(shí)不為零,因式分解或配方.也可直接套公式,因題而異擇良方.考點(diǎn)2一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系b2-4ac不相等相等沒(méi)有(3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;考點(diǎn)3一元二次方程的應(yīng)用常見(jiàn)類(lèi)型:(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題:設(shè)基數(shù)為a,平均增長(zhǎng)率為x,則一次增長(zhǎng)后的值為a(1+x),兩次增長(zhǎng)后的值為

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(2)利潤(rùn)問(wèn)題:單件利潤(rùn)=單價(jià)-成本;總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷(xiāo)量=總收入-總成本;(3)面積問(wèn)題:對(duì)于規(guī)則圖形,可直接套用面積公式列方程求解;對(duì)于不規(guī)則圖形,可通過(guò)割補(bǔ)使其變?yōu)橐?guī)則圖形后,再根據(jù)面積間的和、差關(guān)系求解;a(1+x)2(4)循環(huán)球賽問(wèn)題:單循環(huán):x個(gè)隊(duì)的單循環(huán)賽場(chǎng)數(shù)=

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雙循環(huán):x個(gè)隊(duì)的雙循環(huán)賽場(chǎng)數(shù)=x(x-1);(5)數(shù)字問(wèn)題:一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為b,則這個(gè)兩位數(shù)可表示為

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10a+b命題點(diǎn)1一元二次方程的概念(易錯(cuò)點(diǎn))例1已知關(guān)于x的一元二次方程(m-1)2x2+3mx+3=0有一實(shí)數(shù)根為-1,則該方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根為

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思路點(diǎn)撥把x=-1代入方程求出m的值,再通過(guò)解方程或利用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)實(shí)數(shù)根.變式1(2023渠縣校級(jí)模擬)如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一個(gè)解是x=1,則代數(shù)式2022-a-b的值為()A.-2022 B.2021C.2022 D.2023變式2(2024南充)已知m是方程x2+4x-1=0的一個(gè)根,則(m+5)(m-1)的值為

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D-4命題點(diǎn)2一元二次方程的解法例2解下列方程:(1)2x2+3x-3=0;思路點(diǎn)撥

(1)應(yīng)用公式法或配方法求解;(2)x(2x-5)=10-4x.思路點(diǎn)撥

(2)將方程右邊的項(xiàng)移到左邊,然后應(yīng)用因式分解法求解.歸律總結(jié)解一元二次方程的方法選擇(1)若給定的方程為x2=n或(x+m)2=n(n≥0)型時(shí),選用直接開(kāi)平方法;(2)若給定的方程(或者變形后)右邊為0,左邊能因式分解,選用因式分解法;(3)若給定的方程右邊為0,左邊不能因式分解時(shí),一般選用公式法;(4)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)化為1后,一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)(即形如“x2+2kx+m=0”)的一元二次方程,采用配方法比較簡(jiǎn)單.變式3(2022雅安)若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c,則c的值為()A.-3 B.0 C.3 D.9變式4解下列方程:(1)x2-4x+3=0;C解:(1)∵x2-4x+3=0,∴(x-1)(x-3)=0.則x-1=0或x-3=0,解得x1=1,x2=3.(2)(x-3)2-6(x-3)+8=0.解:(2)∵(x-3)2-6(x-3)+8=0,∴(x-3-2)(x-3-4)=0.即(x-5)(x-7)=0.則x-5=0或x-7=0,解得x1=5,x2=7.命題點(diǎn)3根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系例3(2024南充模擬)已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2.(1)求k的取值范圍;解:(1)Δ=(-4)2-4×1×(-k+1)=4k+12,∵一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴Δ≥0.∴4k+12≥0.∴k≥-3.易錯(cuò)提醒用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求字母系數(shù)的值時(shí),不要忽略根的判別式b2-4ac≥0這一重要條件.變式5(2024自貢)關(guān)于x的方程x2+mx-2=0根的情況是()A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根A變式6(2023瀘州)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情況是()A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)a的取值有關(guān)C變式7(2023廣安)已知a,b,c為常數(shù),點(diǎn)P(a,c)在第四象限,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的根的情況是()A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.無(wú)法判斷A變式8(2024瀘州)已知x1,x2是一元二次方程x2-3x-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則(x1-x2)2+3x1x2的值是

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變式9(2024成都)若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則m+(n-2)2的值為

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147命題點(diǎn)4一元二次方程的應(yīng)用例4(2024德陽(yáng)模擬)三星堆遺址被稱(chēng)為20世紀(jì)人類(lèi)最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一,昭示了長(zhǎng)江流域與黃河流域一樣,同屬中華文明的母體,被譽(yù)為“長(zhǎng)江文明之源”.為更好地傳承和宣傳三星堆文化,三星堆文創(chuàng)館一次次打破了自身限定,讓文創(chuàng)產(chǎn)品充滿(mǎn)創(chuàng)意.已知文創(chuàng)產(chǎn)品“青銅鳥(niǎo)文創(chuàng)水杯”有A,B兩個(gè)系列,A系列產(chǎn)品比B系列產(chǎn)品的售價(jià)低5元,100元購(gòu)買(mǎi)A系列產(chǎn)品的數(shù)量與150元購(gòu)買(mǎi)B系列產(chǎn)品的數(shù)量相等.按定價(jià)銷(xiāo)售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn):B系列產(chǎn)品按定價(jià)銷(xiāo)售,每天可以賣(mài)50件,若B系列產(chǎn)品每降1元,則每天可以多賣(mài)10件.(1)A系列產(chǎn)品和B系列產(chǎn)品的單價(jià)各是多少?(2)為了使B系列產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售額為960元,而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠,求B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/件?解:(2)設(shè)B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為y元/件,則每天可以賣(mài)50+10(15-y)=(200-10y)件,根據(jù)題意,得y(200-10y)=960,整理,得y2-20y+96=0,解得y1=8,y2=12,又∵要盡可能讓顧客得到實(shí)惠,∴y=8.答:B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為8元/件.變式10(2024德陽(yáng)羅江區(qū)模擬)九年級(jí)某班的每位同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各贈(zèng)送一張作為留念,全班共送出1560張相片,如果全班有x名學(xué)生,根據(jù)題意,可列方程:

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x(x-1)=1560變式11(2023德陽(yáng)旌陽(yáng)一模)平安路上,多“盔”有你,在“交通安全宣傳月”期間,某商店銷(xiāo)售一批頭盔,進(jìn)價(jià)為每頂40元,售價(jià)為每頂68元,平均每周可售出100頂.商店計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷(xiāo)售,每頂售價(jià)不高于58元,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):每降價(jià)2元,平均每周可多售出40頂.(1)若該商店希望平均每周獲利4000元,則每頂頭盔應(yīng)降價(jià)多少?解:(1)設(shè)每頂頭盔應(yīng)降價(jià)x元,則每頂頭盔的銷(xiāo)售利潤(rùn)為(68-x-40)元,平均每周的銷(xiāo)售量為(100+20x)頂.依題意,得(68-x-40)(100+20x)=4000.整理,得x2-23x+60=0.解得x1=3,x2=20.∵68-x≤58,∴x≥10.∴x=20.答:每頂頭盔應(yīng)降價(jià)20元.(2)商店降價(jià)銷(xiāo)售后,決定每銷(xiāo)售1頂頭盔就向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元(m為整數(shù),且1≤m≤5),幫助做“交通安全”宣傳.捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn),該商店每周銷(xiāo)售這種商品的利潤(rùn)仍隨售價(jià)的增大而增大,求m的值.