2023年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題（解析版）

PAGEPAGE12023甲卷理科數(shù)學（記憶版）一、選擇題1.設(shè)集合，U為整數(shù)集，（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補集的運算即可解出．【詳析】因為整數(shù)集，，所以，．故選：A．2若復數(shù)，則（）A.-1 B.0· C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復數(shù)的代數(shù)運算以及復數(shù)相等即可解出．【詳析】因為，所以，解得：．故選：C.3.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的（）A.21 B.34 C.55 D.89〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)程序框圖模擬運行，即可解出．【詳析】當時，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當時，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出．故選：B.4.向量，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳析】因為,所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.5.已知正項等比數(shù)列中，為前n項和，，則（）A.7 B.9 C.15 D.30〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計算出,即可求出.【詳析】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.6.有60人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（）A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗先算出報名兩個俱樂部的人數(shù),從而得出某人報足球俱樂部的概率和報兩個俱樂部的概率,利用條件概率的知識求解.【詳析】報名兩個俱樂部的人數(shù)為，記“某人報足球俱樂部”事件,記“某人報兵乓球俱樂部”為事件，則，所以.故選:.7.“”是“”的（）A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)充分條件、必要條件概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.【詳析】當時，例如但，即推不出；當時，，即能推出.綜上可知，是成立的必要不充分條件.故選：B8.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳析】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A.120 B.60 C.40 D.30〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天社區(qū)服務(wù)的情況，即可得解.【詳析】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有種.故選：B.10.已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù)，則與的交點個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.【詳析】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點，作出與的部分大致圖像如下，考慮，即處與的大小關(guān)系，當時，，；當時，，；當時，，；所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.故選：C.11.在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳析】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因為，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.12.己知橢圓，為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出面積，即可得到點的坐標，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳析】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【『點石成金』】本題根據(jù)求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．二、填空題13.若為偶函數(shù)，則________．〖答案〗2〖解析〗〖祥解〗利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗即可得解.【詳析】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故〖答案〗為：2.14.設(shè)x，y滿足約束條件，設(shè)，則z的最大值為____________．〖答案〗15〖解析〗〖祥解〗由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.【詳析】作出可行域，如圖，由圖可知，當目標函數(shù)過點時，有最大值，由可得，即,所以.故〖答案〗為：1515.在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____________．〖答案〗12〖解析〗〖祥解〗根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.【詳析】不妨設(shè)正方體棱長為2，中點為，取，中點，側(cè)面的中心為，連接，如圖，由題意可知，為球心，在正方體中，，即，則球心到的距離為，所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.故〖答案〗為：1216.在中，，，D為BC上一點，AD為的平分線，則_________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳析】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故〖答案〗為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故〖答案〗為：．【『點石成金』】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．三、解答題17.已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項和，．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．【小問1詳析】因為，當時，，即；當時，，即，當時，，所以，化簡得：，當時，，即，當時都滿足上式，所以．【小問2詳析】因為，所以，，兩式相減得，，，即，．18.在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距離為1．（1）求證：；（2）若直線與距離為2，求與平面所成角的正弦值．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面，再由勾股定理求出為中點，即可得證；（2）利用直角三角形求出的長及點到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.【小問1詳析】如圖，底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，過作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距離為1，，在中，，設(shè)，則，為直角三角形，且，，，，，解得，，【小問2詳析】，，過B作，交于D，則為中點，由直線與距離為2，所以，，，在，，延長，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，，平面，又平面，則在中，，，在中，，，,又到平面距離也為1，所以與平面所成角的正弦值為.19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）．（1）設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）測得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0102.7063.8416.635〖答案〗（1）分布列見〖解析〗，（2）（i）；列聯(lián)表見〖解析〗，（ii）能〖解析〗〖祥解〗（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學期望；（2）（i）根所中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）依用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【小問1詳析】依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.【小問2詳析】（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實驗組第二排數(shù)據(jù)即可，可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.20.設(shè)拋物線，直線與C交于A，B兩點，且．（1）求；（2）設(shè)C的焦點為F，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．【小問1詳析】設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因為，解得：．【小問2詳析】因為，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因為，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當時，的面積．【『點石成金』】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.21.已知（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍．〖答案〗（1）〖答案〗見〖解析〗.（2）〖解析〗〖祥解〗（1）求導,然后令,討論導數(shù)的符號即可;（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.【小問1詳析】令,則則當當,即.當,即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減【小問2詳析】設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當,符合題意.若當,所以..所以,使得,即,使得.當,即當單調(diào)遞增.所以當,不合題意.綜上,的取值范圍為.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』:本題采取了換元,注意復合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當,對應當.四、選做題22.已知，直線（t為參數(shù)），l與x軸，y軸正半軸交于A，B兩點，．（1）求的值；（2）以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求l的極坐標方程．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)的幾何意義即可解出；（2）求出直線的普通方程，再