2025屆江蘇省啟東市建新中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆江蘇省啟東市建新中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“函數(shù)在上有極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知p：，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.3．已知雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A.2 B.C. D.4．直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線(xiàn)有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條5．已知雙曲線(xiàn)上點(diǎn)到點(diǎn)的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.9 B.6C.6或36 D.9或216．已知雙曲線(xiàn)（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)在第二象限的部分上一點(diǎn)，且，點(diǎn)Q是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，Q關(guān)于直線(xiàn)PA對(duì)稱(chēng)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A.3 B.2C. D.7．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件則的最小值（）A.5 B.C. D.88．已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，且，，則此數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為A.第5項(xiàng) B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng) D.第8項(xiàng)9．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中討論過(guò)高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等．例如“百層球堆垛”：第一層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，第五層有15個(gè)球，…，各層球數(shù)之差：，，，，…即2，3，4，5，…是等差數(shù)列．現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，3，6，12，23，41，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）A.51 B.68C.106 D.15710．圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系為（）A.相切 B.相離C.相交 D.無(wú)法確定11．若直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則直線(xiàn)與所成的角為（）A30° B.45°C.60° D.90°12．命題“對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有”的否定形式是（）A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)____14．已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓O的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為_(kāi)__________.15．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)_________________.16．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)橢圓上的點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，若四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為_(kāi)________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若問(wèn)題中的不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，___________，，，是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意都有？18．（12分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點(diǎn)，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.19．（12分）△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知（1）求角B的大?。唬?）若△不為鈍角三角形，且，，求△的面積20．（12分）在直三棱柱中，、、、分別為中點(diǎn)，.（1）求證：平面（2）求二面角的余弦值21．（12分）已知函數(shù)（其中a常數(shù)）（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，時(shí)，的最小值為4，求a的值22．（10分）人類(lèi)社會(huì)正進(jìn)入數(shù)字時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)成為了必不可少的工具，智能手機(jī)也給我們的生活帶來(lái)了許多方便.但是這些方便、時(shí)尚的手機(jī)，卻也讓你的眼睛離健康越來(lái)越遠(yuǎn).為了了解手機(jī)對(duì)視力的影響程度，某研究小組在經(jīng)常使用手機(jī)的中學(xué)生中進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了換算，統(tǒng)計(jì)了中學(xué)生一個(gè)月中平均每天使用手機(jī)的時(shí)間x（小時(shí)）和視力損傷指數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：平均每天使用手機(jī)的時(shí)間x（小時(shí)）1234567視力損傷指數(shù)y25812151923（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程.（2）該小組研究得知：視力的下降值t與視力損傷指數(shù)y滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式，如果小明在一個(gè)月中平均每天使用9個(gè)小時(shí)手機(jī)，根據(jù)（1）中所建立的回歸方程估計(jì)小明視力的下降值（結(jié)果保留一位小數(shù)）.參考公式及數(shù)據(jù)：，..

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】對(duì)求導(dǎo)，取得函數(shù)在上有極值的等價(jià)條件，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在處取得極小值，若函數(shù)在上有極值，則，，因?yàn)?，但是由推不出，因此是函?shù)在上有極值的必要不充分條件故選：B2、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，正確；D選項(xiàng)：，錯(cuò)誤.故選：C.3、B【解析】，得出到漸近線(xiàn)的距離為，由此可得的關(guān)系，從而求得離心率【詳解】因?yàn)?，而，所以是等邊三角形，到直線(xiàn)的距離為，又，漸近線(xiàn)方程取，即，所以，化簡(jiǎn)得故選：B4、C【解析】根據(jù)直線(xiàn)的斜率存在與不存在，分類(lèi)討論，結(jié)合雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，方程為，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，若直線(xiàn)與兩漸近線(xiàn)平行，也能滿(mǎn)足與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).綜上可得，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有3條.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，以及雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的性質(zhì)，其中解答中忽視斜率不存在的情況是解答的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】利用雙曲線(xiàn)的定義可得答案.【詳解】設(shè)，，，為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，則由雙曲線(xiàn)定義，知，而所以或21故選：D.6、C【解析】由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C7、B【解析】做出，滿(mǎn)足約束條件的可行域，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】做出，滿(mǎn)足約束條件可行域如圖，化為，平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有最小值，由得，所以的最小值為.故選：B.8、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，，則，又，則，說(shuō)明數(shù)列為遞減數(shù)列，前6項(xiàng)為正，第7項(xiàng)及后面的項(xiàng)為負(fù)，又，則，則在數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為，選C.9、C【解析】對(duì)高階等差數(shù)列按其定義逐一進(jìn)行構(gòu)造數(shù)列，直到出現(xiàn)一般等差數(shù)列為止，再根據(jù)其遞推關(guān)系進(jìn)行求解.【詳解】現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，3，6，12，23，41，各項(xiàng)與前一項(xiàng)之差：，，，，，…即2，3，6，11，18，…，，，，，…即1，3，5，7，…是等差數(shù)列，所以，故選：C10、C【解析】先計(jì)算出直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓與直線(xiàn)相交.【詳解】直線(xiàn)可化為，所以恒過(guò)定點(diǎn).把代入，有：，所以在圓內(nèi)，所以圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系為相交.故選：C11、C【解析】直接由公式，計(jì)算兩直線(xiàn)的方向向量的夾角，進(jìn)而得出直線(xiàn)與所成角的大小【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以直線(xiàn)與所成角的大小為故選：C12、B【解析】可將原命題變成全稱(chēng)命題形式，而全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，即可選出答案.【詳解】命題“對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有”，可寫(xiě)成：，使得，此命題為全稱(chēng)命題，故其否定形式為：，使得.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知求得母線(xiàn)長(zhǎng)，代入圓錐側(cè)面積公式求解【詳解】由已知可得r=1，h=，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)l=,∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=2π故答案為2π【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求法,側(cè)面積公式S=πrl.14、或【解析】首先判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，再設(shè)切線(xiàn)方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫(xiě)出切線(xiàn)方程.【詳解】由題設(shè)，，故在圓外，根據(jù)圓及，知：過(guò)作圓O的切線(xiàn)斜率一定存在，∴可設(shè)切線(xiàn)為，聯(lián)立圓的方程，整理得，∴，解得或.∴切線(xiàn)方程為或.故答案為：或.15、.【解析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得.故答案為：.16、【解析】根據(jù)題意可得，利用推出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，將代入方程中，得，因?yàn)?，所以，整理，得，又，所以，由，解?故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、答案見(jiàn)解析【解析】由已知條件可得，假設(shè)時(shí)，取最小值，則，若補(bǔ)充條件是①，則可求得，代入化簡(jiǎn)可求出的取值范圍，從而可求得答案，若補(bǔ)充條件是②，則可得，該數(shù)列是遞減數(shù)列，所以不存在k，使得取最小值，若補(bǔ)充條件是③，則可得，代入化簡(jiǎn)可求出的取值范圍，從而可求得答案，【詳解】解：等差數(shù)列的公差為d，當(dāng)時(shí)，，得，從而，當(dāng)時(shí)，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，由對(duì)任意，都有，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值時(shí)，假設(shè)時(shí)，取最小值，所以；若補(bǔ)充條件是①，因?yàn)?，，從而，由得，所以，由等差?shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值，則，得，又，所以.所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為若補(bǔ)充條件是②，由，即，又，所以.所以，由于該數(shù)列是遞減數(shù)列，所以不存在k，使得取最小值，故實(shí)數(shù)不存在以下為嚴(yán)格的證明：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值，則，得，所以，所以不存在k，使得取最小值，故實(shí)數(shù)不存在若補(bǔ)充條件是③，由，得，又，所以，所以由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和存在最小值，則，得，又，所以.所以存在，使得取最小值，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）先證，，再證平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求出面與面的法向量，再計(jì)算夾角余弦值即可.小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形，，為直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小問(wèn)2詳解】，為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間坐標(biāo)系，如圖令，則，設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面的法向量為，則由得取，則設(shè)面與面的夾角為，則所以面與面的夾角的余弦值為.19、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角關(guān)系可得，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)求其大小即可.（2）由（1）及題設(shè)有，應(yīng)用余弦定理求得、，最后利用三角形面積公式求△的面積【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得：，又，所以，又B為△的一個(gè)內(nèi)角，則，所以或；【小問(wèn)2詳解】由△不為鈍角三角形，即，又，，由余弦定理，，得（舍去負(fù)值），則∴20、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)直棱柱的特征，易知，再由、分別為的中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)定理，可得，得到四邊形為平行四邊形，再利用線(xiàn)面平行的判定定理證明.（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．，再分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，利用面面角的向量公式求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：取中點(diǎn)，連接，易知，、分別為的中點(diǎn)，∴，∴故四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，平面（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則∴，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，易知平面的一個(gè)法向量為，∴，∴二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理和面面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，然后解不等式，可得