天津市寶坻區(qū)等部分區(qū)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

天津市寶坻區(qū)等部分區(qū)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，中點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.2．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B.C. D.3．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（0，－1） B.（－1，0）C. D.4．在等差數(shù)列中，已知，則（）A.4 B.8C.3 D.65．已知橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，是的中點(diǎn)，則（）A.1 B.2C.3 D.46．若定義在R上的函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7．在下列四條拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1的是（）A. B.C. D.8．已知F為橢圓C：=1(a>b>0)右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，則橢圓C的離心率為（）A. B.C.-1 D.-19．已知雙曲線的對稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線為，則雙曲線的離心率為A.或 B.或C.或 D.或10．如圖所示，在中，，，，AD為BC邊上的高，；若，則的值為（）A. B.C. D.11．甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為（）A.0.26 B.0.28C.0.72 D.0.9812．點(diǎn)到直線的距離是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在直三棱柱中，，為中點(diǎn)，則平面與平面夾角的正切值為___________.14．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則______15．某廠將從64名員工中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取4名參加2011年職工勞技大賽，將這64名員工編號為1～64，若已知8號、24號、56號在樣本中，那么樣本中最后一個員工的號碼是__________16．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，且，則的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點(diǎn)，（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，______，求m的值從下列三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：圓上一點(diǎn)P到直線的最大距離為；條件③：18．（12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，與軸垂直，且（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上，且，求的面積19．（12分）已知橢圓：的長軸長是短軸長的倍，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）的右頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，求面積的最大值.20．（12分）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值21．（12分）已知圓C：的半徑為1（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請說明理由；若相交，請求出弦長22．（10分）已知橢圓的一個焦點(diǎn)是，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：D2、B【解析】根據(jù)體積法求得到平面的距離即可得【詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長為2，則，，設(shè)到平面的距離為，由得，解得故選：B3、C【解析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，可得p的值，進(jìn)而求出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由拋物線可知其開口向下，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C.4、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算出正確答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，得.故選:B5、A【解析】由橢圓的定義得，進(jìn)而根據(jù)中位線定理得.【詳解】解：由橢圓方程得，即，因?yàn)橛蓹E圓的定義得，，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.故選：A6、A【解析】由函數(shù)單調(diào)性得出和的解，然后分類討論解不等式可得【詳解】由圖象可知：在為正，在為負(fù)，，可化為：或，解得或故選：A7、D【解析】由題意可知，然后分析判斷即可【詳解】由題意知，即可滿足題意，故A，B，C錯誤，D正確.故選：D8、D【解析】記橢圓的左焦點(diǎn)為，在中，通過余弦定理得出，，根據(jù)橢圓的定義可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】記橢圓的左焦點(diǎn)為，在中，可得，在中，可得，故，故，故選：D.9、B【解析】分雙曲線的焦點(diǎn)在軸上和在軸上兩種情況討論，求出的值，利用可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，則有，則雙曲線的離心率為；若焦點(diǎn)在軸上，則有，則，則雙曲線的離心率為.綜上所述，雙曲線的離心率為或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，在雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定的情況下，要對雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】根據(jù)題意求得，化簡得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.【詳解】在中，，，，AD為BC邊上的高，可得，由又因?yàn)椋?，所?故選：B.11、A【解析】依據(jù)獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.【詳解】記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為故選：A12、B【解析】直接使用點(diǎn)到直線距離公式代入即可.【詳解】由點(diǎn)到直線距離公式得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由條件可得均為等腰直角三角形，從而，先證明平面，從而，即得到為平面與平面夾角的平面角，從而可求解.【詳解】由，則，則在直三棱柱中,平面，又平面,則又，所以平面平面,所以由由條件可得均為等腰直角三角形，則所以，即,由所以平面,又平面所以，即為平面與平面夾角的平面角.在直角中,所以故答案為：14、##25【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故答案為：.15、40【解析】結(jié)合系統(tǒng)抽樣的抽樣方法來確定最后抽取的號碼.【詳解】因?yàn)榉侄伍g隔為，故最后一個員工的號碼為.故答案為：16、【解析】由雙曲線定義可得a，代入點(diǎn)P坐標(biāo)可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)圓心在過點(diǎn)，的線段的中垂線上，同時圓心圓心在直線上，可求出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而求得半徑，最后求出其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）選①利用用垂徑定理可求得答案，選②根據(jù)圓上一點(diǎn)P到直線的最大距離為可求得答案，選③先利用向量的數(shù)量積可求得，解法就和選①時相同.【小問1詳解】由題意可知，圓心在點(diǎn)的中垂線上，該中垂線的方程為，于是，由，解得圓心，圓C的半徑所以，圓C的方程為；【小問2詳解】①，因?yàn)?，，所以圓心C到直線l的距離，則，解得，②，圓上一點(diǎn)P到直線的最大距離為，可知圓心C到直線l的距離則，解得，③，因?yàn)椋?，得，又，所以圓心C到直線l的距離，則，解得18、（1）；（2）【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)求出，進(jìn)而得出方程；（2）由，結(jié)合余弦定理求出，再由面積公式得出三角形的面積.【詳解】解：（1），與軸垂直，，∴∴橢圓的方程為（2）由（1）知，∵，∴∴，∴的面積為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題二的關(guān)鍵在于利用余弦定理結(jié)合完全平方和公式求出，進(jìn)而得出面積.19、（1）；（2）【解析】（1）利用已知條件，結(jié)合橢圓方程求出，即可得到橢圓方程（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓與直線方程，利用韋達(dá)定理，弦長公式，列出三角形的面積，再利用基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】（1）解：由題意解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）點(diǎn)，右焦點(diǎn)，由題意知直線的斜率不為0，故設(shè)的方程為，，，聯(lián)立方程得消去，整理得，∴，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時：，所以面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)和方程的求法，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理化簡整理和運(yùn)算能力，屬于中檔題20、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計算證明；（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算求解.【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線平面,又∵直線平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長為2，則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長，易證三線交于一點(diǎn)P因?yàn)椋灾本€與平面所成的角，即直線與平面所成的角設(shè)正方體的棱長為2，在中，易得，可得由，得，整理得所以所以直線與平面所成角的正弦值為[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長為2，點(diǎn)到平面的距離為h，在中，，，所以，易得由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以【整體點(diǎn)評】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計算較為簡潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.21、（1）；（2）直線l與圓C相交，.【解析】（1）利用配方法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合圓的弦長公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：因?yàn)閳AC的半徑為1，所以，得【小問2詳解】由（1）知圓C的圓心為，半徑為1設(shè)圓心C到直線l的距離