2025屆天津市重點中學數(shù)學高三上期末考試試題含解析

2025屆天津市重點中學數(shù)學高三上期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)的圖象上兩點，關于直線的對稱點在的圖象上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的右焦點為為坐標原點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．設，分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點作圓的切線與雙曲線的左支交于點P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．5．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．6．正項等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點，則（）A． B．1 C． D．27．中，，為的中點，，，則（）A． B． C． D．28．關于的不等式的解集是，則關于的不等式的解集是（）A． B．C． D．9．設，是空間兩條不同的直線，，是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，，則.其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④10．已知雙曲線的一條漸近線為，圓與相切于點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．12．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則的大小關系為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點數(shù)，則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為____．14．展開式中的系數(shù)為_______________．15．函數(shù)f（x）＝x2﹣xlnx的圖象在x＝1處的切線方程為_____.16．一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示，則這個幾何體的體積是___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）當時，證明：對任意恒成立.18．（12分）已知橢圓的右焦點為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，且與短軸兩端點的連線相互垂直.（1）求橢圓的方程；（2）若圓上存在兩點，，橢圓上存在兩個點滿足：三點共線，三點共線，且，求四邊形面積的取值范圍.19．（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結果統(tǒng)計如表：AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關系式為，假設該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為X元，求X的分布列；（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.20．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)在處取得極值1，證明：（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側面為等邊三角形，且平面平面.（1）求平面與平面所成的銳二面角的大?。唬?）若，且直線與平面所成角為，求的值.22．（10分）設函數(shù).（1）若，時，在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若，，，求證：當時，．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題可知，可轉化為曲線與有兩個公共點，可轉化為方程有兩解，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點，關于直線的對稱點在上，即曲線與有兩個公共點，即方程有兩解，即有兩解，令，則，則當時，；當時，，故時取得極大值，也即為最大值，當時，；當時，，所以滿足條件．故選：D【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.2、C【解析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：，，連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.3、C【解析】

設過點作圓的切線的切點為，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點，則有，得到，即可求解.【詳解】設過點作圓的切線的切點為，，所以是中點，，，.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學計算能力，屬于中檔題.4、D【解析】

根據(jù)框圖，模擬程序運行，即可求出答案.【詳解】運行程序，，

，，，，，結束循環(huán)，故輸出，故選：D.【點睛】本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結構，條件分支結構，屬于中檔題.5、D【解析】因為，故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.6、B【解析】

根據(jù)可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為，得出，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解：依題意、是函數(shù)的極值點，也就是的兩個根∴又是正項等比數(shù)列，所以∴.故選：B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標和性質(zhì)以應用，屬于中檔題.7、D【解析】

在中，由正弦定理得；進而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，考查了學生的運算求解能力.8、A【解析】

由的解集，可知及，進而可求出方程的解，從而可求出的解集.【詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因為，所以的解集為，故選：A.【點睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學生的計算求解能力與推理能力，屬于基礎題.9、C【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關定理逐一判斷即可.【詳解】解：①：、也可能相交或異面，故①錯②：因為，，所以或，因為，所以，故②對③：或，故③錯④：如圖因為，，在內(nèi)過點作直線的垂線，則直線，又因為，設經(jīng)過和相交的平面與交于直線，則又，所以因為，，所以，所以，故④對.故選：C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷，基礎題.10、D【解析】

由圓與相切可知，圓心到的距離為2，即.又，由此求出的值，利用離心率公式，求出e.【詳解】由題意得，，，.故選：D.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓相切的性質(zhì)，離心率的求法，屬于中檔題.11、D【解析】

根據(jù)集合的混合運算，即可容易求得結果.【詳解】，故可得.故選：D.【點睛】本題考查集合的混合運算，屬基礎題.12、C【解析】

可設，根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到：，可設，，且，根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出，從而得出在上單調(diào)遞增，再根據(jù)對數(shù)的運算得到、、的大小關系，從而得到的大小關系.【詳解】解：因為，即，又，設，根據(jù)條件，，；若，，且，則：；在上是減函數(shù)；；；在上是增函數(shù)；所以，故選：C【點睛】考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)及增函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程：設，通過條件比較與，函數(shù)的單調(diào)性的應用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】總事件數(shù)為，目標事件：當?shù)谝活w骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當?shù)谝活w骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標事件共20中，所以。14、【解析】

把按照二項式定理展開，可得的展開式中的系數(shù)．【詳解】解：，故它的展開式中的系數(shù)為，故答案為：．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．15、x﹣y＝0.【解析】

先將x＝1代入函數(shù)式求出切點縱坐標，然后對函數(shù)求導數(shù)，進一步求出切線斜率，最后利用點斜式寫出切線方程.【詳解】由題意得.故切線方程為y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0.故答案為：x﹣y＝0.【點睛】本題考查利用導數(shù)求切線方程的基本方法，利用切點滿足的條件列方程（組）是關鍵.同時也考查了學生的運算能力，屬于基礎題.16、【解析】

先還原幾何體，再根據(jù)柱體體積公式求解【詳解】空間幾何體為一個棱柱，如圖，底面為邊長為的直角三角形，高為的棱柱，所以體積為【點睛】本題考查三視圖以及柱體體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）要證對任意恒成立，即證對任意恒成立.設，，當時，，即可求得答案.【詳解】（1），，，函數(shù)在處的切線方程為.（2）要證對任意恒成立.即證對任意恒成立.設，，當時，，，令，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，，當時，對任意恒成立，即當時，對任意恒成立.【點睛】本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題，解題關鍵是掌握由導數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導數(shù)求證不等式恒成立的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.18、（1）；（2）【解析】

（1）又題意知，，及即可求得，從而得橢圓方程.（2）分三種情況：直線斜率不存在時，的斜率為0時，的斜率存在且不為0時，設出直線方程，聯(lián)立方程組，用韋達定理和弦長公式以及四邊形的面積公式計算即可.【詳解】（1）由焦點與短軸兩端點的連線相互垂直及橢圓的對稱性可知，，∵過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.又，解得.∴橢圓的方程為（2）由（1）可知圓的方程為，（i）當直線的斜率不存在時，直線的斜率為0，此時（ii）當直線的斜率為零時，.（iii）當直線的斜率存在且不等于零時，設直線的方程為，聯(lián)立，得，設的橫坐標分別為，則.所以，（注：的長度也可以用點到直線的距離和勾股定理計算.）由可得直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程消去，得設的橫坐標為，則..綜上，由（i）（ii）（ⅲ）得的取值范圍是.【點睛】本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題，解答此類題目，通常利用的關系，確定橢圓方程是基礎；通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程建立方程組，應用一元二次方程根與系數(shù)，得到目標函數(shù)解析式，運用函數(shù)知識求解；本題是難題.19、（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）會超過；詳見解析【解析】

（1）利用組合進行計算以及概率表示，可得結果.（2）（i）寫出X所有可能取值，并計算相對應的概率，列出表格可得結果.（ii）由（i）的條件結合7月與8月空氣質(zhì)量所對應的概率，可得7月與8月經(jīng)濟損失的期望和，最后7月、8月、9月經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望與2.88萬元比較，可得結果.【詳解】（1）設ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則P（ξ＝2），P（ξ＝3），則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故該企業(yè)9月的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為30E（X），即30E（X）＝9060元，設7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為Y元，可得：，，，E（Y）＝02201480320（元），所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望為320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望會超過2.88萬元.【點睛】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學期望，屬基礎題。20、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由在處取得極值1，可得且.解出，構造函數(shù)，分析其單調(diào)性，結合，即可得到的范圍，命題得證；

（2）由分離參數(shù)，得到恒成立，構造函數(shù)，求導函數(shù)，再構造函數(shù)，進行二次求導.由知，則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點存在定理可知有唯一零點，且.由此判斷出時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，則，即.由得，再次構造函數(shù)，求導分析單調(diào)性，從而得，即，最終求得，則.【詳解】解：（1）由題知，∵函數(shù)在，處取得極值1，，且，，，令，則為增函數(shù)，，即成立.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，令，則令，則,，，在上單調(diào)遞增，且，有唯一零點，且，當時，，，單調(diào)遞減；當時，，，單調(diào)遞增.，由整理得，令，則方程等價于而在上恒大于零，在上單調(diào)遞增，.，∴實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的極值，利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點存在定理，證明不等式，解決不等式恒成立問題.其中多次構造函數(shù)，是解題的關鍵，屬于綜合性很強的難題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）分別取的中點為，易得