2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值(知識+真題+8類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性 3角度1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 3角度2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 4角度3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 4角度4：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式 4高頻考點(diǎn)二：函數(shù)的最大（?。┲?5角度1：利用函數(shù)單調(diào)性求最值 5角度2：根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù) 6角度3：不等式恒成立問題 6角度4：不等式有解問題 7第四部分：典型易錯題型 9備注：單調(diào)區(qū)間容易忽視定義域 9備注：分段函數(shù)單調(diào)性問題容易忽視分段點(diǎn)大小比較 9備注：利用單調(diào)性解不等式容易忽略函數(shù)定義域 9第五部分：新定義題（解答題） 10第一部分：基礎(chǔ)知識1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，；①當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)②當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)（2）單調(diào)性簡圖：（3）單調(diào)區(qū)間（注意先求定義域）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（4）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同調(diào)增；異調(diào)減）對于函數(shù)和，如果當(dāng)時，，且在區(qū)間上和在區(qū)間上同時具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，并且具有這樣的規(guī)律：增增(或減減)則增，增減(或減增)則減．2、函數(shù)的最值（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足①對于任意的，都有；②存在，使得則為最大值（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足①對于任意的，都有；②存在，使得則為最小值3、常用高頻結(jié)論（1）設(shè)，.①若有或，則在閉區(qū)間上是增函數(shù)；②若有或，則在閉區(qū)間上是減函數(shù).此為函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式.（2）函數(shù)相加或相減后單調(diào)性：設(shè)，兩個函數(shù)，在區(qū)間上的單調(diào)性如下表，則在上的單調(diào)性遵循（增+增=增；減+減=減）增增增減減減增減增減增減（3）對鉤函數(shù)單調(diào)性：（，）的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．（4）常見對鉤函數(shù)：（），的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．第二部分：高考真題回顧1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·（新課標(biāo)Ⅰ卷））設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性角度1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典型例題例題1．（2024上·湖南婁底·高一校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·四川宜賓·高一?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．角度2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2024上·廣東深圳·高一?？计谀┖瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為．角度3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間為．例題2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.角度4：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式典型例題例題1．（2024上·福建莆田·高一校聯(lián)考期末）已知偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則滿足的取值范圍是.例題2．（2024上·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)校考期末）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．(1)求在R上的解析式；(2)判斷的單調(diào)性，并解不等式．練透核心考點(diǎn)1．（2024上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024上·山東青島·高一統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和5．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單增區(qū)間為（

）A． B．C． D．6．（2024下·全國·高一開學(xué)考試）若函數(shù)在內(nèi)滿足：對于任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．高頻考點(diǎn)二：函數(shù)的最大（?。┲到嵌?：利用函數(shù)單調(diào)性求最值典型例題例題1．（2024下·高二課前預(yù)習(xí)）函數(shù)在上的最大值和最小值分別是（）A．12， B．5， C．5， D．12，例題2．（2024上·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，則值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例題3．（2024上·河南許昌·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)奇偶性，并用定義法證明；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用定義法證明某一個區(qū)間的單調(diào)性；(3)求函數(shù)在上的最大值和最小值．角度2：根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)典型例題例題1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.角度4：不等式有解問題典型例題例題1．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若“，”為真命題，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．例題2．（2023上·湖北武漢·高一武漢市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題3．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的最大值和最小值；(2)若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）下列選項(xiàng)中是“，”成立的一個必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，的最大值是（

）A． B． C．1 D．23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為．4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求在上的值域.5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知(1)根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)(2)若函數(shù)（）的最大值與最小值之差為1，求實(shí)數(shù)的值6．（2024上·河南商丘·高一睢縣回族高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，求；(2)若在時恒成立，求的取值范圍.7．（2023上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；(2)若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的范圍.8．（2023下·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)在上的值域；(2)若，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．第四部分：典型易錯題型備注：單調(diào)區(qū)間容易忽視定義域1．（2023上·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．2．（2023下·福建三明·高一永安市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.備注：分段函數(shù)單調(diào)性問題容易忽視分段點(diǎn)大小比較1．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．（2023上·廣東深圳·高一?？计谀┤?，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是.備注：利用單調(diào)性解不等式容易忽略函數(shù)定義域1．（2023上·重慶·高一重慶市輔仁中學(xué)校?？计谥校┒x在上的奇函數(shù)為減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)是減函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是．第五部分：新定義題（解答題）1．（2024上·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）給定函數(shù)與，若為減函數(shù)且值域?yàn)椋槌?shù)），則稱對于具有“確界保持性”.(1)證明：函數(shù)對于不具有“確界保持性”；(2)判斷函數(shù)對于是否具有“確界保持性”；(3)若函數(shù)對于具有“確界保持性”，求實(shí)數(shù)的值.第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識 1第二部分：高考真題回顧 3第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性 4角度1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 4角度2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 5角度3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 6角度4：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式 7高頻考點(diǎn)二：函數(shù)的最大（?。┲?10角度1：利用函數(shù)單調(diào)性求最值 10角度2：根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù) 12角度3：不等式恒成立問題 14角度4：不等式有解問題 15第四部分：典型易錯題型 23備注：單調(diào)區(qū)間容易忽視定義域 23備注：分段函數(shù)單調(diào)性問題容易忽視分段點(diǎn)大小比較 24備注：利用單調(diào)性解不等式容易忽略函數(shù)定義域 24第五部分：新定義題（解答題） 25第一部分：基礎(chǔ)知識1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，；①當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)②當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)（2）單調(diào)性簡圖：（3）單調(diào)區(qū)間（注意先求定義域）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（4）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同調(diào)增；異調(diào)減）對于函數(shù)和，如果當(dāng)時，，且在區(qū)間上和在區(qū)間上同時具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，并且具有這樣的規(guī)律：增增(或減減)則增，增減(或減增)則減．2、函數(shù)的最值（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足①對于任意的，都有；②存在，使得則為最大值（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足①對于任意的，都有；②存在，使得則為最小值3、常用高頻結(jié)論（1）設(shè)，.①若有或，則在閉區(qū)間上是增函數(shù)；②若有或，則在閉區(qū)間上是減函數(shù).此為函數(shù)單調(diào)性定義的等價形式.（2）函數(shù)相加或相減后單調(diào)性：設(shè)，兩個函數(shù)，在區(qū)間上的單調(diào)性如下表，則在上的單調(diào)性遵循（增+增=增；減+減=減）增增增減減減增減增減增減（3）對鉤函數(shù)單調(diào)性：（，）的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．（4）常見對鉤函數(shù)：（），的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．第二部分：高考真題回顧1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.2．（2023·全國·（新課標(biāo)Ⅰ卷））設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性角度1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典型例題例題1．（2024上·湖南婁底·高一校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性、二次函數(shù)單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性列出不等式組即可求解.【詳解】由題意，令，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D.例題2．（2024上·四川宜賓·高一校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【答案】【分析】根據(jù)題意，由條件可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，由可得，或，則函數(shù)，由在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而在單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：角度2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組即可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增．所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A．例題2．（2024上·廣東深圳·高一校考期末）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為．【答案】【分析】分、和三種情況，結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)以及對勾函數(shù)單調(diào)性分析求解.【詳解】若，則在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，解得；綜上所述：k的取值范圍為.故答案為：.角度3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】/【分析】根據(jù)二次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則即可求解.【詳解】由于在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：例題2．（2024·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.【答案】和【分析】對函數(shù)化簡后，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)或時，，對稱軸為，當(dāng)時，，對稱軸為，作出的圖象如圖所示，由圖可知單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：和

角度4：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式典型例題例題1．（2024上·福建莆田·高一校聯(lián)考期末）已知偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則滿足的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式等價轉(zhuǎn)化為，解得即可.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，不等式等價于，等價于，即，解得，即滿足的取值范圍是.故答案為：例題2．（2024上·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．(1)求在R上的解析式；(2)判斷的單調(diào)性，并解不等式．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意根據(jù)奇函數(shù)的定義以及當(dāng)時，，可以求出當(dāng)時的表達(dá)式，從而即可進(jìn)一步求解.（2）首先根據(jù)時，單調(diào)遞增，從而得到在上是單調(diào)增函數(shù)，再結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)即可將表達(dá)式等價轉(zhuǎn)換，解一元二次不等式即可得解.【詳解】（1）設(shè)，則，當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以；?）時，單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以在上是單調(diào)增函數(shù)，不等式可化為，所以，即，解得或.所以不等式的解集為或.練透核心考點(diǎn)1．（2024上·浙江溫州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】D【分析】由題意只需，由此對比選項(xiàng)即可得解.【詳解】由題意當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，若函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，只需，解得，對比選項(xiàng)可知的值可以是.故選：D.2．（2024上·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】易知，顯然在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，且，所以.故選：A3．（2024上·山東青島·高一統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式.【詳解】定義在上的函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，若，則有，即，解得.所以的取值范圍為.故選：D4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【分析】將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求【詳解】，則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故的單調(diào)遞減區(qū)間是和.故選：B5．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)的單增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】得出分段函數(shù)解析式，即可得解.【詳解】.因?yàn)?，，所以的增區(qū)間是．故選：D6．（2024下·全國·高一開學(xué)考試）若函數(shù)在內(nèi)滿足：對于任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】先得到函數(shù)在R上單調(diào)遞增，再根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)遞增需滿足每一段上單調(diào)遞增，且在分段處，左端點(diǎn)的函數(shù)值小于等于右端點(diǎn)的函數(shù)值，得到不等式，求出答案.【詳解】由題意得在R上單調(diào)遞增，由題意得，解得.故答案為：高頻考點(diǎn)二：函數(shù)的最大（小）值角度1：利用函數(shù)單調(diào)性求最值典型例題例題1．（2024下·高二課前預(yù)習(xí)）函數(shù)在上的最大值和最小值分別是（）A．12， B．5， C．5， D．12，【答案】C【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，在函數(shù)定義域上分析討論函數(shù)的單調(diào)性，再考慮區(qū)間的端點(diǎn)值，即得函數(shù)的最值.【詳解】由求導(dǎo)得：，令可解得：或，因，故，由可解得：，由可解得：，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)；又，故當(dāng)時，函數(shù).即函數(shù)在上的最大值和最小值分別是.故選:C．例題2．（2024上·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，則值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意先判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求最值和值域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)的最小值為，最大值為，所以值域?yàn)?故選：A.例題3．（2024上·河南許昌·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)奇偶性，并用定義法證明；(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并用定義法證明某一個區(qū)間的單調(diào)性；(3)求函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，證明見解析；(3)最大值為10，最小值為6.【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義計(jì)算即可；（2）利用定義法作差計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性即可；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值即可.【詳解】（1）函數(shù)為奇函數(shù)．由函數(shù)可知其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，有．所以函數(shù)為奇函數(shù)；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和．下面證明單調(diào)區(qū)間，設(shè)，則，若，則，此時，若，則，此時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由函數(shù)為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和．（3）由上可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且．則函數(shù)在上的最大值為10，最小值為6．角度2：根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)典型例題例題1．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】化簡函數(shù)，去絕對值后，根據(jù)函數(shù)有最小值得出函數(shù)的變化趨勢，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：由題意，在中，∵函數(shù)有最小值，∴函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增或常函數(shù)，∴，解得：，∴有最小值時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.例題2．（2024上·吉林通化·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值4，則實(shí)數(shù)k＝．【答案】4【分析】由函數(shù)在上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【詳解】解：依題意，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立則，解得．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的最值求參數(shù)的值，考查分析能力及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．例題3．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)在的最大值為2，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)必要性，最值的定義以及二次函數(shù)圖象對稱軸位置分類討論即可解出．【詳解】設(shè)，，，因?yàn)楹瘮?shù)在的最大值為2，，所以，解得：，當(dāng)時，函數(shù)在上先遞減再遞增，而，所以，，且，即函數(shù)在的最大值為2，符合題意；當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，所以，而，所以函數(shù)在的最大值為2，符合題意，綜上，．故答案為：角度3：不等式恒成立問題典型例題例題1．（多選）（2023上·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)的可取值是（

）A．-2 B．0 C．3 D．7【答案】BCD【分析】分與兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出的取值范圍，得到答案.【詳解】當(dāng)時，恒成立，滿足要求，當(dāng)時，需滿足，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故A錯誤，BCD正確.故選：BCD例題2．（2023上·江蘇揚(yáng)州·高一江蘇省邗江中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，且，求函數(shù)的值域；(2)若，都有，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）配方后得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值，得到值域；（2）轉(zhuǎn)化為在上恒成立，數(shù)形結(jié)合得到不等式組，求出的取值范圍.【詳解】（1）時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值，最小值為，又，故最大值為8，故值域?yàn)?；?）在上恒成立，故只需，解得或，故的取值范圍是.例題3．（2023上·廣東潮州·高一饒平縣第二中學(xué)?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由冪函數(shù)的概念與性質(zhì)直接列式求解;（2）分離參數(shù)，利用基本不等式求最值即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，故（2）由（1）可知，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.角度4：不等式有解問題典型例題例題1．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若“，”為真命題，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，從而根據(jù)題意可得或，進(jìn)而求解即可．【詳解】原不等式可化為，令，是關(guān)于的一次函數(shù)，因?yàn)椤?，”為真命題，所以或，即或，解得或,所以的取值范圍為．故選：B．例題2．（2023上·湖北武漢·高一武漢市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】參變分離，得到在上有解，由基本不等式求出，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】變形為，故在上有解，因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，故答案為：例題3．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的最大值和最小值；(2)若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最大值為170，最小值為(2)【分析】（1）換元后得到，，求出最值；（2）轉(zhuǎn)化為，只需，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)最值，得到，求出答案.【詳解】（1）令，故，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，又，，故的最大值為170，最小值為；（2），即，令，故在上有解，，只需，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（2024下·湖北·高一湖北省漢川市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）下列選項(xiàng)中是“，”成立的一個必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】變形得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，故，由于是的真子集，故A正確，其他選項(xiàng)不合要求.【詳解】，，即，，∴，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中時，，當(dāng)時，，故，即，由于是的真子集，故“”的必要不充分條件為“”，其他選項(xiàng)均不合要求.故選：A2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】先分離常數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性求解最值即可.【詳解】，而的圖象由函數(shù)圖象向左平移1個單位再向上平移2個單位得到，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)，有最大值為.故選：B3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】將函數(shù)化為，,，討論，和時函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性可得最大值，解方程即可得到所求值．【詳解】解：函數(shù)，即，,，當(dāng)時，不成立；當(dāng)，即時，在,遞減，可得為最大值，即，解得，成立；當(dāng)，即時，在,遞增，可得為最大值，即，解得，不成立；綜上可得．故答案為：.4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求解；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由題意，，，；（2），，，令，，令，，設(shè)，，，在上單調(diào)遞減，，即，同理可證在上單調(diào)遞增，，即，綜上，在上的值域.5．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知(1)根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)(2)若函數(shù)（）的最大值與最小值之差為1，求實(shí)數(shù)的值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）且，利用作差法證明即可；（2）由（1）求出函數(shù)的最值，再根據(jù)題意即可得解.【詳解】（1）且，則，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，因此，所以在是減函數(shù)；（2）由（1）可知，是減函數(shù)，所以時，取得最大值為，時，取得最小值為，因?yàn)樽畲笾蹬c最小值之差為1，所以，解得.6．（2024上·河南商丘·高一睢縣回族高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，求；(2)若在時恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)0(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行求解；（2）分類討論，分別求出在上的最小值，從而得出結(jié)論，注意利用勾形函數(shù)的性質(zhì)得出單調(diào)性．【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，則是上的奇函數(shù)，從而，因?yàn)?，所以，得，所?（2）若，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵跁r恒成立，所以，解得，所以.若，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.若，則，解得，與矛盾；若，則，解得，所以.綜上所述，的取值范圍是.7．（2023上·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；(2)若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；(2).【分析】（1）利用單調(diào)性定義，令，作差法判斷符號，即可得結(jié)果；（2）問題化為成立，即可求參數(shù)范圍.【詳解】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增.證明如下：設(shè)，則因?yàn)?，所以，，，即所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，取得最小值，即又存在，使成立，所以只需成立，即，解得.故實(shí)數(shù)的范圍為.8．（2023下·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)在上的值域；(2)若，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可確定最值，由此可得值域；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)即可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1），當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，，；在上的值域?yàn)?（2），，使得，；當(dāng)時，；由（1）知：當(dāng)時，，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.第四部分：典型易錯題型備注：單調(diào)區(qū)間容易忽視定義域1．（2023上·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．【答案】【分析】求出函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的性質(zhì)即可求得其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】由題意可知，解得，即函數(shù)定義